А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В области — < г <, 1) 0 ищется решение системы двух дифференциальных уравнений первого порядка д« д« д« д« вЂ”.— а —, —.— а —, д1 дг' д8 дг' удовлетворяющее начальным условиям п(г, 0)=па(г), и(г, 0)= ио(г), — ««< г<».
Семейство ра)и)остиыт схем, аппроксимирующих зту дифференциальную задачу, было укааано выше (см. (1.13) ): )а) [з) и,=аи;, и)=аи, с«а() „«а() р О )1, )2,, (42) а, )) — свободные параметры. Продемонстрируем применение метода гармоник для анализа устойчивости схем такого типа.
Обратимся к конкретному случаю )в=О, Р =1. Зта схема аналогична известной схеме «крест». Правда, в классической схеме «крест» сеточная функция и, равная скорости с точностью до знака, относится к узлам сетки (г„1,), а функция и, которая пропорциональна давлению — к точкак (г,«),ь 1„),г). Позтому шаблоны, на которых определены уравнения схемы, имеют крестообразную форму (см. рис. 3.12), что и послужило причиной названия схемы. Перепишем схему (4.2) при ««=О, р = 1 в индексной форме: гг'+г — и/ ие — в! и!+ — и г егьа г — егь+ г (4.3) Ь ' т /г Рассмотрим частные разиосткые решения вида (4.4) где $ = ег«, гг, у — амплитуды гармоник, г — мнимая едппица, ф— произвольное деаствительное число, г/(ф) — комплексное число, подлежащее определению.
Сеточные функции (4.4) периодпчны по пространству: зто связано с тем, что рассматривается задача Коши, В случае краевой задачи необходимо рас. +(гх сматривать соответствующие сеточные собственные функции. Посче подстановки (4.4) в (4.3) получаем у г су систему алгебраических уравнений Рвс.
332 Для того чтобы эта система имела нетривиальные решения, ее детерминант дочжен обращаться в пучь. Это дает уравнение дз — 2(1 — 2уг зш'(ф/2) ) д+ 1 = О, корни которого д„=1 — 2/в1и(ф/2) ["(зш(ф/2)~ )/чгв(и (ф/2) — 1]. (4.5) Рассмотрим случай, когда критерий Куранта нарушен: () 1. Тогда существуют значения гр, при которых подкореипое вырал«еиие в (4.5) положительно. Корни е+ и г/ вещественны, причем абсолютаая воличияа о«иревьппает единицу. Этого достаточно, чтобы сделать заключение о неустойчивости схемы «креста нри невыполнении условия Кураята. По аналогии с одним ураваепием перекоса, рассмотренным ранее, можно ох'адать, что прп будет наблюдаться устойчивость.
Далее мы докажем зто строго. 2. Энергетические соотношения для дифференциальной задачи. Энергетический метод особенно удобен при анализе устойчивости разностиых схем для систем уравнений. Прежде чем применить его к схеме (4.2), сделаем некоторые замечания, отиосящиеся к дифференциальной задаче (4 1).
176 Умножая первое из уравнений (4.1) на в, а второе — на и и складывая результаты, получим — — (и + ьл) а — (ии). 1 д 2 в д 2 дв дв (4.6у Предположим, что функции и и и являются финитными, т. е. обращаются в нуль при достаточно большом !з1. Чтобы обеспечить финитность и и и в любой конечный момент времени, достаточно потребовать наличие этого свойства в начальный момент, т. е. финитность функций ио(в) и иа(в). Интегрирование равенства (4.6) по в дает дЕ(дг = О, (4.7) + о где Е(1) = 0,5 ) (ив + вв) Ъ вЂ” так называемая «эпергияр системы. Ю Из (4.7) следует внергетическое тождество Е(г) = Е(0), (4.8) запишем систему разностных уравнений акустики (4.2) в виде ш йиью и 4ре!В~ (4.9) Умножил первое пз этих уравнений на в"' = ию в' + (5 — 0,5) тио а второе — на иио = и'Р в' +(а — 0,5) ти, и яросуммируем полученные соотношения на сетке: 0,5(!!и!!в) +(у — 0,5) т11о !!в =(Липе ьзв') (4 10) 0,5(1!и(в)~+(а — 0,5)т!!иЛ!в= — (А*и'", и' ').
(4Л1) Складывая эти равенства, имеем после несложных преобразо- ваний 1, = (), в = У+ т(), (4.12) где 1= 0,5(!!и!!в+ 1!о!!в), 9 = — т ! (а — 05) !!и~!!в+ (б — 05) !!и!!в), (4.13) (4Л4) 177 12 л. А. срмьррьиа, ю. п. прпов выражающее закон сохранения энергии. С помощью (4.8) в теоретических исследова~кях доказывается, в частности, единственность решения задачи Коши (4.1). Действительно, для разности двух решений, совпадающих в начальный момент времени, энергия тождественно равна нулю в любой момент времени, Это и означает совпадение решений.
3. Энергетические соотношения для разностной схемы. Получим разностный аналог закона сохранения (4.8). Будем анализировать сразу все семейство схем (4.2), не выделяя пока конкретных случаев. Используя введенные в предыдущем параграфеобозначения для операторов Лу = ау-, и Л*у = — ау„ Если для какой-либо конкретной схемы (т. е. конкретных значений параметроз оо и 5) будет доказана знакоопределенность выражения Д =О, то зто будет означать устойчивость данной схемы в энергетической норме (4.13): уо+1,- уо 4. Ъ стойчивость полностью консервативных схем.
Используем полученные выше энергетические рээностные соотношения для исследоеания устойчивости семейства полностью консерпатиэных схем, которые были построены и гл. П. Напомним, что и семействе (4.2), представляющем разностяый аналог ураппеннй акустики, этим схемам соответствуют значения а =0,5, ог — свободный параметр. Очевидно при этом иа (4.11) следует У = — т(со — 0,5) ~~ц,12, и для выполнения неравенства () -О, обеспечивающего устойчивость схемы, нужно потребонать а~ 0,5.
(4.15) Итак, для устойчипости полностью консервативных схем (в акустическом приближении) достаточно выполнения условия (4.15). В частности, полностью консерпатиппая схема со пторым порядком аппроксимации а= 0,5 устойчива. Она обладает также замечательным свойстпом: для нее Г7 0 и, следовательно, разностный закон сохранения энергии и схеме имеет форму, аналогичную дифференциальному случаю (4.8): ~ цо+~,'~о+ „го+э~о,",ца1о+ ,'~эоьт Если же в схеме 0,5 ~ со -1, то () ~ 0 и энергия е разностной схеме убывает в результате действия собственных диссипативных свойств схемы «цо»р+ 1~эон~ о ~;~ко~о+ ~!го~о Скорость убывания разпостной энергии тем выше, чем грубее сотка по премепн, пбо Д имеет порядок 0(т).
Рассмотрим теперь подробнее явную полностью консероатипную схему с а=О, 3 =0,5: эо,о) ц~ = аоо э! = аи-, 3 Применяя метод гармоник, т. е. рассматривая частные разнестные решения вида го — $'7'а, ц» =- С/74, приходны аналогично (4.5) к следующему выражению для д Э! 1 ' .от ! д = 1 — у з(п —, ~ у в и —, -~- ),'' уо з)по —, — 4 '. э ~ 47о Если у"-зш — <4, то под корнем стопт отрицательная величина, 2 Ф д+ и а — комплексно-сопряженные величины и !д )о = 1+ 27'э!но+)1. Прк 7 а1но — ~)4велпчины ео и у — вещественны, и нетрудно 7 видеть, что одна нв них по модулю превышает единицу. Итак, метод гармоник указывает, что явная полностью консервативная схема абсолютно неустойчива в смысле выполнения неравенства (1.
8). Обратимся теперь к энергетическому методу. Величина () с учетом второго из уравнений (4.9) может быть записана в виде ~3 ~;!и !а ~ !!Ло~<о,о!)(о ~, 1о(н ! н),; используя который нетрудно получить следующую оценку ()< — '!Л',", +и,'о~ —,' !!Л*;",о(„н!о+) )о).
(4ЛО) Здесь использованы известныо неравенства ПЛ*уП =" ПЛоП Пу) к (у+у)о - 2(уз+до). Подставляя (4.16) в основное соотношение (4.12), получаем неравенство г-" г ! 0 25тоП 1оег(П„По ! ПнПо) (4.17) Пусть сетка такова, что выполнено условие (4Л8) 0,5тПЛ*!П - со, где со)0 — некоторая постоянная величина, не зависящая от т и й. Тогда ив (4.17) можно заключитгн что 1 — 0,5с,тПноП < Х+ 0,5сотПнПо. Неравенство точько усилится, если ив левой его части вычесть неотрицательную величину 0,5сотПиП', а к правой добавить 0,5сотПиПо.
Учитывая определение У (см. (4Л6)), можно аанисать У(1 — сот) - 7(1+ сот) или 1--=р7, р=(1+сот)/(1 — сот) при 1 — сот)0. (4ЛО) Очевидно, р) 1. Поэтому разностное решение со временем нарастает. Оценим скорость его роста. Предварительно докажем справедливость вспомогательного неравенства 1!(1 — х) < е"о", и ) 1. (4.20) Рассмотрим функцию / (х) = е"" (1 — х) — 1 Ее производная /'(х) = е""(а, — 1 — а,х) положительна в интервале 0<х < 1 — 1(аз <1 при ао) 1. (4.21) 179 12о Так как»(0) О, то функция»(х) положительна, по крайней мере в интервале (4.21), и, слсдопатсльно, здесь выполнено (4. 20) .
Если положить ао=2, а сот, то (4.20) дает соотношение 1!(1 — с т) ( е 'о, справедливое при 0(сот(0,5. Кроме того, имеет место уже использованное нами неравенство 1+ сот(е'о'. Объединяя ати неравенства, получим оценку р = (1 + сот)/(1 — с,т) ( е 'о . (4.22) Воввращаясь к (4ЛО), аапишем ,»<+< ( е'<т,~з с, = Зс, и, продолжая далее, получим »»+< ( со<<»+<»о ( ео<т»о где 0( 1<-- =Т вЂ” конечный отреаок времени, на котором рассматривается решение исходной задачи.
Итак, явная полностью консервативная равностная съема с с<=0, б = 0,5 условно устойчива; характер устойчивости допускает нарастание погрешности со временем, но этот рост ограничен експонентой. В расчетах вто явление может привести к потере точности. Условие устойчивости (4Л8) накладывает ограничение на шаг сетки по времени т ( 2со/!!Ле!!'. Ввиду того, что ~,'А'о» 2!а! (4.23) иго (вто соотношение докапывается аналогично (3.18) ), достаточное условие устойчивости моткко ирсдстаипть в виде т ( 0,5со»<о»а'. Как видно, условие устойчивости и сам тип устойчивости явной полностью конссриативпой схемы для уравнений акустики те же, что и длп схемы с центральной разностью в случае уравнения переноса (см. и.
3 1 3). 1(апи.<иим. <то, иыбирая иыш< величину по= 2 и иераиопствс (4<.20), мы уже ввели огранпчепие па т: ! а„= г,т(1— о 2 '!'акп<! обраэом, питт по т до<<шеи тдоилстиорять двум исрэиеистиам, и ираиук! <аст<, которых иходит пока иеопрсд<лсииап постопипап со ь т,—, т -..—. '< '! П о Оптимальным и гмысле наименее пи отнят «гранич< иий иа т яв. ляется случай, когда правые части обоих неравепств совпадают, что позволяет указать величину со = а/й. Таким образом, неравенство, выражающее условие устойчивости явной полностью консервативной схемы, приобретает вид т ~ 0,5а<<а, с точностью до коэффициента 0,5 совпадающий с условием Куранта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
