А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 49
Текст из файла (страница 49)
гл. П, ~ 4) С: — '= (;,!), (1.3) а аарактериетичесная форма эаписи уравнения (1.1) имоот вид — = (!. (1 4) где дифференцирование проводится вдоль характеристики. Равенство (1.4) означает, что решают вдоль характеристики постоянно. Иелцчппу этой постоянной эв можно вычислить по начальным данным в той точке вь из которой выходит данная характ<рнстика ио= ив(ва). Таким образом, в силу (1.3) наклон каждой характеристики па всем ее протя!пеппи одинаков, и, следовательно, характеристика на плоскости (в, т) есть прямая линия. Если начальные даппые пе постоянны (ив(в)т= соовГ), то характеристики н отличие от линейного случая пе являются семейством параллельных прямых (рис. 5.1).
Подчеркнем, что поведение характеристик (1.3) зависит от решения, которое в свою очередь определяется начальными даннь[ми. Поэтому следует говорить пе о характеристиках уравнения (1.1), а о характеристиках задачи (1.1), (1.2). 16в 243 15водл автомодельпую переменную; = х — и (.с, 5) 5, молино представить решение исходной задачи в поленом энде [73[: и(а, >) = и(з) = но(о — и(а, г) 1) . (1 5) 2.
Свойства некоторых точных решений. Исходя из описанных свойств решения задачи (1.1), (1.2), нетрудно построить ес точное решение. Проделаем это длл случал, когда пачальпые данные (1.2) задаются ку, ф=,(,) ",= ( > сочно-линейпой функцией. При этом будем рассматривать два варианта надачи с аЬо(я) Яя ~ О (вариант 1) и с а(ио(о)Уа -. >) (вариант П)(см. рис. 5.2), рсн>снпл которых имеют разлп шь>й тин. Париапт 1: на(о) А зи ои — -'> и —.=О, ш да и (о. О) = но (а) = О, о(0, У вЂ” "->ь О(о(о>, (1.6) н„. а ос'.
а, о, Рис. БЛ Не выписывая решение задачи (1.6) лвпо (что несложно сделать), проанализируем его поведение с помощью рнс. 5.3. Здесь на фазовой плоскости (о, 5) представлено семейство характеристик задачи (1.6). В зонах 1 и П1 характеристики есть Рис. 5.2 паРаллельпыо нРлмые с наклоном >Ь/>55 =по и >(о>>с>> = О соответственно. Значении решения в этих зонах равны ио и пулл> соответственно.
В зопо П имеем расходлщийсл веер прлмых характеристик, вдоль которых решение лз начальных данных нереноситсл без изменения. Ширина этой зоны со временем растет: 244 О ( г ( И+ иод ршпояие здесь остается линейпым ао з: "(')= л+ о Сопоставляя отмечеппые факты с результатами исследования задачи о поршне (гл. П, $7), видим, что описанное решение л..л рас. з.з з(О, и(гой) = с„(з) = ис (1 — — ), 0(з(сК, ($.0') О а ~ )с.
ди ди — + и —. = О, дт дт Система характеристик яа фазовой плоскости и решенно задачи ((.6') формально строятся, как и в предыдущом случае (рис. 5.4). Вновь в каждой из зон 1 и П1 решение имеет постоянное значение (нуль и ио соответственно), з характеристики 245 задача и сеянном ипдо (С5) аналогпчпо простой солне разрен'ения и гам»ой дппампке, Обратимся теперь и вариаату задачи с дие(а)!с1з ~ О. Вариапт П: параллельны. В зоне П, ширина которой со временем сокращается, характеристики образуют сходящийся веер, а решение остается линейным по пространственной переменной.
Нетрудно показать, что все характеристики в зоне П пересекаются в момент времени ~о = д1и, в точке х = И, производная решения при этом становится бесконечно большой. Такую ситуацию в ар ) теории гиперболических уравнений принято называть тградиентной катастро4ой». Отметим, что в отлично от задачи (1.6) здесь на фазовой плоскости появляется зона 1Ч, которая трижды покрыта характеристиками, приходящими сюда из зон 1, П и П1.
Формально решение в этой области становится трехзначным (см. рис. 5.4). Учитывая, что с помощью (1.6') мы моделируем описание газо. динамических течений, следует сделать вывод, что неоднозначность решения неприемлема с физической точки зрения. С целью 248 ее устранения в решение, начиная с момента г», вводится раз- )Т '. ыв, являющийся аналогом газодинамическои ударной волны.
разила, в соответствии с которыми проводится постановка разрыва, будут обсуждены ниже. Особенности поведения построенных решений можно прокомментировать следующим образом. Множитель и во втором слагаемом в исходном уравнении (1.1), определяющий наклон характеристики на фазовой плоскости, есть скорость распространения в пространстве данного значения решения. В отличие от линейного случая зта скорость зависит от решения — точки профиля и(г, г), отвечающие ббльшим аначениям, »вяжутся Г>ыстрсг, меньшим — медленное. По > му и зздачо (1.6 ) задний фронт волны, со>>твггсгиу>он>ил >ыиболынему .>иач> иию ренн ияя ие, нагоняет иож диий стоящий фронт с и=0.
В задаче (1.6)— наоборот: передний фронт волны движется направо со скоростью ио, а задний стоит. Таким обри,к>м, решения рассмотренных изми задач($.6) и (1.6') для кеазилииейного уравиоиия не[к ниса достаточно 8 5 ' '5 хорони> стран>як>т свойства 5) двух наиболее >зрактерных р>- шеикй уравпшшй газовой динамики — простоГ> волны разрежения и ударной волны. 3. Тестовые варианты. Сопоставление известных решений задачи (1.1), (1.2) с результаз о тами численных расчетов по Ркс. 5.5 тем яли иным разностиым схемам открывает возможность непосредственного изучения каче- ства этих схем. роли отдельных входящих в них параметров.
Утешим с этик позиций постановку задачи, конкретизируя вид начальных данных (1.2). Вудом считать, что функция ио(з) удовлетворяет следующим условиям: + (г»(з) — Ь) >Ь = >)Х О, Ь = соизг)0, Ни (») )пи г,(к) = Ь, 1ни — '= О, го(о) .О, (1.7) г>»(»)~0, 8(оо, го(з) СО, г)зо. Такие начальные данные представляют собой профиль типа ошапочки», возвьииающейся над фоном и = Ь (рис. 5.5). Точки 247 профиля, где решение имеет большую величину, будутдвигаться, как было сказано выше, быстрее, чем основание «шапочки».
Со временем форма профиля и(з, 1) будет изменяться, и в конце концов произойдет «градиентная катастроф໠— в решении возникнет разрыв. Момент «градиентной катастрофы» можно рассчитать по начальным данным ио(з), Действительно, рассмотрим две характеристики, выходящие при ! = О из некоторых точек с близкими координатами г = У и» = У+ 6 (рис.
5,5). Наклон характеристик определяется величинами решения на них по(г) и по(у+ 6), а момент пересечения Г равенством й+ ио(й) « = й+ 6+ по(У + 6) г. Отсюда находим или, переходя и пределу при 6 О (в предположении достаточнои гладкости функции ио(»)), 1= — 1>«( )1 (1.8) Для определения момента «градиентной катастрофы» из всех значений (1,6) нужно выбрать наименьшее: 1 ш1п ~ — — 1! е 1«) )' « (!.9) "'+ "(; )=О.
(1.10) Учитывая вытекающее непосредственно из начальных данных свойство решения !!ш и(«,1) =!>, 1)О, (1.11) получим после интегрирования (1.!О) по» соотпошение — ~ (и(«,1) — Ь)дг= О, (1.12) Полученное соотношение естественно трактовать как закон сохранения, справедливый для задачи (11), (1.7). С геометрической точки зрения это означает, что площадь фигуры, ограниченной сверху кривой и(г, !), а снизу прямой и(г, !) = Ь 248 ()чевидпо, возпикповепио разрыва происходит па спадающей ветви решения, где его производная по г отрицательна. Рассмотрим вопрос о правилах постановки в решении разрыва прп >) >«. Заметим, что уроввевве (1.1) может быть переппсапо в так называемом диоерзеитиом виде: (рис.
5.б), остается со временем неизменной: + Э + 3 ~ (и (я, г) — Ь! Ия = ~ (о«(я) — Ь! Ня = М, (1ЛЗ) Очевидно, вводить разрыв в многозначное решение необходимо так, чтобы закон сохранения (1.13) не был нарушен. Для этого я» р .ае координату разрыва я» в каждьш момент времени следует выбирать из условна равенства площадей криволинейных фигур А и В на рис. 5,6; Ял=Яв, В дальнейшем в тестовых расчетах мы будем использовать конкретный вид пачальпых данных, удовлетворяющих условиям (1.7): ди ди — +и — =О, ии ди и(я, О) = и»(я) = Л сй Я(я) + Ь.
(1Л4) Картина решения задачи (1.14), па последователькыо моменты времени при значениях параметров Л = 0,2, Ь = 1,0, представлена на рис 5.7. Момент «градиептной катастрофы», вычисленный по формуле (1.9), в этом случае равен а ям 649. Можно показать, что с течением вромени при ! ~1„профиль возмущения над фоном асимптотически стремится н прямоугольному треугольнику, основание которого увеличивается как Й, а высота уменьшается по такому же закону. Е аи Аналогично газодинамическому случаю можно рассматривать точное решение типа «ступеньки», которое возникает в задача Коши (1.6') после момента градиентной катастрофы и постановни разрыва в соответствии с правилами, изложенными выше. Для большей общности будем считать, что значения решения и» и /,г :.0 «5 Яз 5~/ 'КУ «55 1,д ;„.5 Рос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
