А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Это может несколько изменить характер нелинейности схемы и тем самым повлинть на условия сходимостн нтерапнй. 7. Результаты численных расчетов. Полученные оценки максимального шага т, использование которого допускают различные описанные выпи ал|оритмы, подтворждаютсн ~нссннсссыми расчетами. В качество теста рассматривас.тся классическая задача о поршне, вдвнгасмом в газ с постоянной скоростшо [70) . Всо рассмотрения будут проведены для изотермического случаи прк уравнении состояния р = с"р.
Исходпос состояние гааа имеет внд р(о, 0)=ро = 1, ц(г, О) = «|о = 1, р(о, О)= ро= 0,25, (361) н (о, О) = но = О. сетки (см. гл. 1, (6.20) при ( = 1), при этом 4« ("« "ь) (3.63) При значении коэффициента т = 0.05, которое использовалось в расчетах, и значении О = 1 имеем п = 2.7. Расчет сформулированной задачи был осуществлен с помощью трех а.ьгоритмов: по явной полностью консервативной схеме (1.3) — ( 66), по чисто неявной полпостгпо консерчатиепой схеме с использованием итерационного процесса зойделепского типа (1.0') — () 12'), а также с прим«пенном метода Пьаггопа (сп, п.
1). Па рис, 4.3 представленьи результаты расчета (профили скорости па последовательпыо мом, пты времени) задачи о поршне по яешгй степе длн р,ьз:шчпых значений т. При т = 0,03 (ьь = т/т, =-0,6) рь'шение передаетсн хорошо (рнс.4.3,а). Ряс. 4.3 Прп т =-0,04« (- = 0,8) профиль скорости за фронтом волны становится «пилообразным» (рис. 4.3, о).
При еще ббльших шагах т — 0,05 ("- — 1) развивающаяся болтанка полностью искажает решение (рпс. 4,3, «), Иььтереьь~иь сопоставить этот результат с теоретической оценкой (1.8). Хотя неравенство (1.8) и накладывает па т весьиа жесткое ограни пьппе «ппрабони шского» ти па, однако содержащаяся в поп произвольная постоянная са приводпт к тону. что рассиатрив„гиля схема оказывается эффективной на практике при - < 1. На рпс. 4.4 даны результаты ра<шша той же лада ы по чисто неявной степе с применением зейд левского итерационного процесса. Прн т=0.015 (ь 0.3) решгппг передается удовлетворительно (рис.
4.4, а), при т =-0,0173 (- — -0,3«) (ряс, бь.1, б) профиль скорости приобретает ярко выраженный «пилообразный» характер. Заметим, что уже при этих значениях т итерационный процесс сходитсн медленно. В расчетах число итераций было ог- 247 раничепо величиной )се=30 прп т 00!5 и )се=100 при т= =0,0175, Тем не менее атого количества итераций оказалось недостаточно для того, чтобы удовлетворить условию сходпмости (3.0) с относительной точностью т, = 10 4. Прн дальнейшем увеличении шага, например прп т = 0,02 (4 = 0 4) (рис. 4.4, в), вс с> йв гсг дв з Рас.
4.4 воспроизвести решение с помощью указанного алгоритма не удается. Итак. экспериментально полученное ограничение на шаг сетки имеет вид т сч 0.3т, ('. ~ 0,3). Прп невыполнении атого условия алгоритм в рассматриваемой задаче работает плохо. Ото согласушся с теоретической оценкой, полученной в $ 1 для акустики (1 17), которая имеет вид ( "ь (й(О 7) .)/, ь На рис.
4.5 приведены результаты расчетов, выполненных по чисто неявной схеме (а = 1) с применением метода Ньютона для слелующих значений шага: г = 0.01 (й = 0,12) (рис. 4.5, а), т = 0,2 (й = 4) (рис. 4.5, б), т = 0,6 (с = 12) (рпс. 4.5, в). Наметим, что шаг т = 0,6 является длн данной задачи весьма крупным: фронт волны при этом за одни шаг по времени проходит шесть массовых интервалов сетки. Тем пе менее решение воспроизводится удовлетворительно и итерационный процесс сходится сравпительно быстро: при т = 0,01 количество итерации й = 2, при т =- 0,2 — й = 3, при т = 0,6 — /с =- 4.
Совместный анализ теоретических результатов в результатов расчетов приводит к важному выводу оо эффективности применения для численного решения задач газовой динамики полностью консервативных схем в сочетании с птерапнонным мето- 218 дом Ньютона. Построенные на этом принципе алгоритмы допускают использование грубых сеток с большими т, пе теряя прп этом свойства адекватности физическому явлению, что дает возмоягность сокращать машинное время, необходимое для решения задач.
8. Особенности расчета задач газовой динамики па грубых сетках. Нак отмечалось вьпне, численный алгоритм, сочетающий использование неявных полностью консервативных схем с итерационным негоден Ньютона, позволяет вести расчеты при шагах а 4В В 4В гВ дл в Ю Рис. 4,9 т, заметно превышающих т„. в то вромя кзк обычно па практвко т ~ т,. Переход к таким грубым сеткам порождает ряд новых явлений, непосредственно связанных с дискретностью той модели среды, кековой является разпостная схема. Укажем некоторые подоопые зйкйекты, которые необходимо учитывать прн физической интерпретации результатов расчетов.
Так, в частности, анализируя результаты, представленные на рис. 4.5, в, следует отметить ко.ноаппя, которые претерпевают разностное решение в окрестности поршня. Птн колеоашш наблюдаются лишь прн достаточной величине шага сепн по времени т~ 0,03 (ь~б), причем они возрастают с ростом т. Колебания происходят во времепи от шага к шагу с медленно убыва1ощей амплитудой. Указанные колебания есть следствие «удараэ, который наносит поршень по границе среды во время первого шага по времени, разгоняясь с болыпны ускоренном пз состояния покоя прн ~ = 0 до конечной скорости Гс при 1 = т, Убоднться в этом позволяют результаты расчета, представленные на рпс, 4.6.
Значения всех парамш ров кпсс те же, что и дтя расчета па рпс. 4.5, в 99 исключеш~ем начальных данных: для рис. 4.5, в онн задакпся равенствами (3.61), для рис. 4.6 — зто гладкнс распределения, соответствукнцие «разиаза" пой« ударной волне, продвинувшейся 219 внутрь области на 1О массовых интервалов. )(агг видно иа рис. 4.6, дальнейшее движение ударной волны ири !) 0 уже ие сонровож;гается колебапинхш функций у иоршин. Тот же результат получается.
если поршень набирлет скорость постепенно. л ие ириобретасг ее за один шаг. ;[нугой тип ноле/анин, которые иаблюдаютсл в расчетах с крупиымн шагами т,— зто волнообразное расиргсгеяепие параметров зз ударным фронтом (рис. /ьб). Лмплнтуда зтойг волны Рис. //.б увг личнва<тсн с ростом т, в то же врсил волна затухает ио мере уда/и иии <л фронта к поршню. 1'асстонпне мгик;гу максимумом и минимумом в профиле, формирующемся зс фролтом (пол<липа длины волны), приблизите:гьно равно числу массовых интервалов сетки, которое проходит фронт зл о.гип пшг ио времени (лля рнс.
/<.йг, с и рис. /<.6 зто число ржи<о шести интервалам). ' <и с- / Рис. 4.7 г(рггчгггга возиияшвсния згих колгсаний вагш/о гаетсл в диск- ретном характер< среды (ра:шостпой сетки), ио которой движется ударная волна, !//г<гг один сл<цлфшческал лстсль серии рзсч< тол, предсчзв,и иной нл рис. 4.0/, состоит л осоосииостлх !эазмгыьгвапин фронта ударной но.гггы. !!ри ма.гых г аффективная ннгрипа фронта удсриогг волны совпадает со значением (3.63), полученным для точного рени/пил и раиного;г.гн рассггатривземого случая и =.
2,7. !Гд<ггггг<о ио хи ре унс/гичеггил т ша иигриин раст< г, хотя знач< нпе юыффнциеитз гглзкосги г остистся ггегг.гггеггггысг (си. рис. 4,7, где ши доган.гены профи.гп уд<сгьиого объема г! и вязкости ы в устаиовпвишмсн профиле волы, гго,ту<г<чгггггзг в расчетах с различными т), 220 С целью выясппю, причину указанного явления аапишем первое дифференциальное прибсшжспвс для исходного семейства схем ((.2), где учтена пскусствеппая вязкость (98, 99): да ссс яг ду — — — (о — с 7.5) т —, —. = 77, вс ав ..
яс' ас с7." сс ссс Здесь чертой сверку отхп чспы фушсции. вычисссекпые в точке (а сс г, Г„.см). Член порядка 0(т) в первом урявпеппи (3.64) можно трактовать как иокоторусо дополнительную вязкость св = — (о — 77.5) т — '" . (3.775) Еоэффссцссосст этой вязкости зависит сы сюраиотров дискретной сроды о и т, причем при т -~ О дополнительная вязкость становится исчезающе малой. При больпшх т вязкость са может стать заметпой и повсшять на решспие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
