А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 55
Текст из файла (страница 55)
д. Чтобы оцепить роль атпх факторов, обратимся к расчету аадачи (1.1) для квазилппейпого уравпеиия 276 переноса с «размазаииымиэ начальными данными: и «< ) ). ' (") = (Д вЂ” )),ЗФ(л„))), )1<. < и„/~, !, и„д < '. (3.13) Задача решалас), иа достаточно большом промежутке — l < т < Е, с —..п; а.
и=/., ю'. Б= Н 77,« 26: Б и = С. и"'.; )) и 70 О)) Рис. 5.))) 277 на концах которого задавались граничные условия и( — ~, 7) = ио и(Ь, 7) = ие. Шаги ревностной сетки, как н всюду и главе, составляли т=0,08; )) =О,т. Параметр не был выбран равным не =8, «'='~( + ! 1 ассматришн( т иак нар( ору(мыб нарялн тр, уб( и даемсл, итн, согласно (3.12), огцилллции у задш сн 4>рнвт,> винны ир( кратнтся нри р)м — у 2«1(и — и ) 0,03( Здось ко:и«>фици( ит (1 «ы ин>леи по зия и ннвм реии иия зз волнобк р = 0,0020.,)т(>т рг!!ус(ьтат шсьма б.(,ии>к к дзииым расчета.
Доствточио хорони> соответству(от раси там и (тореткчсскн( зкзч(— инн таких юлички, как д(кремгиг зятуааиин >)=Ы(21(и>)), и колуш ри(д к(сл(бяиий 7':::. л/(1>(и(), (см. (3.1!) ).:)ти даииыо прпводены в чябл. 2, здгсь жо указаны (р(дши:шачгиил;>тик нслкчни, (шлу и иньи' в расч(тях но гхем( (:1.7). (Осргдн(ии( выкал(и ни ио и(и к(>льким максимяльн! >м (и:((и,(1нцквм.) Ч' а и с( и > ! а ! иил ч„и,, Ыыа ~ ((.и, и,(ц» плач> (>,(н», ! и,хв (>.иот' ,!. '(> и ив(! иса1 (>,52 е,", и,я из>>( и,.
>,(( (>,ив 1з>о 1.ЗЗ Тикот( о(>р(>з(>м, н:>;( иксии>и' р(хбл1тй!'(з ио,'!то[3(и(~дз(от з(«> фоктивиисть тсоргтичогквх нредглаи,и иий, онираюьцвы л иа вв,>- :иш дпффороицн>шьиого иркблнжш>ии. дъ( абъш (и иия свийг (и разпостных сл(м н для рсшоний тииз у (яркий яичны. !«озтому 278 т. с.
момент атрядш нтной катзстр(н«>ыа оир(д(.чя(тол следукнцнм образом: 1. = П„)(,ч>.2 = 4, На рис. 3>.10 данн расч(ты сформулированной задачи по конг(рнатииной сю мг (3 7) ири о=а> =05, О = 0 длл следу(ощнх знячгиий козффнцигита игкусгтиии(ин! вязкости: т 0 (рнс. 5>.10, и), м = О 005 (рнс. 5.10, б), т = 0 025 (рис. 5.19, а). Как ш(дио >ы (и ршзх двух рнгуиких. р( шониг замгтии (к циллирует за фронтом в(шиы, ири м —..
0,025 репи ни(. сдглав одно-два колебания, вы>н>дит на нужный решим. «(оиыт и:мся нри:вонять длл оба.лсиеиня ияблюдю мых фактов разаитьи; выпи твиротическш нродстявлгинл. Диффороши(- >льнов крибли>ш ниг сломы (3.7), ш(к указы(и(лшш выииь сошшдянт с (3.11). так как члвиамн высшил иорлднов и (2.26) можно пренебречь в силу выбора начальных даниыь (3.1:1). Зд("сь р=-т> а ко(нрфицпокт,) вью и(ля(пся но формуле сеть осповаиия ожидать, что схемы с искугстаоииой дисиерги< и проявят свои полои<итольиь<е качества и а атом глупи. с дС" дя> д„"7 :>-,ддд, д-сед !'и<. 5.20 !!а рис. 5.20 пр<дст>шлеиы результаты рагчгта тпй >ш задачи ио схеме (3.7) ири а=о> =0,5, О=,')з =-0,0022, т =0,00:>.
Дги<таительио, числгииое ршиеиис иггьма бли:ио> к т< и<и><у, размазьваииг согтакли<т четь>ре иптеркала <>гткп, й б<. Раани;тиьп схемы с искусственной дисперсией для уравнений газовой динамики или, искл>очая даелош>о р, д <'1 > <Л дг,>н> д< <>/ дх ' ><И ' «г (б 1') Апирокспмируом (4.1') иа рааиомориой сетке разши;тиой схе- мой, полученной путем редукции общего гоиойстаа п<>лпостью 279 1. Дифференциальное приближение. !!ышо иа примере квазилиисйиого уракиоиия иереиоса был иродгмопстрироааи метод т<оретичоского исследования диссииатикиых и дисигргиоииых < ао><сто разпогтиь>х схем, огиопаииьш иа иг<и>льзоааиии ди<)>- ф<реициальиого ириближоиия.
Ои иозколпл дать «разиостио-физичоску>оэ трактовку дефектов схем, пабл<одаемых ири расч<те разрьи>и»>х и бои три>п ременных решений и естестаеииыи образом ириаол к >ка;трое<иио схем иоиого типа (схем с искугстаеииой ди< иорс>щй), и которых:>ти я<ф<>кты и зидчите.и <»>й гт«и ш< о<- лаблоиы. !! нксг<и>щем параграфе рааоитьи ирс;<стаалеиия >аашШаа>тся па гаш>динамический случай. Для иростоть> рассмотрим систоиу урааиепий га>ивой динамики а изотормическом ирибли>коиии: д /1Ъ д> д> дд (1> 1) , < ! и 3 = д> ° д< == <Ы консернатизиых схем (см.
гл. 1Ч, 4 1) =))- ы. ()«2) р = с./ь ы =. — Ва„й(о(!. Длл обеспечения гиойстна олиородиогти «ри рзгчгтг ударных воли и гтсму вигдсиа линейная искусствеииая низкость ы. Построим для от~ мы (1.2) диффереициальиог ириблинссииг. Не воспроизводя здегь громоздкис выкладки, ироигдгиие которых целиком основано иа тгхиикг, иродгмопстрироиаии«й и 3 2, при«едем окоичателгиилй результат, 11-фс)от у дым/)грепуиалького приблизгеиил селейсгеа стем (4.2). и записи кот«1«пз у ютеиы члгиы чь нторого «орлика малости 0(т-+ й') вила~чительне. з (4 3) з ю,. аГ ае>; «'р аГ1 аг О и где (2тзг-'рз + / -') 2 й (7== 6 т т (о — 0,5) Ги , ) а~ ' '-' — тр —, г) =- ир' ~н' ' (ее/ (4.4) ы == ч „з., =.
т;т а — 0.5) р. « == тт (а — 0.31 — тт/гст/6. Полагая, как обычио, т =-0(й). изи гм 4=0(тт+/Р), 1=-0(та+ Ьт), т == 0(т+!~). « =-О(те+ Ьх), Из инда дифференциального ириблиьтоиия слгдуот. что помимо яиип изг;И и«ой игкугстсч иной ли«гик«й зязиыти г ио~ффициоитом т, схомз обладаег сибстееипой линейкой еязкистью с козффициоитом т ~ =- тс'р(о — О.й), а так;ис собстееииай леаг)рагичиой елзкогтыо 11 с иозффициеитом )«1ъол )и(ищенты «тих диссииатиьяых факторов догтига~от мииииальньл значи и«и «ри о =- 0,5: т, =-О, )г = ттс'р~/6, (Па«ам«им, что схема (4.2) и лииейи«м ириблшксиип устойчива ири и.- 0,5.) Видно тнгикг. что ири упсличеиии степени исявиости схемы внутрен««с дигсииатиииые свойства схемы усиливаются. В лифам рсициальиом ирибли вгики (4.3) иригутстпуют такнсс члены, содерькагцио третьи ироизподиыг дзо/дез.
д'р/де', и«тор««, как слодует из розультатоз ир~дылуигит параграф«н, характеризуют дисперсиоииые свойства схемы. Птак, ио сранненеио со случаем киазилииейи«г«ура«пения игроноса, для изотермической газодпиазгики г/о~~фгреиуиальиое приблизгекие является замстпо более громоздким, однако сохраняет характерные черты, позволяницие рассматривать свойства 280 с(г, !) =- и(!з) = ~с!и(р)+ совы.
(4,5) При атом ил<то <сть р удовлетворяет урвьи< ив<о «<< а<< < (4.(!) иитегрироьчи;и< которого даст р(г, !) == <) (с =г с!<!), (4 7) где ввя функции <) оир< Леля<тся вз д«и<лиат< льиых усл<вий конкретной задачи. Зиа<ш «~» в (4ьй), (4.6) и «т» в (4.7) отвечагот волнам, расиростраияаиииися сиота<тстш иио иаираво и иаяево вдоль «си а, В дальис!ни< и буд<м раггматривать лишь волны, расвр<втраиякицився иаирав<в р(л, !)=-4(а — ср!), ь(с, !)==с1ир+гоев!. !!ая вилис, иогтрогииоо р<ив иио уравнений (4<.1) лс!итвитольио является автомодельиым: оио оиисывагтся фуикциями, зависящими от од<иио аргум< ига — автомодгльиой ь<ремоииой л — ср! Учить<ва«формулы (4.8), сформулируем задачу 1йиии для урэии иий в в<т< рмичсской газ<ни<й динамики: < < ~ <а,,ч< — — — — = — с» —.
— ос(а(+ сс, 1)!й < г1 '' < -'~ 1=' в(. о< р (», ! <) =,, + <!» (. ), ' (., и) = с 1и ' гце р« — фоновое зиачсиио илотиости, в функция <1(а), облака<ощая иеобхолимой гладкостью, удовлетворяет условиям, аналогичным (!.7,' !<ш <!»(а) = (ц ~ <!»(х) я<« = йГ ( сю. (!.!О) 11 силу специального выбора иачальиь<х дзинь<х задача (4<.!)) облалаот решоши и тина (4.8), где вид функции ф и значение за! разиостиых схем и терминах виутрсивгй дигсииации. виутроиией дисиерсии. 2.
Тестовое решение. Результаты численных расчетов. Система дифференциальных уравиею|й (4.3), иредставля<ои<ая собои дифференциальное ириблии<еиие схемы (4.2), слишком сълииа для иеиосредстсеяиого иссяековаивя, иозтому ироаиалнзируем влияние виутроииих диссииативи<<х и дисшрси<шиыс своиств путем численных расч<тов. В качестве нерв<но теста рассмотрим автомодельиое рошсиие системы (4,1) тина простой валлы. Для здиабатичсског случая такое решеии< было иострооио в гл. 1, ! ь7.
1)ри атом оказалосгь что в ршиевии во< искомые величины являготся функцией одш й < з иит, иаиримгр илотиогти р: и =- о(р), р == р(р) и т. д. Положим ио аналогии в (4<.!') с == с(р). 1!осл< интегрирования имеом постоянной и о(х. 1) оиределяютсп без труда; р(х, с) = р«, <(„(» — срс), о(»,С)=с!и — '' . (<.!!) , с.„с> с :)то рсшепие обладшт темп ше сиз!и<тонки, <то и репи иие тиин с<рогтой волпы дзя квазилиисйпого уравнения з $ 1. Оио ир<'д. стаиляет собой полну, рагиростряияиицу<огя в иизошительиом <исправления осп г, профиль которой игкажаетсн го оремеиом пеплу иолшп йногти задачи, !! дзльи< йпи и и расчетах огроиичимся рог. с»сотреиием функ<!ой <1„, им< к<тцих инд «шапочки а; ' с<.5 ! ! ! — <оя — «, <<а<2<А, (<! .
)О, ('.!2) При стол и ршис ипи и момент ир< мели с = и<о< ) -- )фсо (.),сс<! с< -<1 и .ншкш т р<юрьш. Угл ииеи постои<и ки р<ырьиш, к;и< и о 1 !. яоля<тги гохршиоп< кит<трезв (1<.!0). !!о огииитотичегкой <тз дпи про<(и<а< )и<<с<'и<<я и)и<б:и<жз<т< я и прямо) го:<»И<В<у т!и'- уголшнп у. 1!а риг. 5.21, а изобр <ь<ш<ы профили плотности иа д,.о мом<'пто ир< м<'ии с =- 21 и с = 1<0, полученные н расчетах задочи (с<<с) при гсидуницит зиочс пиит порам< трои: й =- 01; т =-008; с =0,5; р, =1; Л =1,5; Л =О,', < =О.
При »том момсит «гродиентпой гсатастрос(<с»> составлш т са = 0.55<. 1'.<<ли<испи липли соответствусот .'<пи и ипю <нюа о = 0,5; штрпховьн <с<с<с<с<с — а =- 1, пунктиром отмечопо тс чиос решение;шдз. чи. Для гх< лсы второго порядка аппроксимации (с< = 0,5) ори отсутствии искусственной вязкости т = О ннутреииян диссиииция. как отм«чзлогь пылко, иеослииа. !Зедуидуи< роль н атом слу'<,о. пграсот дис:шрспоииьи факторы, что п прополнетсн и си<рашко<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
