А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(3.20)' 205 Здесь х — регулярный узел сетки, Ш'(х) — множество соседпих с х узлов "„- т'- х, Л(т), В(х, -) — задаииые козффиционты уравнения. Относительно ))ит предполагаются выиолиеииыми следующие неравенства Л(х))И, В(х, $)) О, .Ю(х) = Л(х) — ~ В(х, $)~)О. (3.21) $е Ш'(х) В зтич условияк имеют место следующие теоремы. Т. е о р е м а 1. Пусть функция у(х), определенная на в!+ '(ы пепояолсительпа иа гравице: у(х) ~ О иа уы и вс)оду на ю! выпояпепо неравепство 2'[у[» О; тогда у(х) неполохсительна всюду па ыг+р ° Т е о р е м а 2, Если Ы(х)) О вс)оду па ым то для решепия ураепсиия (3,1О) с р(т)=- О веров оусика -- 1Р(х) )У (х) ( (о. ) Очевидно.
урави! иис ('.>.17) является частным случаем (3.1О)' с иозффициоитами А А .(! = 1 -; 2о,')й-', !), ! = !)1,)б-', П;,, = о,))(-', Я = 1. Н! трудно видеть, по Л, ) О, К ! ) (). В,, ! ) О, Ы =. О. Грани (иы! условия, иак показывает равенство (3.18), а дапиои случа! нулевые. Так как ь 2')у) = /'(х) = — у!'(/р((О, то иримеиение теоремы 1 дает А-ь ! ь+! ь.~-! уьь! = Лр! — — (и — р!!"' О, й= О, 1, 2, Таким образом, в процессе итераций приближено! и коргио р, (+! проис!олит снизу. Исиользоваиие теоремы 2 проводит к следу)ощему результату (3.)3) где ц — — 1/р — удельиый о юем.
Ы = 1. Видио, по рассматриваемый итерационный процесс является квадратичным, как ото и дол)кио быть для метода Ньютоиа. Обозиачим через ь ((ь( у- л()) [)у))г~О. (3.24) Тогда из (3.23) следует (.'-')г~Г.')' =-.. ~[!)е =(')г Учитывая обозиачеиие (3.24!), имеем Гуе',.<6я„~[И,)'"" '[." 1. 206 Отсюда видно, что если начальное приоляжеипе таково, что ~«1 «о Ч ! ! И ! ~ Ч ~ И р р» 7 ( 1 (3.25) то итерационный процесс сходится. Если в качестве нулевой итерации используются значения сеточных функций на предыдущем шаго, то для д получаем выражонпа (3.27) 5 11 ' о до О1 = — —— 11 до гда г ) 0 — изотериическая скорость звука. Так «ко как в Ч 6 гл.
1, введем автомоде.1ьиуго нерам1 ппуа1 $ =, — /и, гдо Е) = сопят ) 0 — массовая скорость двшкепин фронта 1дариай волны. 11ораход к автомодельной переменной позволяет ирнвастн систему уравнопнй в частных производных (3.27) к обыкновенному днффараицнальному уравпсшма —,. = —,(цо — ц)(Ч вЂ” Ч ). д«1 55 (3.28) ЗДось «1« и «11=а»1!о — значениЯ УДольного объема неРоД фРонтом ударной волны и за ним, а = а//7 — параметр, характеризующий интенсивность ударной волны, а -с/цо — массовая изотермнчаская скорость звука. Так как 0)а, то 0(а(1. Уравнение (3.28) формально можно получить нз уравнения (617) гл.
1 для адиабатического случая, если положить в нем 7 '1. 207 7 = »1/р'«11,1р' — р'+'1, = тд1/р'«'~~, ~~р,о,, (3,26) Зтз величина завпснт от характера рассчитываемого процесса н, в частности, определяется скоростью изменения функций во времени. Однако за счет выбора шага сетки по времеип асггда можно обаспс шть выполнение игравеиства (3.25), т.
е. сходимость нтерацшшного процесса. 3. Оценки для расчета наотернической ударной волны. 11 качестве иллюстрации рассмотрнм. и каким ограничениям прпводит условие сходимости итерации (3.25) длн конкретного примера — расчета данн<опия ударноб залпы, возникающей в задача о иоршпс. Однородные разнгюгоьи схемы, обеспечивающие спао,1пай расч~ т ударных волн л э явного выделении фронта волны, ирелполагают введение вязкости. Точпоа репюнпе задачи о «вязкой» структуре фронта ударной волны посгро«но в 1 6 гл.
й Однако там опо получено д1н адиабатичсскога слу шя, в то вРемя как оцслпа (3,25) построена в предиолоокошн1 об изг1тормп шести точения, 16итому прад»,1рлтсльно получим 115 зультаты д;и структуры пзотермической ударной волны в идеальном газе. Система дифференциальных уравнений в этом с:1учи имеет вид дп до д1' д1« — — — — — Я= /1.;- 01. 51 д5 д« О5 Точно так гке из общей формулы для эффективпой ширины фронта ударной волиы (6.20) гл.
1 8т = д+ И в (ч„— ч,) при 7 = 1 получается значение атой величияы для изотермического случая -'т = бт»/(тт(Че 11) ) ° (3.29) '1»очное рошеипе уравнения (3.26) позволяет вычислить значения норм, входящих в (3.26): вт (ч„— 10)т — = Чо )р»'= ю 1 1(сотому согласно (3.26) имеем вз (ч„— 1ц)' б=т— 41 и 1 Учитывая выражение фронта ударкои во:шы »ва. 1 для эффективной ширины размазывания вязкостью (3 29) и полагал, что эта ширина составляет и массовыт иптервалов сетки Л = 18 (обычпо коэффицишл вязкости т подбирается так, чтобы и = — 3 —: 4).
преобразуем условие сходимости итерационного процесса к виду с = — ( иф(а), Ф(а) = —,. (3.30) 1»1 1 - Я зд1»ь тж = /1»(с<1,) — величина, вычисленная ло условию устойчивости 11ураита дтя парамотров за фронтом ударной волиы. Таким образом, величина максямального шага т, допуспгмого в расчотах за- Д» 1к дачи об ударной волне, зависит от оо ияРаа 4.2 тексивкости (ве:ш швы параметра а: О( - а ( 1). Расч»т сильных ударных волн (а О) треоует использования мелкого шага т; при расчете слабых воли, близких и акустическим (а 1), о»раиичеиия практически отсутствуют (рис.
4.2). Итак, иримоиеиие итерационного метода Ныотоиа для ре»пения дажо абсол1отко устойчивых ревностных схем приводят к ограппчециям иа 1иаги сетки. Однако эти ограшгчоиия заметно слабое, нежели условие (1.17), иолучеяиое в и. 3 4 1 для простейшего явного 1гтерацяоииого процесса, 4. Учет псевдовязкости. Как отмечалось в гл. 11, для ооеспечеиия возможности сквозного расчета ударпых волн в разиостную схему вводится псевдовязкость. В простейшем изотермическом случае система разностных уравнений с псевдовязкостью 208 принимаот вид и» = — д'- ~ е = р + в, х, = г"'"'.
х, = 1/р, Р = Я (р). (3.31) Искусственная вязкость в; = «1(р; и; пгы) или в безындекспой записи (3. 32) (3.32') в = аа'(р, п, и(+1)) в; = — 05тр,((п,„— е!)//» — 1(иы, — и)/Ь!), (3.33)' в = — 0,5тр(и, — 1(п.)1), (3.33') либо «квадратичная вязкость» в; = — О 5рр 1(п~, — и )/61( (и +, — и )/й — 1(ив, — и ) //а1), (3 34) в = — 0,5рр1е.1(п, — 1п,! ), (3.34') либо их линейная комбинация.
11роаналпзируем, как повлияет присутствие в схеме псевдо- вязкости па процесс рвпоппя разностпых уравнений с помотцью итерационного метода 11ьютона. Исходную разпостну»о схему можно записать в видо системы /„'",1 г (х, тр(«хе) О /',;: = т ~г~ -1- к ~) =- О, /а» = «а 1 ~ = О /«» Р Я(р) 0 (3 3)) /'„,' = со — 11(р. г, г ( 1-1)), /'„,' =,," — (Р + в) =- О. 11роведем лппеерпзацню зтих ураапепкй методом Ньютона.
В розультато апалогпчоо (3.5 ) получим 6п + от6Л- = — !,. 6х — О. п6г .-- — /в 6х, .1- 6о,'и« = — /а. 6Р†.У'6р = — /„ Уды . ды, дО 6 — ~ — 60 ,'- = 6. -',. — 6п(+ 1)) = — /, (3.30) (др ' ' ' ! —,О М вЂ” (6Р+ 6,) = — /,. Замет«им, что функцпя /„л равна нулю на всех итерациях: на пулевой (й = 0) в силу выбора начальпого прнблпягения: «, а . « » ~ » т» р =Р» Р =Р ° в~=во Р'=/ц+вь на остальных (й ~ 1) вследствие линейности функции /',+' в (3.35) . 14 А. л. самара«из, ю.
и. попа» а«6 может иметь различную форму, Обычно используются либо «ли- нойная вязкость» Исключая ггз (3.36) все функции, кроме до, приходим к линойному уравнению с 1 тда и17 иы бо — от с( —,трт —. бо, —: до — — бо(+1)) = ( 2 др ди ии Н-1) = — /, + аф, + /з + — У), (3.37) где У=р'[/з — (/т).), дл/др = У (р)+ дй/др. Это уравнение нвляется трехточечным относительно сеточной функции бо и вновь может быть приводсно к индексной форме (3.7) А,бос с — С,бо, + В,босис = — /г,, Однако, в отличае от (3.8), коаффиционты вычнслясотся здесь по формулам и г',=) „ (3,38) — /,с Входящие в эти формулы производныс от псевдовязкости вычислнготся на основании конкретного вида функции Я в (3.32). Папримор, для линейной вязкости (3.33) ~..
',--, (,†.)1 —; ° ь ги ь с ь ь дП,с7р'; = — О,.си~,ои — ) ои) )1= нв/рсэ с ь ь ь сс1) д11 — трд/с при ос ( О, ди (+1) с ди ь О при о,~)О. В остальном учет псевдовязкости не вносит никаких дополнительных изменений по сравнению с предыдущим пунктом, При йс — = О формулы (3.38) вырождаются в полученные ранее вырангения (3.8) . Нетрудно видеть, что как для линейной, так и для квадратичной вязкости справедливы неравенства (дй/др)с ) О, (ЖЦдо(+1))с ( О, (Ж)/до11 Ъ О, г1б з з которые обеспечивают положительность коэффициентов А» Ву в (3.38). Для вязкостей указанных типов выполнено также со- отношение (д1)удо (+ 1)) ~ = — (дЫ~до)» позволяющее преобразовать козффициент С; в (3.38) к виду з з з Су = 1 + А; + В» Указанные факты в соответствии с общей теорией обеспечивают устойчивость прогонки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
