А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Одиако;>то воров<дает доиолиитгльиые трудности с точки зреиия реализации схемы, а результат, каи отмечено выше, нрактически ие улучшает. Достичь игкоторого ирогрггга здггь иозш>ли<*т другой вид искусственной дисперсии: у! + —,, (чх) - — О - (ух) ' == ч>!;,> . ! <в> <,, (в0 !"0 (3.0) Ф 2 е>> П вЂ” форма ли<уф>греиция<>ьиого ириближеиив:>той схемы в главных члеиах — совпадает с (ЗЛ). Слагаемые с козффициеитами Г, Р и П и<'сколько отли'>ян>тся ит рагсмотреииого выи>г слу'<яя.
Влииии< этих отличш) можио усмотреть из результатов расчетои ио схеме (3.0), ирив<дгииы иа риг. 5.17,и, Здесь вновь а=-а> = =-о =0,5, Па рис. 5.17,а иоказаио решгиио ири т =О, 0 =-рс =- =0,0022. Решоии<> виовь имеет ярко выряженный солитоивый характ< р, причем г< литоиы формируются быстрее, их число больите, аьикштуды вышг, чгм в соответству>ощих рясчотях ио схомг (3.2) ..'!то сшщетгльгтву<т и более точки>! коми<'исации суммариой схемкой дисперсии с >и>мощью искугствеииой дисперсии. Пя рис. 5.17, б дяиы ргзультаты расчета ири ияличии искусствл>иий вязкости г ! =0,0070>, 0=8я=0,0022.
Посмотри иа имою>цееси иебольш<я искяж< иве заднего фронта волны, умеиьшающ<гся си вргь>гига!. ирофиль решш>ия, иолучгииьш числеиио, восьмя близок и томи>му. 1Пирииа размазывяиии фронта разрыва иа момеит времеви ! = Пч г<к:тявляет вгего 7 — 8 рязиостиых интервала. Недостаток раг<мотргииых выпи форм зяи>яи игиусствшпп>й дисиерсии состоит в необходимости исиользовять для аиироксимации греты и ироизводиои иятиточечиьш шаблии. Такое расширение шаблона вызывает доиолиитгльиые игудоб>стив ири числшшом ргшеиии соответствующего рааиостиого уравиеиии.
Поэтому рассмотрим способ введение игкусстиеиио>! дисиорсии, и< требующий рясишреиии шаблона. Дифференцируя исхилиоо уравигиио игргиося. зяиисяиио<' и ливер>х итиой форьш (1.10), получим равеистяо> аиироксимируи которое иа сетке, имеем —,, (у-) ' = — у-„, + 0(т' + lм). Таким образом, возможио предложить оше один вид разиостиой схемы с искусственной дисперсией для аппроксимации 272 1' 3 888 ! 8 =г:-. 5Ж 395 -авагян, а-,д, Рис. 5.17 18 л.
и сэмзрснмй, ю, и, попса и сходкой задачи ( ! г! ) . (1.2): у, г —., (у>). ',- !)у-,а =- тр-„ 1 (»),, (и>) Отметим, что гхсма (3.7) записана иа трехточечном шаблоис. На рис. 5.18 указано рошоиис, иолучсииос ио втой схеме ири т = 0,005, 0 = ро = 0,0022, а = а» = Ог>. Видно, что разиостиос р<- шсиис ирактичсски совладает с точным за исключением узкой >'г Хи' '<86 .>и:< гео и аппг а-д, 1'вс. З.(8 окрестиости фронта разрыва.
!Пирииа размазывания иа момент врсмсии ( =1>(ь гогтвнлнвт 1< 5 ив<гоп «'тнв нро пространству. Таким образом, варьируя вид искуссп>силой дисперсии, моглио днбитьси улучшении иа ич тпа раз>ин т>~>го р< ив инп. Среди рн<— гмотрсииых ныш«хги с искугствю<иой дисисрси<1! схема (3.7) показала валлу ииш> р< зультаты для задачи (1.1), (1,2) и классе ршисиий, иороьидагмых инчальиыии двииыми (1.11).
3. Исследоваиие свойств разиостиых схем иа решеииях тиип ударной полны. !(ьинв г ивхиниьн> тн тода;(нффср< ицпвльишо ирибли>кения;<лп инн:<илнн< диого уравш иип и< рс(нн;и были (и>- гтросиь( сх< мь< г искус< твсииой ди<'и< рисш й, кито[пи оказались бв.нч вф<!и кгвнныии. и и обы <иьн. ири <нн ироизнг;и'иии роии'- ииб с разрь>ппмн. ))рнктн и скан ир нн ркн >т ор< тичсгких нь(нодон ироводилась нутом ра<чста задачи )йнии ('!г!), (1.2) ири одних и тех жо иа и:<ьиы:( данных (1.14).
))рвфиль ргшгиии иргдс>анляст собой «и(алочку» иад иостояииыи фоком,;шолюииоиирун>. щу(о с образоваииси разрыва и иа асимитотичсской стадии, ири- Г>лихчающуюся к ирямоугольиому тр< угольлику. 274 в» )(ттт и (в, т) = и«, )йтт —:= 0 г» 5 » (3.8) глгдутощгг обыкп<ви ппот диффгргпцпальиог уравшчптш яв I в (6) ттт3 () — — (= =( 6) — «)((!в (3.9) ,ттт я"- Второе пз условий (3.8) двгт.
что иря - .. — резвость П вЂ” (тт ($) — тт«)/2» дттлз,п,т тюратпться и нуль, т. т, и ("„-) - ° и~ при й - ° — ~ю. квк и в разртввном рошоиптт. Если ттттттт(тт(ттттттттпт () =-О и среда ввлветгп чисто;пи гипативиой, уравкщитг (,!.О) без труда пптегрпруетгп: и« ° '- »,А' г тт' и =(и| — -ют)!(2тт). в Ь' — иропщпщьиня тик топиивп птттттгр~троваиип (гр. Гл. ! (тй (8) ). !'гин т~ттт - гладкая ттттиттт~нтттттн кривая, щтедстввлянп.юв рвзмзэвппнй титэщвпьнт рттзрьш..'тффгтттпвпая ширпиз р,щттот:эввт ия, оиртдглтнчнп ттттткттиптч щкательпои в точщ: ит:регпба три!т(; —,«=О, согттвлнтт Л вЂ” (Я(т)т'(тт~ -ив).
!)рп 1 т'-О, )(ФО огрвппптттт и итю:ндощиппп ит~ттт;тт ипя ршигнпя вблизи фронтов волпьт. Прост дом, иаиритнр. лппт;вряаацпю уравпсппп (З.О) ттбзпщт залит го фронта. положив и(с) =тт~+ й(в), тв» 275 В то же время ттз-за пелппейпостп уравнения козффпциоиты диффоропциального приблнжгппя зависят от репнина. Поэтому все рассуждения и вьшоды, сделаппыг вьипс по результатам расчеттш, песут яа себе в опргделт'ивой мгрг тттзтт чатск коикргтшгго решения. В силу этого возникает ттгттбчттттизттттть т~ронтртттт, иолучгипые результаты па ирпмеро другое кттттгт»ттт ршпеипй задачи (1.1), (1.2).
()братпмся г этой целью к разрывпттзту ршпещпо — «ступеньке», которое нозпикает н звдн*п: Еотщт для кввзплппейиого уравнения перекоса, при пачальитвч дапиь т втща (1.6'). Если зпачсши ршпеиия иа фткп, тн род разрывом ранко и«, а зиачеиие ртшеиия за разрьппот равно ни и«(тти гкорость распр~тттраттт ипи фровтв разрыва, квк отчгчалтн ь в 6 1, п. 3. оудгт равна Л = =О 5(ив+ и~), а само решеппе являстгя автомодельиым, с автомодельиой пт ременной а = в — И.
И в этом случае соточяос рщпсипе, полученное по любой рассмотренной и 5 1 разиостиой стемс, будет оипщзваться г известкой точностью дш(»ферт пциальиым пртшлижгиигм, имгютцпм вид уравнения Вортшича — дг Вриза — !)юргерса (2.23). !!а его основе с п<тмощью уквзаипий автомодт лыка ти «бтттгущттй волиьт» опрт дглим структуру рассматриваемого ступенчатого рт твнптя, которап буцтт формпроватьсв под влпппнеч гтгмиий ввзкости и дттспгргттв.
Выполппв выкладки ттттвттот'титт~т~ точу, квк зто было сделано в гл. 1, З О, полу тим с учгтоп грттттттчныт условий где сй)» и. Б этом случае пз (3.9) следует сС сс Ли (а —,, — р —.+ ', ам=О. са сСе (3ей)) Поведеиие решепкя уравссепия (3.10) определяется знаком дис.
криминапта: с(с = р.' — 2р(ис — иа). Возможны трп случая: 1) дискримпкапт положителен ссс)0; общее решевис ш рэ. делястся формулой и ($) = С,е" + С,е ", сДе Хсл = —,„(1с — , ''Г'сТс), 2) дискрпмшсавт расеи нулю, с(с =0; общее рсчпепие имеет ссид й (ь) = е с (Сс + Сть) где ц =)с/(2р); 3) дискрпмипапт отрицателен, А»0; обп1ее решспие записываетсв следусощим образом: й (с) = ем(Сс внс Пь + Ст сов П-), где декрсмепт затухания с) и частота колебапий П задаются равепствамп ю ! с! ~Й~ ь(с ' (3.11) Ро всех с)сормуссах Сс, Са — иропзсольпые постояппыс. Итак, прп 4' 0 рошевие вблизи задпего фронта имеет осциллирующий характер, и условие появлсппн осцилляцпй связано с «преобладанием» дисперсии пад вязкостью: (1) а 11с ()с с11(ссс — и.а)). "с 'а) (3.12) Й протпвпом случае решение имеет монотонный характер.
Аналогично можпо показать, что условие возникновения осссилляцпй вблизи переднего фронта волны пмеот шсд с1а =-' 1са+ 2с)(пс — па)» О. Очевидпо, что это перавспство может выполняться лишь прп отрицательном коэффициенте (1»0. Дисперсия такого нида пса:ит пазвапие ассомвльссосс. Проведенные теоретические рассмотрения косят общий характер. Прн анализе результатов расчетов по конкретным схомам следует прпппмать во впимапие соотпогиеиии иббффи1(ибитпи, влияпие члевов более высоких порядков в дссфферессциссльпых приближениях и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
