А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Рис. 5.25 соответствует расчетам, выполненным при 0 = 25е, 0=0, и О =О, О =25о соответственно. Полученные результаты г, 7,оо о го го зо во Ю Рис. 5.24 оливки друг к другу, а также к результатам предыдущего расчета с 0 =0 = рь Это вновь подтверждает упоминавшийся выше факт, что действие искусственной дисперсия в схеме (4.2) определяется суммой коэффициентов 0+0. Отметим, что этот вывод теоретически обоснован в [59] для случая, когда решение представляет небольшое возмущение фона, типа тех, которые мы рассматриваем в расчетах.
Результаты расчетов, изображенные на рпс. 5.25>, име>от и практическое значение. Они свидетельствуют, что искусственную дисперсию, правда с удвоенным коэффициентом, моя>по вводить лишь в одно уравнение. Это позволяет вамгтпо упростить алгоритм расчета. Действительно, при 0 Ф О, 0 чь 0 нелинейная разпогтпая схема ( . 5) с помощью метода Нь>стона сводится па каждой итерации (4.15) $ " 4005 Н '~ба бьб С Пб 2аа х55 х77> 55 >бб -.0005, >а-б, ь-г~а,о=25 7-ая /йт >57 ла5 ".>5 577> б Рис. 5,23 к системе двух трехточечных уравнений, для решения которой используется матричная прогонка.
В случае если член искусственной дисперсии входит лишь в одно уравнение (О = О, О Ф 0 либо ОФО 0=0) , 0 =0), задача сводится к одному трехточечному уравнению, которое решается с помощью скалярной прогонки, что заметно проще. Анализ устойчивости схемы (4.15) в общем виде достаточно громоздок, Говоря о результатах этого анализа, укажем лишь, что при 0 = 0 условия устойчивости схемы (4.15) в линейном приближении совпадают с условиями устойчивости схемы (4.2): а) 0,5. При 0 аьО возможно появление ограничений па шаги 5. Схема с искусственной дисперсией в задаче о поршне. Исследуя разностные схемы с искусственной дпсперспой для у авнепвя переноса, мы пе ограничились рагсмотргппем тепоя лишь 1в,, х, л.
самагс>ам, ю и и ., а одного типа. Помимо простой волвы, разностпая схема бьшн опробована и па решевпях типа ударной волны, что позволило с большей надел<костью подтвердить результаты теоретического анализа. Поступим авалогичиым образом п в случае уравнений газовой динамики. Обратимся с этой целью ь классической задаче о поршне. Пусть в походном состоявии при г = 0 пок>ппцпйся (п(г, 0) = = ее= 0) однородный (р(г, 0)=рн) газ, заполняет полупрострапство х ) О, ограниченное слева поршпем. Прп 1) 0 поршень вдвигается в газ с постояпвой скоростью п(0, 1) = с>'. При отсутствии дпссппации решением задачи, которая описывается уранлевпямп (4.1), янляотся разрывпоп профиль — ударная волна, фропт котороп дзян>ется от поршня с постояппой скоростью Р. Для рассматриваемого иэотермического случая гоотвошепия между звачепиямп параметров газа по обе стороны от разрыва могут быть нолучепы из (5.23) гл, 1, где нужно положить 7=1.
Лнпример, при ковкретпых звачепиях ре = 1, П = 0,1, с = 0,5 д:пт скорости нолвы и параметров газа за ее фронтом имеем Р— 0 5>э, и> = 5>=0,1; р> =(Р/сра)тра- 1,22. На рпс. 5.20 давы результаты расчета этого конкретного варианта задачи о поршне па сетке с шагами 1г=.0,1; т= 0,08 по схеме (4,2) с о =0,5. Козффициепт искусствепвой вязкости варьируется. Паба>одается стапдартпая картива: при малых коэффициентах т> аа фронтом волны наблюдаются колебания, вязкость с большим коэффициевтом их подавляет, приводя одновременно к большому размазыванию фроита разрыва. Так, прп т= 0,01 па момент креза пи 1=40 ширппа этого размазывания согтанляет 10 — 11 ннтсрналое сетки, Аннзнз липеарпзоннппого вблизи залпе>о фронта нолвы ш«нферевциальвого прпблпвшппя (4.3), ньпп>зпшшьп! в антомодгзьпых перемепшзт апалогичш> 1 3 и. 3, познав>ет установить критическое значение коэффициента вязкости: (4>, 18) где 9=б+(> (см.
(4>.4)). Прп т та колебания за фронтом н>шпы и линейном прнблпжеппп отсутсгну>от. Лрк значениях параметров, использованных н расчете, неличппэ критического коэффициента состанляет та ж Иб>1>0 Результаты, предста~леши>о на рпс. 3.26, хорошо с этом согласуются, Ла рис. 5.27 дани розультаты расчета топ >ке задачи по схемо с искусственной дисперсией (4.15) прп о=0,5, т=0,005, 0=0, 0 = 2ре = 0,0011. Как видно, осцилля>~ип зн фронтом отсутству>от, ширина размазывания разрыва составляет 3 — 4 пптервала.
Таким образом, расчеты задачи о поршш подтвержда>от сделаппые ранее выводы о свойствах газодинамических разиостпык схем с искусствепвоп дисперсией. 6. Адиабатичеекпй случай. В этом пнр,прафе рассмотрение разпостпых схем для уравнений газовой дипамикп проводи- 290 лось на примере сравпптельно простого пзотсрмнчесвого приближении. Отметим, что все полученные результаты перспосятсл и на случай адиабатической газовой динамики. Приводом длв О в».л, б -а 5 !л Грузо ай Ю ~5а а ГГГ,'5; 6=С," Зс л! лл~ з» па >55 г=зл ги гГ5 з»5 Ы5 )35 д Рис. 5.2С примера вид разпостпой схемы с искусстзоппой дисперсией для ачпабатического случая: (Ф) г(ь.» б(г) в д(~> г~= —,'"г,', Л=р+ос г»=.
— ърг„ ,з Х»5) и ° Здесь обозначеыпя и смысл входящих параметров О и О те же, что и в (4 15). Продемоыстрируем свойства схемы (4.19) на примере численных расчетов. В качество тестовой возьмем задачу о распаде произвольного разрыва (гл. 1 1 8). Будем для опродоленпости считать, что па исходном разрыве (его массовая координата «с) температура ыепрерывпа, а скачок всеытыэают лншь з Д Э Д И О ! ' о! «эо л,злз« Рвс. 5.27 плотность и, соответствепно, давлонпе. В начальный момент среда справа и слева от разрыва покоится.
В качестве уравнений состояния используются обычные соотношения для идеального газа ((1.7), (1.8) гл. 1) с показателем адиабаты 7 = 5/3 и газовой пост!пп!пой Л = 0,831. П! рпс. 5.28 предстаэлоны розультаты расчета этой задачи прп следующих зпачопппх начальных даппь!т: х- ««, р(з.п)= т(. )= Б Р(х. )=О. (!, х)»„, Точное решоппе, которое здесь боз труда строитсп с помощь« формул, указанных в 1 8 гл. 1, содержит ударную волыу, расы[к. гтранялощулося направо, простую волну разрошепия. идущу!о с противоположную сторону, и коытактный разрыв в точке ээ. Графики ыа рпс.
5.28 приводепы на и !лп пт времокп 1= 0!.4л, отношение шага сетки ыо времеыи к шагу т,, следующему и! условия устойчивости Курапта, составляет т,'тл ~ 1, параметр с = 0,5, зпачсппя параметров т, О, О варьпровэллллсь. Гасчет, резучьтаты которого даны па рпс, 5.28,а выполнен по обычной схеме О = О = 0 с коэффициентом пскусствевыой лш!ейной вязкости т = 0,0049. Как видно, за ударной волной и волыой разрожеыия возникает интенсивная «болтапка», природа которой обсуылдалась вышо в этом параграфе.
Увеличив коэффициент вязкости до т =О,) (рнс. 5.28,б), млпкно подавить эти осцилляции, заметно «размазав» при атом фронт ударной волны. 292 12 'и в Рвс. 5.28 Рисунок 5.28, а соответствует расчету но схеме, содорх<анк.й искусственную диснерснкк зг рзТ 2- а 24 где коэф4ищиеит вязкости т тот же, что и в нервом расчете, т = 0,0040. В этом случае качество рсшония сущоствснно выпи, оно хорошо согласуотся с точным решением. В занл1очопио отметим, что полученные в данной главе результаты, в том числе и в части схем с нскусствониой дисперсией, распространены на случай неравномерных сеток, а так;ке для уравнений магнятпой гидродипамикп (60! . ГЛАВА т! РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ МАГНИГНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ В этой главе принципы построения н реазпзацпн разпогтоых схем газодинамики, изложенные выше, обобщены на случал одпоморных нестацнонарных задач магнитной гидродннамнкц.
Первая полонина глапь! содерлшт необходимые сведения но теории магннтопщродинамичсскнх тсчонпй. В 11 1, 2 выводятся уравнения мапо!твой пщродонамнкн ц обсуждаьзтся разлнчныо формы нх записи. В ч 3 описаны некоторые специфические особенности мап!нтнон гищродниаыики, тщн!е, как «вморл!!!ггн!ц!!'Тш> и диффузия магнитного ноля, наличке носколькпх скоростей звука н т.
д. В 3 4 для уравнении магнитной гидродннамикн вострое!и,! полностью консорватнпные разпостнью схемы. 1 й сод! ржнт нзло!кение методов расчета разностныт уравнении эл! ктромагнитного поля, в том числе и для случая малой проводимости. Ч 6 носпя!цен методам расчета злектричесш!х цоигй е задачах магннтнон гндродинамикн, 1 7 носвящон оннсапн!о двух ютодов расчета задач мап!итпон гндродннамики г учетом фазового нсрехода.
Изложение ведется на иримеро задачи об нмнульспом угкорешти плазмы в электромагнитном ускорителе зрознонного тина. $ 1. Приближения магнитной гидродннаьюнки. Основные уравнения 1. Уравнения Максвелла. Газ, нагретьш до вьн окой температуры, становится элгктронроводным, Прн двнжонии нроводвщей сроды в электромагнитном поло в ш й возцика!от электрические токи, ноявля!отея обугловлсннь!е этими токами силы н источники текла. Все это влшпт на движение н термодннамичсское состояние среды. Электр!г!вские токи норок да!от таьэке магнитноо ноле, которое, складываясь с исходным нолем, нзмш!яет его.
В результате возникает сложная, как правило, нелинейная картина взаимодойствия дзнжущ! нсн электронроводной средь! с электромагнитным нолем. Явления такого тина в носледнео досятнлетно все чаще становятся объектом нзучония как в фундаментальных плазмопнь!х исследованиях, так и в связи с конкретнымн т!".'ннческнмн приложениями. В теоретическом отношопнн широкий круг вонросоп и этой области может быть рассмотрен в рамках магнитной гидродинамики. исл! (1.2) (1 4) Здесь Е и Н вЂ” векторы нанряжеппостп электрического и магкптпого полей, ! — плотность электрических токов.
р, — плотность электричеспнх зарядов, с — скорость света в пустоте. Уравнения (1.1) — (! 4) эзппсзпы и переменных Эйлера, пгп льэопвпв а~ноя лютная гауссова система одппкц. Измсненпе электрического заряда со иремепом оппсываетсн дифференциальным уравнением др,/д1 + ! (г ! = О, (1.5) котороо вырансает закон сохранагнпя заряда и по апалогни с соответствующим уравненном газодпнампви часто сп1зьи~ается ураипгппеи неразрывности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
