А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 51
Текст из файла (страница 51)
= — а —. + дст да дг 2 дскб 2 даи ж и подставим результат в правую часть (2.4): ди ди ат дти ай да т д и т 3 — +а — = —,— + дг да 2 да дг 2 дат 4 д~т атй д и (2 5) 4 да дт Теперь в правой части (2.6) в смшпанной производной необходимо заменить дифференцирование по 1 на диффоренцировапио по з, Продифференцируем (2.6) по з, выразим д'и/длд1 и подставим результат в (2.6): ди ди а т д и ай д и а т д и атй д и — +а гл ит 2 даз 1 2 д,т + 4 д,идг + 4 д,з Вновь отбрасывая чл(пы, кмеющко порядок малости выше, чем 0(т+ Й), получим ди да ай да ат — +а — = —,, (1 — у) —,, у= —.
(2.7) ж а» 2 й Уравнение (2.7) является первым дифференциальным прибли>кением ревностной схемы (2.2), записанным в П-форме. Проанализируем его. Правую часть в (2.7), которая и составляет отличие дифференциального прпблпжеппя схемы от исходного дпфчк ргпцизпьпого уравпгппл (2.1), ыо'кпо трактолать при 1 — 7 ) 0 как присутствие и схеме некоторой дпссппацкн типа липейпой вязкости (см. гл. 1П, З 5), !1роксхождепие этой диссипации имеет чисто разпостпую природу и поэтому естественно называть ее внутренней, собсгвскний йпссалацисй сгсмы кли схемкой вязкостью.
Очевидно, что выражение в правой части (2.7) представляет собой лишь главную часть полной схемкой вязкости (апиролсчллшцаонной вязкости), имеющую порядок 0(л). Остальные <диссвпативпые» слагаемые, имеющие более Высокий порлдок малости и эавислщш от более высоких четпых производных по и, были отброшены пря выводе первого дифференциального приближения. Наличие в схеме (2.2) внутренней вязкости проявляется в расчетах в виде размазывапия разпостлого решения, причем интенсивность этого размазывания возрастает с увеличением шага й.
Учитывая, что мы рассматриваем первое дифференциальное приближение, можно отбросить в правой части (2.5) последние два слагаемых, которые имеют порядок 0(т'+ тй): ди ди ат дти ай д и — + а — = —. — + —. (2.6) дг дт 2 дт иг 2 Стл Заметим, что при пару>пении условия Еурацта, т. е, при (2.8) >сс .,— ад- = <) <ч) (2.0) ус+ау! =О, < >) (2.(0) отлича<оп!ихсн способом аппрокспмацнн прострапстнечплой производной. !!ервое диф<р<репцпнльпое приблпнп ш<е н (1-форме имеет ннд для схемы (22)) — + п — ' =)! —,, '- аст(а — <>,й>)~ —,, !с ас ах (2.11) и для схемы (2.!О)— н~ зн ! <! — -,'- а — = а'т(а — 0,0>) 2 г а< ' ах дс (2.(2) Уравпеиия (2.11), (2.!2) однотипны и отлича)отся лишь коэффкциептом внлкостп (коэффициентом прп второй производной <)те<дат).
!!оэтому, как и в случае ох<мы (2.2), можно сделать вывод о том, что схемы (2.9) и (2.(0) также обладают внутренними диссипативными свойствами. !(оэффициепты схемпос< вязкости в (2.1!) и (2.!2) зависят от веса а у пространстве>пюй производпой, и.
следоватольпо, с помощью этого параметра можно управлять диссипативными снойстнамк схемы.;[ля чисто <7 Н. Л. Снн,н, !!!!. >О ц П!ннн 257 коэффициент схемпой вязкости в (2.7) становится отрицательным, В этом случае можно формально рассматривать (2.7) как уравнение теплопроводпостп с отрпцнтелы<ыи коэффициентом теплопроводпнстп. Бак известно, задача !!о<цп лтя такого уравнения янляотся пекорректпой, что свидетельствует о дефектах рассматриваемой явной схемы, которые про:>нляютсн н виде ое пеустойчивостп. Изложенные результаты подтверждают, что метод дпффорецс[цальпого прпблпжепия является эффективным ппструхц ятом анализа качества разпостпых схем. Отметим, что способы пастрое>иы< дифференциального представленкя раэпостпых схем и приемы преобразования дифференциальпых приближений от одной формы к другой весьма разнообразны и подрооцо описаны н литературе (50, 08).
В силу громоздкости с<ютнетству<ощпх выкладок мы пе будем пх н дильпей<пем прпв<>дить, ограничиваясь формулировкой окончательных результатов. Применим метод дифференциального приближения для исследования ещо двух схем, аппроксимирующих линейное уравнение <юрепоса, »П т» «О ть и =г «! О.
(2 12) 1(р»вз» чэсп ч<тд< лиру< т дгйстшц г» «,«<«»чи'и сштй вязкое < « рг» <ьиой «ли искусстве«ион, каторз« иси«<ьзу<тси,!ли скво««- го р»счета р«п ипй, содгрткащих удариыг «олпы.,'!ам< тим, <т< ш р<««;<«фф< р< «ци»,<ьиш прад<лики иие р»<п<остт<ых схем «,« л«чейного урэвп< иия тп'р< носа, рассмотргпиое выше, тат<>т<е «!»,<- ст»вл«<'т с<<<< тй ур»»и<тине 1«оргсрсэ.
1:<!«<1<му<тиру< и д»п ур<и<«ги«» 1)юрггрг» з»д» ту !тощи, а<ш.ит гичиую (1.7); т<» »О <» — +« — = р — „, — оо(а: < оо, !)0, «< «» ат- и (х, О) =- г» (г), — со ( х ( + оо. неявных схем с а = 1 при прочих раппы т условиях влияии< схемпой вязкости паибольшее, Для явной схемы (2.(0) с а=0 коэффициент схемпой вязкости отрицателен и сэма схема и<- устойчива. Схома (2.1!) ири а = 0 совпадает с явной схемой (2.2), которая и< устойчива при иаруитеиии условии Иураита. 11ри а = 0..< дти симметричной схемы (2.10) коэффициг<гт вязкости в (2.!2) обращается н пуль, вор»дик аппроксимации схгмы иопы<пагтси и становится равным 0(тт+ 6'). Соотпгтствгппо иопьииаетси и иорядок первого дифферсициальпого приближения схгмы.
Теттгрь ири его построении нужно удержив»ть члены с т', !гз и т!т. !т!отнтто ожидать, что н:<том случае аразма<т<тваттие» разнос««ио рени<пил будет ос:<зблгио. Для схемы (2<.<1) при и = !1.Дт коэффициент ииутреиией влзкости а пуль ие обращается и имеет иорядок <)(!т). Итак, анализ семойства схем дли лик<0<ного уравнении псргиоса с помощью метода дифферепциальпого приближении потшзывзгт, что зти схемы об<лакают виутршшими дтлссипативпым<т свойствами.,"1то ириподит к размазьтэаппто, искажению ра;и<ест«ого решшшя. 11еличииа котффицигитз схемкой вязкости зависит пе только от шагов сетки, ио и оирг;(глистов способом апщ«тксимации производных. При этом сттмметрп то«те апироксиматтии порождаатт бо.ш< слабую схгмиую диссипацию. 3.
Уран<те<<<те Бторгс)тгз и уравнение Ео(<те<тета — де Вртт<та. Как мы видели выше, дифференциал.ног ириближепие схем«< яв;шатоя бо:и е сложпым, чем походное дпфферепциалытов ураиигии«, !.»ойгт<ячт< этого чр«б.шэичитя <ч<р<;э тл«пся <тсобт ипогти р;т<«<пст«< го р«шч;ия, 11<»<точу «1«ш;дг, «ч строить и акали:<«- 1тт«»т«, и !т<!«т«<«<«» <ь«ьи «1<ай»и;ш ип» дл» <л«ш<ыи<и<'ив<а глу шз, «1<и»гд< ч гш.«<ш«г«< эшшп<тто тэ<ь<кт< 1и о тии«чиых п<О<ти<шннци; 3;и гь <1шнт«иии .. Ншкиыи <»<общгиш и яшэ«ли«ей«ого ур»апаш<я ттерспосз иь случ»и чтшкпт < р< д «вллгтсз р!<»лаг««г !'<т<!<гг!<г«!00[: яе„(«) )йп о„(я) = (ь Вш —" = (), г„(а) )О, « « [ (ге(а) — б)йг= 'и В.
« (2.14) Ршиеиие этой зада иг моигет быть получено я аиалитическом виде [64[: и(я,Г) =б — йр — «)п«г(-,~), с=я — Ы, (2.15) ч «(«~-э»«~ . ['.~«'/. о Из этих формул следу<т асимитотииа иоиедсиии решеиия при больших лиа и.штих /: л» ,-«««т« При выводе (2.1б) использовано соотношение, справедливое при больишх з л 1; е «2 )/из(( — ф(з)), <1>(з) = = ~ е ч г(~р ~/,.
з 2 эв Выраигеиие (2,1б) свидетельствует и тои, что ири достаточно милом коэффициенте вязкости и больших временах разность [и(а, г) — Ь), являясь гладкой функцией, б:шяка по форме к прлмоугольиому треугольиику с высотой 72М/Г и осионаиием У"М~. Имеиио такую форму, как отмечалось в 1 1, имеет иа асимптотической стадии ре~иеине задачи Еоши дли квааилииейиого уравиеиии (1.1), (1.2), (1.7), котораи получаетсн из (2.14) ирп р=О. Таким образом. ири больших ~ ргиичии задачи 11оши (2.14) Лла урввпеиия Бюргерся представляет собой «размазанное» вязкостью разрывное решение задачи 1(оши (1.1), (1.2), (1.7), что «стествеиио с физической точки вредин (см. рис.,>.10). Еще одиим обобгдеиием квазилииойиого уранпеиин переноса иа случа1г диспергируюп1их сред ивллетсл уравнение К«ртсвесл де Вризи: —" + и — + ~ — = О, [' = сои. С.
(2 17) д«з Опо является модельным для описания воли малой, во конечной амплитуды в средах, обладагощих дисперсией, и впервые было выведало длл задачи о длипиых волнах па мелкой воде (103]. Изучепию уравиеиия Иортевега — де Ври«а иосвящепа об<«приап литература, достаточно подробная бпблиогра<]и<я по атому вопросу содер<иитси. например, в [9, 41].
Для его исследования и решеипя используются различные методы. такие, иак, < з (з) Гиг. 5. Ю иаир«мер, све,««<и< к «брат«ой зада и рассеивав«я д«я уравшиии !Пре;<нигера, вострое<ин ста<!попарив<х ргии иий и т. и. )! чист<и<сто, и«каза«о, что уравиеиие (2.17) ири,5.~0 имеет « зависимости от <и,<и'и<иь< 5 диа ти<га р«ягкий вила и(ги !)— —.-.
Сl(я — l!!) — с«лого«<а и и< рио.<и «скис волиь< бои<гоны или< 1< ли<и иные волиы описываются <!юрмулой (ч.18) и',:.1) =.!г!< :)десь Л вЂ” ам«лигу;ю с«лито«а, 1=. !'12фЛ вЂ” з<]и!и ктивиая и<ирина еги ос;<ива««я, С«лито« днигк<'тся отиосительио <!<оиа со скор«от< и< /1=-Л,':!. !! <нид<м слу <а< и реки<яви олиовремю<«о могут присутствовать «<око,<ько с<ив<топив, причем солитоиь< с оолыией алшлитудой являются более узкиии и двип<утси быстрее.
Решение тина периодической волны такгке имеет аналитическое представление: и,(гь В = 2 — ~)и») тг' — —,] -;. )ь -У '(»' е6 . ! ' (2 10) где дна —:>ллиптическая функция 1!коси с модулем 0 ~5 -1, а, т — некоторые постоя о иыс. Удобно рассмотреть уравнение (2.17) в безразмерном виде. Введем безразмориьн величины с.п,!уаицим образом: лс А' !' ! гд! А — амплитуда во:ю!ущеиия, а ! — некоторый характерный размер, иапрпмср полуширииа начального возмущения. В етом случае .задача !(оши для безразмерного уравнения 1В>ртевега— де Вриза выглядит с.теду!ощим образ<и|: ='+ и — '." + о '=„= 0, и(»,0) = го(.). 6 = г':!!г!!). (2.2!!) с! ду д»' Очсвид!и!, размориые ршиеиия, соответствуинцие одной и той же б!езразмериой функции па !а;н иых данных де(У) и одинаковому !'Ис.
5 ! ! значению параметра 6, будут иоде!иы. )!арамстр 6 играет важную роль в теории диспс!миру!си!иг. сред и характеризует отношение иелииоши>го копвективиого *пена и дисперспониому. Для решений солитоииого тина существует характеристическое значение параметра нодобап 6» — )гг !2(И!. !!ри фокспрованиыт начальных данных зиап пням параметра 6«6„н Ь»Ь соответствуют качестпонио розличиьш реипиия. В случа~ 6>> 6„(»хшлые» )3) решение представляет собой цуг солитоиов. причем с увеличением 6 их коли истое будет увеличиваться, амплитуды возрастать и аффективная ншрииа умопь!натьсн (рис.
ь11). Ври Ь<< бь (»боль!оп<» !) рени шн (2.20) есть осциллнрук>щий волновой иакет (рис..~.12). !!ри 6 6» имеет и<сто решение ст!~и!а,ного т~!на, состоящее нз волнового пакета н системы со»итонов (ряс. 5.13). По- 26! сколььу скорость голотоиа пропорциональна ~ го амплитуде, солвтоиы в решении с т~ чеши м вромшш расиолагаштся в порядке убывапия амплитуд, Впереди двиягется со.шток с максимальной амплитудой, расстояние мсгкду иосл~ ловательио расиоложепиыми солитоиами увеличивается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
