А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(5Л5) 185 получим ( у)+' (, ( ((1 — 2ге) + (ю — 0,5у) + (ю + 0,5у)) (у' „'', = ) уз ('„ где (уг!а = тпах) уь~). Это неравенство, выражающее принцип максимума для схемьг (5.14), является достаточным условием устойчивости. Итак, для рассматриваемой схемы имеет место равномерная устойчивость по начальным данным, если выполнены неравенства (5.15).
Эти неравенства выполняются, если коэффициент вязкости лежит в диапазоне ! а! Ь/2 ( ч ~ Ьз/ (2 г), что в свою очередь возможно лишь прп условии Куранта т (Ь!а~. Содержание неравенства (5.16) понятно: с одной стороны, для того чтобы вязкость оказала влияние на устойчивость схемы, ее козффипиент не до;плен быть слишком малым. В то же время он не должен превышать величину, за которой начпнается неустойчивость разностного уравнения (5.14) как явного уравнения параболического типа.
Как следует из (516), минимальное допустимое значелие коэффициента вязкости т = (а)Ь/2. При этом вязкий член в уравнении (5.14) имеет порядок 0(Ь). э 6. Устойчивость раэностных схем для уравнения теплопроводности где О ( о ( 1 — свободный параметр. Напомним, что через у; здесь обозначена производная назад на неравномерной сетка (см. (3.32) гл.
11). Пусть для простоты / =О, а =сопзц а удельная внутренняя энергия пропорциональна температуре: а =сгТ, как это имеет место для идеального газа. Тогда на равномерной сетке эта схема приобретает вид /с='х 7„ ча) (ОЛ) где из = а/сг, Тоо = о Т + (1 — о) Т. Как и в предыдущих параграфах, будем считать, что решения уравнения (6.1) рассматриваются на сетке (з~=ЬЬ, Ь =/т, Ь = О, ~1, ~2, ..., / = О, 1, 2, ...). Применим для исследования устойчивости схемы (6.1) метод гармоник, т, е. рассмотрим поведение во времени частных решений вида Ть = ч/са 1.
Необходимые условия устойчивости. В предыдущей главе было построено семейство разностных схем, аппроксимирующих уравнение теплопроводности (см. (6.11) гл. П) г1 = (а Т-,)~а~ + /., где $ = е'т, щ — любое действительное число. Множитель перехода со слоя на слой д(~р) определяется в результате подстановки втой гармоники в уравнение (6,1). После несложных преобразо- ваний получим 1 — 4х (1 — с) Мп (т/З) (('.2) 1 —, 4ко глп (ф/а) аз Потребуем, чтобы выполнялось перапепстао — 1 -у 1.
Правая часть его вьшолпепа всегда, ловая — при услоаии 1 1 о:ю —,, 2 4к а1п" (р/2) которое заведомо справедливо, если 1 а и е— 4а т (6.3) и порождаемуго им корму ))//~' =-у(у, у). (6.5) Умяож~лм разностпое уравнение теплопроводности 7', = ааТ-'„' (6.6) па Т, и результат просуммируем по сетке. Получим '1 7'~,","' = а '((Т'„-,'~., 7'~). Выше в 1 3 была доказана формула (см. (3.6) ) (//' г) =— Полагая в атом рааопстпо у = Тт и и Т,, смеем ° (а) (6.7) (Т~;,'.
7',) = — (Т~~', 7',-). (6. 8) Используя далее формулу (1.19) гл 11 для перехода от к весу 0,5, можно ааписать и"и, =п" ми,+(а — 0,5)т 0,5(и~)~ +(о — 0,5)т(ш)4. Подставляя сюда в качестве веса о (и )г г= Т-, 187 Соблгодепие неравенства (6,3) является необходимым условием устойчивости. Если опо пе пьшолпопо, то можно указать такие гармоники (такие значения гу), для которых )у) ) 1, что и означает неустойчивость схомы. 2.
Достаточные условия устойчивости. Метод гармоник, использованный в предыдуп(ем пункте, позволил устапоппть необходимое условие устойчивости (6,3). Оказынается., что зто л;о условие является и достаточным, Для доказательства указанного утверждения применим зкергетический метод.
По-прежпему будем вести рассмотрепио е пеограниченпой по з областп. Как и ранее, рассмотрим скалярное произведение (У, о) =- 'У Уапай и суммируя получающееся соотношение по сетке, приходим к формуле (Т(Ю Т,-с = 0,5(!!Т-))з) (-(о — 0,5) т~ Т с//з. (6.9) С учетом выведенных соотношений (6.8), (6,9) уравнение (6.7) преобравуется к виду '1Тс~'+ О,бат(~ Т-//з), + а'(о — 0,5) т!/ Т-,с/з = О. (6.10~ Для проведения дальнейптих рассуждений нам потребуется неравенство (6.11~ Докаясем его справедливость. Обращаясь к известному перавен- ству (а+ Ь)'< 2(а'+ Ьз). получаем соотношение ~ь з с) - 2 (~з з ) суммирование которого по сетке и дает нужный результат (6,11) Полагая в (6А1) и = Т,, перепишем это неравенство в форме ) Т,)'~(Ь')4) )Т„-Р, В соответствии с этой формулой заменим в (6АО) первое слагаемое меньшей величиной.
После приведения подобных членов получим ~ 4 -)- а' (о — 0 5) т) !! Тэс )' + О 5аз ( ~ Т-, ~з )с ( О, (6.12) Если в (6.12) выражение в квадратных скобках неотрицательно, т. е. Ьз/4+ аз(о — 0.,5) т = О., (6,13) то, отбрасывая первое слагаемое, имеем аз()Т-!)з) (О или,(Т'-,~~~~(~(~Т-',(~.
Таким образом, при соблюдении условия ьз о>о о= (6.14т которое следует из (6,13), справедливо неравенство ,йо+с ~ жс~ ~.ио (6.15) где Ф=а'~~~~Т-''')'. Величину Юс называют энергией оператора Л: Лу=а'у-, (см. правую часть ясходного уравнения (6.6)) д'= — (ЛТ', Тс). Поэтому (6.15) означает устойчивость рассматриваемой схемы по начальным данным з энергетической нормо 6Тс1 = У(АТ', Т'), А — Л. Достаточное условие устойчивости выражено неравенством (6.14).
Сопоставляя этот результат с (6.3), убеждаемся, что неравенство а) —, (6.16) 4сРт является необходимым и достаточным условием устойчивости по начальным данным разностной схемы (6.6), Необходимое и достаточное условие устойчивости явной схемы (а = О) выглядит следующим образом атт/Ьз» 1/2. (6 17) дТ здТ вЂ” =а— дх (6.18) в области 0»г» 1, г) 0 рассмотрим краевую задачу с однородными граничными условиями Т(0, г)=0, Т(1, г)=0, !~0, (6.19) и некоторыми начальными данными Т(г, 0)=<р(г), 0»г»1. (6.20) Как известно (см., например [93] ), решение атой задачи может быть построено с помощью метода разделения переменных.
Оно имеет вид Т(г, г) = ~ с„е д„(г), (6.21) где Л„=азп'лт — собственные числа, а д (г)=У2з!пппг — собственные функции задачи. Коэффициенты с„определяютсн распределением температуры в начальный момент 1 с„= ~ гд (г) д (г) дг. о Так как собственные значения Л„=сх'пгп' с увеличением номера л резко возрастают, то при больших значениях 1 влинние старших гармоник быстро затухает и решение в основном определн- Чисто неявная схема (с = 1) и симметричная схема (а = 0,5) являются абсолютно устойчивыми.
Сформулированные выше условия устойчивости построены для простейшего случая. когда коэффициент уравнения аз постоянен. Аналогичные условия могут быть получены и в более общем случае длл линейного уразненик параболического типа с переменными коэффициентами (см., например. [80] ).
3. Асимптотическая устойчивость. Длл уравнения теплопроводности с постолнным коэффициентом ется первым членом рида (6.21) (регуллрный режим) Т (г, () с,е г'и, (х), (6.22) Определим норму функции и(я, /) следующим образом 1 ,~ и (/) ~. = 1 ио (», /) с/х. о — Х ! — Х,1 Учитывая, что длл всех и имеет место е ~)е ", а также принимая во внимание ортопормированность системы собственных функций Ь„(я)), имеем из (6.21) 1 1 Т (/) (о = ~ 7'-" (о, /) с/х = ~, с~с ~ ' ( е мг ~~ с„= е ~а~,(Т (О) 1'-'.
о л о Отсюда следует априорная оценка для решения дифференциальной задачи ", 7'(1) ( ( е т ',! Т (О),'6 (0,23) Раопоетвал схема, аспрокспмпрующан (6.18) — (6.20), выглядит так: 7'~ =. аоТ-„„, о (о) краевую задачу (0.24) То — — и. 7',т = 0. / = О., 1, 2.... То ч(х„). /.=0, 1, '... Д'. (0.25) (6.26) Чтобы зта сеточная функция удовлетворяла краевым условилм (6.25) .
достаточно положить 6 — н//(/, где /т' = 1/й — число интервалов равномерной сотки, введенной на отрезке 0 - г - 1. Итак, р=нй н 7'4 = о/" е/в и/~/;. (6. 27') Множитель 9, определяющий характер нзмепсппл разностпого решения со вромепем, определяется в результате подстановки (0.27') в уравнение (6.24). По аналогии с (6.2) имеем 1 — 4л (1 — о) о(л (лй/9) и т 7= х= —,, ( + 4лоя!пг (ла/2) /о 190 Если решение втой разностной задачи рассматривается на достаточно большом промеясутке времени. то разумно потребовать. чтобы его поведение было аналогично поведению решения дифферекциальпой задачи (6.18) — (6.20).
Например, естественно требовать, чтобы при / — разностное решение было близко к регулярному режиму (6.22). Построим некоторос частное решение уравнения (6.24) вида Т1 = д в(в )1/с. /с = О, 1, .... Л'. (6.27) При достаточно малой величине шагов сетки выражение для г) можно преобравовать к виду д — е-аз г+ ()[т(т [ Ьг)[ Таким обрааом, при некоторых ограничениях на шаги сетки поведение во времени найденного решения (6,27') при больших 6=/т описывается множителем вгже ' агг=е "ай=в ,гг, гг Разностное решение в этом смысле близко к регулярному режиму (6.22). Схемы, решение которых обладает указанным свойством, называются асимлтотичееки устойчивыми.
В [80[, в частности, поназапо., что для рассмотренной вьппе разностной схемы (6.24) — (6.26) справедливы следующие утверждения. Явная схема (о =О) асимптотичесни устойчива пря некотором ограничении па шаг сетки т, которое практически совпадает с условием обычной устойчивости (6.17). При о = 0,5 схема (6.24) — (6.26) абсолютно устойчива, однако зснмптотическая устойчивость имеет место лишь прн условии т ~ тг, та ~ Ь/я. Схема с о =1 (абсолютно устойчивая) аснмптотнчеснн устойчива при любых т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
