А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 48
Текст из файла (страница 48)
например, следующим образом: М= 3 «ь 4, Л'=30 —: 40, так гго Ь = 0,1. Заметим, что если при Ь 0,1 шаг по времени взять равным т 0,01, то зто будет соответствовать в условии (6.9) зпачепию ег я«0,22. В силу того, что скорость фронта волны Ы равна единице, время расчета можно ограпичить величипой Г« = М/Я = 3 —: 4. зяпрааио«мз к«еУ Знтрапгие ' к«И и Рве. 4ЛЗ Начальные данные в этом случае задают обычно одним иэ двух способов. Первая возможпостгк весь газ в начальный мо- мент 1=0 имеет «фояовые» значепия параметров, т.
е. покоится, имеет нулевую температуру и давление, и плотность, равную единице (рис. 4.13, а): 2/(у+ 1), 1= 0, О, 1=1, 2,...,Ф, р7= 1, Т~« =О, « = О, 1,...,Л' — 1. (6.10) При использовании второй возможности предполагается, что ударная волна, порожденная поршнем, к моменту 8 0 уже про- шла некоторое расстояние п»(0(ш(М>0~1<(з<Л') По- 239 этому пачаяьпые даппые задаются в виде (рпс. 4.13, б) 2,(у + 1), О ( ! ( !а, И, (,„(((Л', (у -> 1)7(у — 1), О == < ( !»« 1, <а(<(Л вЂ” 1, )2(у — 1)7(уф()', О( (,, О, ! < » Л' — 1. (6.11) Результать> расчетов, представленные иа рис. 4.13, а и б и соответствующие разным способам задания иачавьиых даииых (6.10) и (6.11), имеют ойщу<о характерную деталь.
!! окрестности узла с<тки, где иа <а:<ьные данные испытывают скачок (точкз > =О я (6,16) и ! = >,. я (6,11)), реже> ие, иолучениое чис.ц>иие,:ш>н ти««т,<и ци тся ог т< чи«ге. Гемигрзтурн з;и'сь имеет иик, и н>тоесть — «прова.», тзк что давлеиио и скорость остннпся г:ждкими.
'!тот эффект азиест< и в лит<рятур, иод пазваииеч .>нг(ия:ийного слепи. 1!роисхождеиие г<х> «йьг< як< тая ир«чин«ми ра ц>ости«го характера.,'(ело я т«м. что формулы течи«г«репи>ива ( >.22) гл. 1, описывающие скачшц<бразиое изменение параметров е«<! <ннпе уг>арией е«лиы. сипаю длины яиип при отсутст>ши в с!яд< диссии пивиых ироцгсгон.
(! противном случае, как извггти«. г<ж ия, «рнзма.>ыеа<тгя> и возникает покеторая структура фро«та ве.>иы. ,(ля дискр<тией модели среды. которая описывается разиостпой схемоц с исав,'[«вязкостью, ока <коебразиые пачальпые данщ,н (6.!О) илп (6.11) ш соответг<и к>т, таким одра.>ом, профилям иар>м< тров я ударной во.<и<.
!!оэтому пачиизется пгрестройкз профилей (сн«еооразиый ряг<шд разрыва и дкскр<тиой дигсии:<тишки! гре>Н>). и в результиг р<>пеппе агимптотич<жкп вых«д«т нн иужинй р< >ким ударяой яолиы с «аязиой> гтруктурой. !>ак г.>г апаш > шшанпоп пер< с<рейки ирофил< и. в то ц<о начального р:<грива «стается <энтропийный след».,(авлщиц< и скорогть в;п«й о >ласти догтат<жио глядшн, так >то «рассосаться> зз с и>т гэ:ц>динамических факторов этот след ио моя ет.
!'гли и кзч< с<пи начальных даипых выбрать профи.чи парни< т!н>в. с«отж тгтз> кицп<> вязкой уднриой волне я дискретш>й сргщ. то в ра шостиом р<иц иии:штр<шиииый след иг возникает. Так же, кзк тогт с ударной волпой, осуществ:пится рас ит волны ра,>р< ж< пия в задаче и корпи>е. которь<й вь>двигается из газа (см. 1 7 гл !). <!«и зи.'к» с т< ил«ир«яе;И<«гт>,к> пепел>,зу>ется чои<»ии<т< л>,- ные тесты, ! !рог> и<нпй с«стоит в расчете уравнения энергии прп <отклн>ч< нных> г;>л<щииамических процессах.
Если продположпть еще, что коэффициент теилопровед>шстн постояпеп и плотность среды всю,<у равна едиппце (р =1), то уравиепие энергии вы-' 240 рождается в линейное уравнение теплопроводности сгдТ)дт = )тд»Т(дзг О < з < М Г > О При ааданных краевых условиях 1, 11 или 111 рода соответствующая задача для зтого уравнения без труда решается методом разделения переменных (см., например, [93]). Реализация получающегося точного решения по общей программе также не вызывает затруднений. Достаточно взять уравнения состояния в виде р= У>(р, Т)=О, е.=>а (р, Т)=г,Т, задать нулевые граничные условия для скорости .>ьт .>+т г» =гм =О и начальные данные р>=О, р»=1, >=О, 1...., т> — 1; т."( = О.
т = О, 1, ..., т"т" — 1, чтобы >отключить» влияние газодинамических эффектов. В более общем случае. когда необж>димо проверить функц>тонирование всех частей программы нрн расчетах задач газовой динамики с тон»опроводностью. в ка ястве теста можно использовать точное решение для ударной волны в среде с тенлонроводностшо (см. 1 1> г.>. 1). Постановка рззностной задачи н;пом случае понторнет все сттазаппое выше для случая обы ннш удар>то>)т волны, ко»ттттто>тотцсй н среде нод дсйствнсм поршня. Доно.>кительно следует задать грани шые ус.тонни длн т> н,н>вттт функций.
В соотнстствни с уранкенном (>>.2>!)) гл. 1 нужно нотрс кшат>ч чтобы обе границы были тт нлонзолнроннннымн: (Е» ' = >1 м'' =- т Если пачальт ы> данные оно>от разрьн>ный вид, то и рюпт>сгнои рснккип тш;нп возникает энтропийный след. Одни;о при наличпн теп:>опронодностн ннк тт"мнернтуры в райош энтротшйного следа со нрсмт.нем начинает разг,ки;пнатьсн.
Этот процесс оказывает влияние на болыную пространств> иную зону. нежели в аднзбзтн некой газодттттамотн. В розу.>ьтате разностнос рстнеяне выходит нз ттужный ре>ним зачттно позже. Избсжатт, этого в некоторой степени ион»но за счет ноя>пения вида ясного красного условия в (6.12): Т»~'= Т", глс Т" соответствует значению температуры н точном ршпснии за фронтом ударной волны. )аметим, что не>оду н этой главе мы ограпичилнсь рассмотреттттом т>дттотторттьтх уравнений газовой динамики для случая плоской сттьтзтт>тртттт. Обобщенно по>тгтст>ттьтх результатов на задачи с цклкн;трпческой плн сферн и'ской симметрией пе вызывает принципиальных трудностей и связано лишь с солне громоздкнмн формулами.
241 ГЛАВА У РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ С ИСКУССТВЕННОЙ ДИСПЕРСИЕИ В главе изложен ыетод исследования диссипативных и дисперсиояпых свойств разкостпых схем, основаниый иа аяа:шзе их дифференциального приближения. Ностроеиы схемы с искусствеппой дисперсией, обладающие болыией эффективпостыо ири расчете быстроизмепяющпхся или разрывных решепий. Б 1 1 описаны свойства решения дифферепцизльпого квазплппейцого уравпеиия перекоса, которое является хорошей моделью уравигпий газовой дииамики.
В 2 2 па примере уравиеиия перепоса, кап лииейпого, так и квазилииейпого, рассмотрепы осповяые огобгпиостп метода диффереяциальпого приближепия. Описаны свойства решеиий уравнения Вюргерса и уравпепия 11ортевега— де Бриза и пз этой оспове проапализировзпы дифферепциальпые приолижеппи различных схем. Теоретические выводы сопровождается данными расчетов.
В 1 3 для урзвпеиия переиоса построены схемы с искусственной дисперсией и приводеио их подробное исследование. Получепные резулыаты обобишются и т 4 для случая уравпеиий газовой динамики. Приводятся примеры расче1и тестовых задач. Закл«очительиый 1 8 посвящеп описанию постановки и рок~ения задачи о распаде произвольпого разрыва, 2 1. Квазилинейиое уравнение переноса и некоторые свойства его регпепия 1. Постановка задачи. В предыдущих главах подробно обсуждались пекоторые принципы, такие, как копсервэтивиость, полпая коясервативпость, одяородиость, устойчивость п т.
д., из которых следует исходить при построении разяостных схем и алгоритмов для численного решепия широкого круга задач газовой динамики. Одпако вычислительная практика показывает, что даже при соблюдепии указанных требований качество разпостного решения в ряде случаев может оказаться неудовлетворительным. В особепиости это касается задач, решеиие которых описывается функциями, бгзстроизт«епяю«цимися по прострапству или содержащими разрывы. В окрестности таких особепностей числеппое решепие может испытывать осцилляции или интеисивиое «размазывание», пе отражающее фи.шческоп реальности. Для интерпретации подобпых явлеиий, а также для раз- 242 работки эффективных методов их устранения могут быть использованы представления о внутренних диссипативных и дисперсиоиных свойствах дискретной среды, законы поведения которой задаются уравнениями разностной схемы.
Предварительно для наглядности рассмотрим возникающие здесь вопросы на модельном примере — квазилинейяом уравнении переноса. С одной стороны, это уравнение достаточно просто и его точное решение нетрудно сконструировать. С другой — опо нелинейно и хорогао моделирует основные свойства системы уравнений газодинамики, например, возмонспость возникновения в решении в некоторый момент времени сильного разрыва при гладких начальных данных.
Поэтому квааилинеиное уравнение переноса является классическим объектом, широко используемым для апробации и отработки как методов теоретического исследовапня систем нелинейных гиперболических уравнений, так и методов их численного расчета 173, 102). Напомним, что этот прием мы уже применяли в гл. П1, демонстрируя па примере линейного уравнения переноса методы исследования устойчивости разностпых схем. Итак, задача Коши для простейшего квазилинейного уравнения гиперболического типа формулируется следую!цнм образом: — +и —.=О. — со с в(+ оо, !)О, (1.1) в! Ов и(в, О) = г„(в), — оо(в(+ сю. (1.2) Характеристики С для лого случая определяются соотпошепием (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
