А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 50
Текст из файла (страница 50)
5.7 Это равенство можно рассматривать как аналог газодинамических соотношений Гюгонио на разрыве. Опо устанавливает связь между значением решения по обе стороны от разрыва и скоростью разрыва и» и/ 250 слева и справа от разрыва равны соответственно и«и и/ (и«( и/), а скорость перемещения разрыва — Р. Описанное решение, очевидно, является звтомодельным с автомодельной неременнои с = » — Р/ (автомодельяость бегущей волны) (см.
гл. 1, з 6). Учитывая связь между производными д ~1 д з — = — Р—., д« /« ' О/ йЯ получим из уравнения (1ЛО) Ни 4 «и — Р—. + — — =О. «/й 2 «« После интегрирования етого соотноп/ения по; от — до + для нашего решения имеем — Р(и, — и,) + — „(и, — и») = О. Заметим, что рассмотренное решение может быть реализовано в задаче на полуограниченной прямой, моделирующей газодина- мкческую задачу о поршне: — +и —.=О, 0<а<+ оо, г>0, и оо и(г,О) = ио, 0<о<+ сс, и(0, г) = ио, г) О, ио ~по. 4.
Результаты численных расчетов. Для численных расчетов сформулироваипой выше тестовой задачи (1.14) будем исполь- зовать дее схемы, представляющие собой развитие схем для ли- нейного уравнения, исследованных на устойчивость в гл.
111. Схема А: + со.о) О о ( ) у ) + яя о' = О, уй = уо (го). <о,о) (1.15) Схема В: (1Л6) Разностные уравнения (1Л5), (1.16) рассматривались на конечном промежутке 0 < г < Ь, где величина Ь выбиралась достаточ- х7г ьзг ба ого оо' Рис. 5.8 но большой. ЕЕа границах области задавались естественные граничные условия уо = у~» = Ь. (1Л7) Использовалась равномерная сетка с шагами Ь = 0,( Пс ПРОЛ- ранственной координате и т = 0,08 ~ то по времеви (т„= Ь)и „вЂ” характерная величина, фигурирующая в критерии устойчивости Куранта (см. гл.
П1, $21). Заметим, что обе схемы являются в линейном приближении абсолютно устойчивыми и имеют погреншость аппроксимации О(т+ Ь) и О(т+ нт) соответственно. Задача (115), (1.17) решалась с помощью метода бегущего счета, задача (1.16), (1.17) — методом прогонки.
Результаты расчетов приведены па рис. 5.8 и 5.й, здесь же штриховыми линиямп изображены точные решения (1.14). Решеппе, полученное по / У /2 //б /бб :-бб чбб ббб ббб Рис. 5.9 схеме (115) (рнс. 5.8), является сильно размазанным. Основные особенности точш/го решеш///, в частности наличие разрыва, переданы плохо. Это наводит иа мысль, что в дискретной среде, описываемой разпостпой схемой (1.15), действуют мощные дпссипативные факторы, хотя в исходной дифференциальной задаче 252 (1.14) члены. отвечающие таким процессам, в явном виде отсутствуют. Графики, прпведенпые па рпс.
5.9 для схемы (1.16), показывают, что в это»> случае при г)!а за фронтом разрыва в численном ре>пешш возш»'ают сольные колебания, существоппо его пскажающпе. По асимптотической стадии прк ! »га численное реп>ение распадаетсп па отдельные возмущения, распрострапяющпеся друг за другом с разлн шымп скоростями. Такая картина не имеет ничего общего с точным репгечшем. Это дает основание вредно.>ожить, что в случае использования схемы (1.16) соответствующая дискретная среда является сильно дпспергпрующей. Отмеченные факты подтверждают вывод о том, что дискретная модель пр>пиеса, реализованпая с помо>цыо той плв ивой разпостпой степь>, является самостоятельным об»пактом, обладающим собстаеппымп аразпостко-фпзп"и скими» свойстпами, которые могут за»птпо отлпчаться от свойств исходной дифференциальной задачи.
'!'ак, схемы (1.15), (1.16) об>ладают впутраииой диссипациеи и дисперсией, что и приводит к искажепию решения. Эффекты, проанализированные на примере модельной задачи (1,16>), наблюдаются и в газодкпамз исках расчетах Быяспепие природы этих явлений и разработка ме тодов пх устранения является актуальной проблемой теории раэпостпых схем. !!астоящая глава и посвящена указанным вопросам примепительпо к задачам для смстемы гппербй>лпческпх уравпепий.
з 2. Метод дяфференциального приближения 1. Идея метода. Лктпвпое развитие теории разпостпых схем качалось зпа п>телып> поздпегэ чем таких классических математическях дисциплин, как анализ и теории дифференциальных уравпений. Поэтому естестаеппо желание исследователой привлечь хорошо разработанный аппарат этих разделов математики для иаучепия разш>стпых схем.
Одним пз направлений такой деятельности является разработка и прпмеш пие метода дифференциального приближения !30, 31, 98, 99, 38, 59]. При построении рази»ство» схемы. аппроксимирующей пекоторую дифференциальную задачи, бесковечкомервое пространство фувкций пепрерывпого аргумента замепяется ковечномерным пространством сеточных функций, а лпффереоцизльпое уравиепие — системой алгебрап вских соотношений. Тот факт, что решение диффереоцяальпой задаш и сеточпое реп>ение принадлежат разпым фуппцпоиальпым пр»стране>вам, порождает определенвые трудности при теоретическом апалязе свойств раэпостпых схем. Поэтому зачастук> рассматривают разиоствые операторы в том же фупкциональпом пространстве, что и аппроксимпруемый дифференциальные операторы, считая, что разпостпые сх> мы удовлетворяются функциями непрерывного аргумента в ка>кдои точке рассматриваемой области, а пе только в узлах сетки.
Это 2Я предположение лежит в основе метода дифференциального приближения. Продемонстрируем идею этого метода и технику построения дифференциальных приближений на примере разностной схемы для линейного уравнения переноса: — ", +а —,' =О, — (з(+, 1)0, а)0. (21) Аппроксимируем (2.1) на равномерной сетке с помощью одной из рассмотренных ранее (гл. П1, 4 2) разностных схем: Уз в1 Й д) — 1 т +а =О, ь ь'=О, ~1, ...; 1=0, 1, ..., (дз + аи, -= 0). (2.2') Возьмем достаточно гладкую функцию о(з, 1) и выразим ее зна- чения в узлах сетки (г„т, ~), (з; ь С,) с помощью разложения в ряд Тейлора в узле (з;, й): ~~ т~ д~и о (з1 1р+1) о (за Сз) + 2з 2Г 1 (е1 1з)ь ю=т ОЭ ~ а~ д~и о (г1 и 11) = о (го 1 ) + ~~ ( — 1) —, —, (зп 1,). 1-1 дт Подставляя этп значения в разностную схему (2.2) вместо соответствующих значений сеточной функции у, получим соотношение, записанное в узле (гн 8з): 1-т Формально мы вьшолвили операции, которые совершают при определения лона;иной погрешпостп аппроксимации уравнения (2.1) разносгной схемой ('.2) на классе функций и(г, 1).
Правая часть (2,3) н представляет собой выражение для этой погрешности, Ее величина окределяотся старшими по т и Й члепэми суммы и имеет в днэаом случае первый порядок 0(т+ 6), Если анализ погрешности аппроксимации закапчивается этим выводом, то четой дифференциального приближения состоит в более глубоком изучении структуры правой части (2.3). При этом, как отмечалось выше, будем рассматривать соотношевае (2.3) пе только в узлах сотка, по п в любой точно области л() ( - ( а ( +, 1 ) 0) .
Уравпеппг (2.3) пазывают дифферепциальпым представлением разпостпой схемы (2.2), записапным в так называемой Г-форме (гиперболической форме). Если ряд в правой части (2,3) сходится, то решение дпфферепциальпого уравпення (2.3) 254 ду де т де аа до 2 — за — = — —,— ',+ — —, ш Ш - ья дт 9 (2.4) Это таь называемая Г-фора>а дифференциал ьио го п риб л и ж е н и я, опа содержит в правой части дифферевцирование как по пространствекпой, так и по времеппой перемеппой.
Для практических целей оказывается удобпым перейти н П-форме (параболической) записи первого дифференциального приближения, которая содержит в правой части только производные по г. Для этого необходимо исключить пз правой части (2.1) производные по времени, что можно сделать с помощью самого же 255 зквивалептко решению разпостпого уравпения (2.2) в том смысле, что зпачеппя пепрерывпой фупкцяи е(з, Г) в узлах сетки (гь ~,) совпадают со значениями разпостпого решепия у(. Сходимость ряда в правой части (2.3) зависит от шагов сетки т и й, а также от характера решепия, и ее исследовапие представляет собой самостоятельпую проблему (98). Из сопоставления уравпения (2.3) для п(г, ~) и ураввоиия (2.1) для и(з, 1) впдпо, что различие между этими фупкциями обусловлепо паличием в (2.3) правой части, отличпой от нуля.
Следовательпо, по той >ке причине реоп оке г>( разпостпого уравиепия будет отличаться от искомого решепия и(з, г). Таким образоьц окззываетсн Возмо>!ьпь>хг свести пзучепве свьйств разностпого решевпя, п тем самым, качеств разпостпой схемы к анализу дифференцпальпого соотпошевия (2.3) .
Довольпо очевидпо, что указапные различия сильнее проявляются па грубых сетках, а также яа решениях, сильно меняющихся во времепи и простракстве. Это подтверждает структура правой части (2.3). 2. Дифференциальное приближение для линейного уравнения переиоса. Уравпеп>ге (2.3) содержит полпую информацию о разностпом решении и, исследовав его, можпо сделать исчерпывающие выводы о достоинствах и недостатках рассматриваемой разностной схемы.
Однако пз-за пеогранпченности количества членов ряда в (2.3) выполппть такое исследовапие оказывается затруднительным. Поэтому обычно ограпичиваются апализом уравнения (2.3), в правой части ко>одого оставеепо лпшь конечное число слагаемых. Наиболее раепроетранеопым является случай, когда в (2,3) сохракяют липе, старшие члепы разло>кения по т и Й, порядок которых совпздаот с порядком погрешности аппрокспмацпи схемы. Получан>щееся при этом из (2.3) уравнение Называют первым дпфферг>гциильным приближением схемы.
Конечно, зто дифференциальное пркблвжепке уже пе аквивалентко полностью исходпой разпостпой схеме, однако при определенпых условиях яз пего можпо получить достаточно содер>кательнуго ппформацию о свойствах схемы. 11ервое дпфференциальное прпблпжепие схемы (2.2) имеет вид соотношения (2.4). С целью продемонстрировать технику полу« чевия П-формы дифференциального при 6 ли жени я проведем подробные выкладки для рассматриваемого здесь случаи явной схемы для линейного уравнения переноса. Продифференцируем (2.4) по з, выразим вторую производную: ди ди т ди аЬ ди —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
