А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Позиикагт вопрос, ис избаш>т ли свойство консервативности с>и>му от дефектов, которые были иодробио оиисаиси пыик>. Общий вид консервативной ох>мы. аиироксимирушщей квазилииейпое уравпе>ше переноса и форме (1.10), по аналогии с (2,23), (2.23), запишем с:иду>ощим ооразом: Ию —, (ю>ю) ':- цю>- ' . ( .3О) Закон сохранения на сетке состоит в иыиолие>ши раин>ство: у б =- со>ш1, ь (2.31) которое сираиодливо;с.юи (2ЛО) ири ус,и>вии ююю> Лхк что и предполагалось и си>оспиных иьнио расчетах.
й 3. Искусственная дисперсия 1 3з ч с > и ч ю ю и р и корр>'к тур>, !(о исбпыс соо«р«. сю пчи вы«казаны в кинг« Фл ю т >г р 1'. Иы если>гльиыс и>голы и;чюп: ч«ш жп;в.остен, Т, 1,— >!л У!пр, 11»'.1, зюиу Рнзиостиыг схемы с искусственной дисперсией дли князи;ишейиого уринисиин иеремоса. Ирош>донный и ире;и,ю,суич" юшраграфч' с иоисицьш метода;сиффгреициильиого ирибли; с" и>юи анализ ишсоторых ра:шогтиых с>исм дли ки ишлиис иного урлшпь иии перши>го ирис«с> к глс'душщим ю>ыиодич «разш«>ич>-сбили иск«го> зарок>с рз.") Д>сс кретиин мюсдгль г(и,сы, шп>гыюшю >ши юю>и ил>> с ию«ю ! о исю с > и юс, ю сл чей.
чблз с и > ю ирю дю оиюю шю ю>ос>ипею ишюылш и ю!и«и«д«, и ы.ъю ««ю ию ю «ошюю, кис щи>и>ис чисго ргыию«> ию«'иро. игсликдш >и. !!аличке тзкоп «гс.шши клип«юч и Иистиюююю,ю ьюьсюю> и иски;кс июс» ри ьпч т>спгю> р«>ис>ипи ююо «рьс;си исю«> ю 1«.шеи>и и исходной дифференциальной задачи. 1(»зф4ян( ент»< схемкой вяз- кости н днснергнн зависят от шагов сотки, типа аннр»кгнмации отдольных членов уравионня и т. д., и потому существует прия- циниальиан возможность управлять с помощь>о зтих параметр»в качеством разностного решении, С такой позиции, т. е.
г «разностно-физо н>гк»й» точки зро- ния, введение в схему пеку»ственной вязк»гт» <гть сн»с»б нюк>г» влияния на структуру и козффицненты днффергвциалын>го при- ближения г>и мы и тем самым на е» доссннати»иьн свойства. Ис- кусственная вязкогт>ь в случа< недогтаточногтн собствонпой диг- сипацин схемь>, помогает нодавить внутреннюю дисперси<о и по- рождаемые е>о огцнллвцни» области сильных изменений ре- шеяив. С целью раг>ннрення возможностей влияю<я на свойства гж- мы рассмотрим способ, гвнзанный с непосредственным в<од»бе<- пнем ка гхемну>о днгооргик> иутем нв>юго в>иденнн в рв:нк>гт»<е уравнение глага»мого, содержащего третью производную ш> ор»- странами иной но)н м< кв>й, Видоиз»нии нны» таком образом схомы (2.25) и (2.30) примут соответгп>енн» внд: у< + >)>р, — Оу > = ху<а> (а>) (а,) (..
1) $ «8. »Я р + — (Ч )' — О>>,» = з»>- ' . <а> (а,,) (а ) (3 2) з» ' »«« »« 1'ассматриеать а»влогнчпые модификации схемы (2.24)»<»р<д ставля< тсн и< л»сообразным нз-за ее большой и неугтр»комо» внутренней внзкогтн. Слагаемые Ор: . »О>юввн»ые уменьшить нска>кающ<з вл<»> ние гхемной днсшргни, естественно назвать но аналог»» < >икусственной вязы><тью искусстве>к<ой дисперсией. Будем гч><гать.
что ко:>ффнцяент и< кусственной днснерсин О имеет >п>рядок 0(т'+ й') (см. (2.26) — (2.28) ), Таким образом, вводеши и гю му до олнительно>о члена формальв» не изменяет порядка <ч аннрокснмацин Твк >ке обстояло дело и с искусст>юк<к й вяз костью, коэффициент которой имел порядок з>=0(П) и г<ютветствии с результатамн, изложенными в з 4 гл. П. Схемы (3.1), (3.2) записаны на нятиточечном шабл»»е, дчя их решения может быть использован алгоритм пнтиточечной прогонки 181). В связи с расширением >наблона возпикаот вопрос» донолннтелы>ых граничных условиях, В данном глучао, когд> задача Кони> (1.1), (1.2) реализуется па больн>»м, оо конечв»м интервале О < х < 1, зададим на границах»блвстп в до>юлненш к (1.17) (<)а = р>и =- )>) сато»геенны» у»ною<я (3 3) Иснользуя общие нрнемы исследования устойчпвостн (см.
гл. П1), нетрудно ноказать, что схемы (3.1), (3.2) в линейном 2г>8 приблинтешти устойчивы при условиях: а ~ 0,5, а> ~ 0,5, а> э 0,5. 1(араболттчегттал форма дифференциального прибдижеиия схем (3.1), (3.2), заиисапиал аналогично (2.20) с точностью до члеион ш араго порядка малости, при а = 0,5 пмгет иид >г, ди з l,.т> l »»>г (3.3) где ( >~-', т"е> -) , гг — — + т> (а, — О.б>)~. Г' = — —,, (3.5) в остальпьш >гоаб>фитциеить> равны: ддл гтхемы (3,1)— гг ! =. От> ~а> — —.,) +, .
!'= — — 0,5тг, длл схемы (3,2)— I> = бт> (а, — —. > + —, т>г> .,- —, Ь-', 1' = П. з! Из структуры диффереициальиого ирпближтчип> (ЗЛ) гзгдует, гго, иарьирул кооффициш>т искусственной диспорсии О, мо>иио воздействовать иа свойства схемы, изменяя соотношение между ге дисперсиоииыми и диссипативными факторами. Вьи>спим, к чему »то ведет па иракппи, В расчетах, как и ранее, будем использовать те же зиачо>итя шагов сетки (Ь =. 0,1, т = 0,03) и параметров, характ> ризу>оп>их иачальиые даипые (1.14) (Ь = 1, Л = 02). Для от>реле>ттииости положим а> = от = 0.5. К>юфф>привит О выберем равпь>м эиачепшо козффициеита схемиой дисперсии р, иычислеилому иа афоттеа (и(г, >) = Ь): (' =))о =-Ь1 6 + 1, 1=00022.
>/> те На рлс. 5.15 продстазчеиы розультаты соответствующих расчетое по схемам (3.1), (3.2) при отсутствии искусственной нлзкости т = О. Как видяо, качест>н> раэиостиого решоипя по улучшилости за разрывом по-прежпему пабл>одаются колебания, причем количестно осцилллций — солптоиов — возросло.,')тот факт имеет простое объяспепие. Диффер> ицнальпое ириблшкеи>и (3.4) в предположении малости амплитуды рошеппя, когда можпо пренебречь иоследпими тремя слагаемыми, сводится и уразпели>о Кортевега — де Вриза.
При этом коэффициепт при третьей производной р — 0 =.р — ре пе равен пул>о, хотя п имеет малое по сравпеиию с ре зиачепие. Как слодует из свойств уравнения Кортевега — де Вриза, пря уменьшении (> (с ростом козффи>>лепта подобия о) коли игт<н< голптоиов упеличин<и<тся, а их ишрппа сопри<дается. Именно зто мы и иаблтодаем в расчетат. Заметим.
что <сли бы мы выбрали козффици<*ит так, чтооы и точиогтк скомпенсировать схемиую дисперглио 0 =- <т(т, й, и), картина решения принципиально по измепилае<и и игру вступили бы дигиерсиоииыо слагаемые боле( высокого кирилка, описьпшемые <левами с не нтпыми прои иитдпыми по яр<а тр<игтну.
!т т,е т 7Б <97 /тг «й у .,г ',в "ч< Лйт л.л. в-Р« е Рис. 5.1б !'а«тичття о ра:шостиых ргшепиях па риг. 5.15 обусловлены и<коисернатпоиостыо схемы (3,2) — для о<ч ие г<ырппиется «интеграл» (2.31). Позтому и дальпеопп<м будем ра«оматринять лшпь консервативную схему (3.2) Па рис. 5<.1(йп дапы р< зультаты рпе и та по сх«и (3.2) тои тк< зада ш при <пшпчип искусстиеппой шшюнтп х = 0,00015. 1Лтриховой< лип<той, т<ак и па предыдущих рпсупто х, отм<"и и < точное решеппе. Пегмотря пп и и <тор <г л <!гкты (характерные иска«к< пин и вил< пропала у задшто фроита полли, т<г<б<о<тттттти* огцилляции перел и<ргдним фронтом) в целом п<яучеппое ргпииио зам<тпо олп;ке к точному, юм р<зультаты рагчгта по сх иам бгз пскусстагпиой дисперсии.
Па рис. 5.10, б иродстапл< и расчет г, т —. 0,0075. Отчтеч<т<<<тате па рпс. 5.10, и погрешности ггладплпш, правди, погколько возросло размазывание 4<ранта разрыва. Такттм образом, мы приходим к пьшоду: пнг<р шп* искугстш ивой дисперсии иозволлгт умгиыштть суммариуто схгмиую дис- 270 игреню и тем сиьгым устранить низкочастотные колебании и разностном решении. Оставшиеся иыс»кочастотные осциллпции м»гут быть подавлены тгспусственпой вязкостью с меньшим 7Ц '"3 ? ?с ?ул У з,л или 5??? и»ила?75, д —,Еи и?' 'с рис, зли козффициентотг. Н результате ивчеггио ревностного ршпеиня улучшается, в частности, сокращается тарактерпая шнрпна размазывания разрыва, 271 2.
Различные виды искусственной дисиерсии. Исиользовяииая в (3.1), (3.2) искусственная дигиерсия была лииойиа отиосительио тротьой ироизводиой, ео коэффициент мы положили раииым иостояииой 0 = ря. Дли болоо точкой кохи>еигяции схемкой дисиерсии след<шало бы, согласии (3.0>), сдглать ио<>ффицигит 0 завися>цим от ршигиия О=у(т, Ь, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
