А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 47
Текст из файла (страница 47)
т а и Л =д д У г тла ток т, =т, л и ут Ф Нот Рос. 4.11 Используем разностпое аыражен1ш для потока тепла через температуру: И",+' = — Ло (Т;'+'„Т';+',) (Т',л' — Т';~,'~/йь ' = 0; Лг. (5.23) Равенства (5.22) и (5.23) образуют део системы уравнений, относящиеся к граничным точкам 1 =- О, 1 = )о'. Линеаризуя ати системы уравнений с помощью метода Ньютона, получим, например, прп 1 = 0 1о1 1, !л1 1, — Г,б Т, +С,бто = — ~' „ (5.24) где т~ Е, = йо(то, — ~(дКтдТ ( — 1)) ~ Т-) — дшотдТ( — 1), Т'., = /го~)1., + (дК/д7), ~7'-), (5.24') Г'., = й,(т-„~ + * '(Т „1„). г+1 Соотношения (5.20) порождают граничные условия б Т, = О, +1 б Тк —.— 0,1 = 0,1,..., которые а свою очередь дают 1+1 бо=О по — О Ь ук =" 1 — 0 1 ° ° (521) 5. Граничные условия для теплового потока.
1'ассмотрим соотношения (5.18), которые, очевидно, включают условия (5.17) как частный случай. Нрк формулирооке разностной задачи зти соотношения принимают вид И"~~~ = юо(7'~д',Е; о), ИткоТ' =- ш**(ТкоТ', 11л,). (5.22) Точно так же в точке ( =((( имеем (, («-1 (, (-(-1 Вкб Тк — — Е(«б Тк = — Г.ч. (з.йб) вычисляются аналогично (5.24') . (5.25) с общими формулами (2.8), (2.12), Коэффициенты (5.25) Сравнивая (5.24), (2.13), заключаем ! $»= —, Е »к+ ((т!(я бТк = (, ! пк —;как Ч» Е Эти формулы завершают анализ класса задач, где условия для тепловых функций на границах заданы по тепловым потокам.
э 6. Практические рекомендации где 7 — безразмерная функция, а Рз — некоторый постоянный размерный множитель, представляющий характерный масштаб для измерения врличины Г. Часто в качестве масштабпых множителей выбирают параметры, непосредственно входящие в усло- 234 Выше оыли изложены некоторые принципы построеш(я разностных схем для одномерных нестациоиарных задач газовоп динамики и оппсзпы алгоритмы для их численной реа((изацпп. Однако каждый, кому приходилось иметь дело с реализацией на ЭВМ достаточно слоя(пых вычислительных алгоритмов, неизбея(но сталкивался с различными трудностями технологического характера. Даже при полной ясности алгоритма, как правило, возникают некоторые «сопутствующие» трудности, для преодоления которых вычислителю-прикладнику приходится изобретать специальные приемы.
Совокупность такого рода приемов, накопленных со временем и проверенных практпкой, составляет своеобразную «кухню» исследователя. К сожалению, такой опыт редко обнародуется, так что фактически кзх(дому вычислятешо приходится приобретать его самостоятельно, обучаясь па собственных ошибках. В этом параграфе опксаяы некоторые приемы работы, которые оказываются полезными прп численных расчетах задач (причем не обязательно газодинамических).
1. Приведение задачи к безразмерному виду. Одея из первых вопросов, возникающих при численном решении какой-ли о практически интересной задачи, зто вопрос о выборе системы единиц, в когорой будут измеряться все физические параметры. Обойтп связанные с этим трудности позволяет так называемое обе»раза(еривание задачи, т. е. приведение системы уравнений, граничных условий и т.
д. к безразмерному виду. Для этого каждую функцию, фигурирующую в формулировке задачи, представляют следующим образом: Для рассматриваемых аадач с плоской симметрией 2 пмссм размерность г/сэ<2. С учетом (6.5) и (6.6) уравнение неразрывности преобразуется к безраамерному виду Поступая так чить следующую вой динамики: же с остальными уравнениями, можно полу- безразмерную форму системы уравнений гаэо- ди дС дх — =г д1 д<; до до дгй до дх ду до Р=2 дх д1 где о<1езраэмеривание выполнено в соответствии с формулами — 1 ,2 2-2 по = хоГо 1 ао = Рохо~ Ро = Ро = ооо Рого = Роэ'о<о 2 — 1 2 2 2 122 2 3 3 то РоиоГо 2 ео = со = 2<2<2 2 '"о = Ро'о = Рого<о )22 = РотоЧо То Аналогично приводятся к безразмерному виду и уравнения состояпия.
Нетрудно видеть, что соли в лолученпой системе бсзраэо<срных уравпений (6.7) опустить волну над всеми фупкциямп, то она в точности совпадет с системой уравнений в размерном зпдс. Поэтому в расчетах можно использовать обы <кую систему уравнений, рассматривая ес как безразмерную. Числовые <п<зчсппя параметров, определяющих конкретное рсшспнс задачи (коэффициенты уравнений, значения функций в начальный момент и т. д.), следует предварительно преобразовать к безразмерному виду по формулам (6.2). Значения же определяющих размерных параметров Гм хо, ро, То выбираются, исходя пэ си< цифпч.сках особенностей рассматриваемой задачи так, чтобы безразмерные функцпи по величине были порядка единицы.
Результаты решения задачи преобразуются к размерному виду также с помощью соотношений (6„2). Прп таком способе обезразмеривапия переход к расчету задач иного класса свлзан лишь с изменением величины масштаоов го, хо, ро, То и никак не отражается па расчотпых формулах. 2. Блочная структура программы. В реальных задачах уравнения состояния, зависимость коэффициента тсплопрош<дпосю< от термодинамического состояпия и другие свойства среды могут иметь достаточно слонсный вид, причем этот впд моя от изменяться при псреходо от одного класса задач к другому. !<идичную форму для разных задач может иметь и псевдовязкость.
В то же время в расчетные формулы, описанные выше, входят как сами эти величины, так н производные от ппх (дУ/др, 236 дК(дТ, дле/д» н пр.). В связи с этим пх вычисление целесообразно производить а специальных подпрограммах-блоках, обращение к которым предусматривается в соответствующих местах общей программы (рис. 4.12). Такая блочная структура программы придает ей большую универсальностьс замена того или иного изолированного блока обеспечивает возможность перехода к расчету задач для сред с другими физическими свойствами.
Ние>ен >е»е>еРегее »ее>еч „>-»'-ге ",> е Пяс. '»" Блочная структура программы облегчает ташке чис:>еппое решение таких задач, где пространственная ооласть О . а -М состоит из нескольких подобластей (М„г М„е„п = О, 1, .;., Л вЂ” 1, Ма=о, М„=М) с различными свойствамп (несколько различных газ>п>).
В>десь осповпыо расчетные формулы остаются одними и теми же, нужно лшпь при вычислении характеристик газа в данной подобласти обращаться к соответствующему блоку. 3. Использование точных решений дла отладки программ. Создание программы для ОВМ, как правило, вклю шет так называемый этап отладки, который поэзо.>яет убелиться н том, что написанная про>.рампа пе содержит ошиоок. Об>ачпо для этой цели используют некоторые упрощенные варианты задачи, решение которых известно пли может быть получено сравнительно несложными методами.
Если результаты, полученные путем численного расчета по еотлаживаемой» программе пекоторок системы таких тестовых вариантов, близки к точным решениям, то зто дает определе>шую гарантию правильности работы программы. Конечно, система тестов должна сыть подобрана так, чтобы обеспечить проверку всех узлов программы. Блочная структура программы дает возможность сдслять это но частям, что позволяет быстрее локализовать возможные ошибки. От»летим, что расчет тестовых задач, имеющих точное решение, может преследовать и другие цели, такие, как выяснение 23т точности схемы, определение экспериментальным путем реальных условий сходимости алгоритма и т. д. Примеры расчетов такого рода приведены в з 5 гл.
11, где они использовались для сравнения разностных схем различных типов. Опишем ряд типичных тестов, которые испольауются при отладке программ, предназначенных для расчетов одномерных не- стационарных задач газовой динамики в лагранжевых массовых координатах. Здесь прежде всего следует назвать задачу о поршне, вдвигаемом в газ с постоянной скоростью и порождающем в нем ударную волну. Постановка этой задачи и ее реп>ение были описаны в $7 гл.
1. Остановимся на особенностях ее численного расчеты. Рассмотрим некоторую конечную область изменения массовой переменной 0(а(М и введем в ней равномерную раэностную сетку с >нагом Ь=М/>»' (з>=>Ь, >=О, 1, ..., Л). Пусть слева (з — 0) находятся поршень, скорость движения которого задана и равна Г>. Ооответствующее граничное условие для раэяостной >.1 задачи при ! = 0 имеет пыд: >е' — — Г/. Условие ыа правой границе при г = М, ! = Л' зададим в форм! е>!»т' = О.
Зту границу мы считаем неподвижной, расчет будем продолжать до тех пор, пока ударная волна не достигнет ее. 11 качестве уравнений состояпия возьи! м соотпошепия для идеального гааа р=рХТ, е =ХТ/(7 — 1). Дг>я простоты гаа з исходном состоянии (афона) можно считать холодным р = Т = з = О, поколи>имся г>=0 и однородным р= ро. В соответствии с содержанием п. 1 этого параграфа можно считать, что задача сформулирована в безразмерном виде. Предположим также, что определяющие безраамерные параметры выбраны так, что Х = 1„ра= 1, 1>= 2/(»+ 1).
Тогда скорость ударной волны Ж = 1, а параметры гааа аа ее фронтом таковы (см. формулы (5.22) гл. 1): р, == ', »! = =, р, = =,, 7', =, . (6.8) т — 1' ' т- $' ' т+!' ' (т+П> ' При»= 5>'3 они принимают следующие числовые апачения: р! = 4, »! — — 0,75, р, = 0,75, Т, = 0,187,>. (6,8')' П1аг раэностной сетки ио времени т для отладок об>ычпо выбирают следуаяпим образом: (6.9) т=ата, где сь = 0,2 —: 0,3, а величина т, вычисляется из условия Куранта по параметрам гааа за фронтом ударной волны т. = Ь/(ре) = Ь/11рр = 1 (» — 1) /(2») Ь, При 1 5/3 имеем т, = Ь/'>'5. 238 Шаг сетки по пространству Ь»южно выорать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
