А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Количество итераций К подбнрается так, чтосы обеспечить нужную точность. Для этого можно использовать, например, критерий сходимости итераций вида ~а шах ~б г, )(е,) ьч ~+с,. (4.14) После окончания итераций полученные значения сеточных и к к функций Рь ьч т~ передаются э группу 11 и используются здесь для вычисления коэффициентов уравнения (4.13) . Уравнение (4.13) решается на каждой итерации 1 методом прогонки. В процессе этих итераций изменяется сеточная функция температуры, значения же плотности, скорости и эйлеровой координаты фиксированы. Итерации заканчиваются на некотором помере 1 = Ь при выполнении условия сходимости для 6Ть аналогичного критерию (4.14).
В результате определяется сеточная функция тем- ь пературы Ть Заметим, что при больших значениях коэффициента теплопроводности, когда обычная прогонка приводит и лотерс точности, для решения уравнения теплопроводиостн в части 11 может быть применен потоковый вариант метода прогонки (35), который позволяет пзоежать указанных трудностей. Оба упомянутых итерационных процесса можно назвать внутренними, ибо они проводится изолированно в рамках ка'кдой группы.
Помимо них существуют внешние итерации между группами 1 и П. В процессе этих итераций описанная последователь15а 777 ность действий, включающая два внутренних итерационных цикла, повторяется. 1!ри атом в группе 1 в качестве заданного профиля температуры используется результат, полученный в части (ь 11 !'/';) па последней внешней итерации.
!«вк поклзывнгт практика, внеппшй итерационный процосс достаточно лыстро сгодится. т, е. алесь можно ограничиться двумя — четыоьпл пт~ рлцплмп..)пап~ пня сеточных фуппцнн. полученные пл посл~дш и впепшей птерлцпп, отождествлл1отсл с резун»татом (/+ 1)-гл времгппйго слон, 1!орлдлк, в котором рассмлгрпе»котся части 1 п 1! в моголе пегое;»1»лте«плпл « прогопок. может быть любым.
Метод ллсзг ~авлт~зьпых прлглш к, состоящий п~ серик повторял»1ш«сл пгер»шн~лпых цпк,пль требует дзя реллвз»ппн бо плш го машинного времени. ш жглп матричная прогонка, к которой сводптсл злдлчл, есзп положить дК/др = И (см. п. 2). Однако этот м«пщ имеет н рлд преимуществ. Они слизаны презкде нсего с меньшим объемом информации, которую при выполнонии расчетов необходимо хранить в оператппной памяти ЭВМ. Вто обстоятельство особенно ощутимо, когда решаютсн задачи газовой динамики, осложненные дополнительными процессами: электромагнитными полями, излучением, химической кинетикой и т.
д. В этом случае соответствующая система уравнений может быть разбита па оольшее количество групп, которые «нтерпруются«самостоятельно. 11оэтому метод последовательных протонов оказываетсп весьма эффективным, особенно при решении слоя<пых злдач пл вычпслптельпыт мапшпач со сравнительно недвижной оперативной патгятью. Кроме того, ишод последовательных прогопок удобен в алгоритмическом отпоил пии, в частности, оп допускает отладку соотнетстнуюьцей программы па ВВМ по частям. й 5.
1"раннчпые условия 1. Вводные замечания. Выше были раггмотрепы некоторью итерационные способы решения неявных разпостпых схем. Они приводи»в к тре.точечпым уравнениям, к которым применим метод прогонки. Чтобы попользовать длл расчета рекуррентпые формулы прогонки, пеоотодимо, пстодл пз краевых условий. задать исходные значения коэффициентов прогопкп в одной нз граничных точек сетки и значение искомой сеточной функции на другой границе. Укажем.
клк зто делается для разностпых схем газодинамики. Изложение начком с оолсе наглядного случая изотермической газодинамики. 1!апомнпм, что пиеппо к этому случаю сводятся уравнения группы 1 в методе последовательных прогонок. Для простоты опустим пока псевдовлзкость. Тогда соответствующая разностпая схема в результате применения метода Ньютона сводится к трехточечному уравнению для сеточной функции «9« бо1 — разности скоростей на двух соседних итерациях: А 1+1 А А.1-! А А+1 А Л15 о1 1 — С«б 111 + В«б и« 1= — Г1. (5.1) Коэффицн1 нты этого уравнения вычисляются по формулам (3.8).
Уравнение (5.1) на каждой итерации 1т решается методом прогонки, причем в процессе «прямой прогонки» по рекурргнтпым формулам вычисляются коэффициенты прогонки (см. (2.11) ) А А Я» ао„1= „ С вЂ” Л з. '1 1 (11+1=« А А '=1 2 . 1У 1 (52) С вЂ” Л о. т функции Рв и У»» известны. Нри формулировке разиостной задачп зтп условия аппрокспмпруются естественным образом: ва = У (6т-«1) Йт = «(1»А1) (5А) Решение разнос»ной задачи на (Х+ 1)-и временном слое определяется в результате итерационного процесса 1+1 У; = 11тУо А Учитывая (5.4), положим, что в граничных точках на всех итерацвят, вкл»очак пулевую, выполнены условия А А ~, = У 0„.,), оя = У- (О..), й = О, 1,... А+1 1.1-1 Отсюда следует: 6 г, = О, б ик = О, ! .—. О, 1,...
Но тогда в соответствнп с общими формулами (2.8), (2.12), (2.13) получим А А А «1,=0, ()1=0, бил=0, /«=0,1,2,... (55) Теперь в нашем распоряжении имеется вся необходимая информация для того, чтобы осуществить численное решение задачи. а в ходе «обратной прогонки» находятся зпачоннв сеточной функции А+1 А А»1 А 6 о; =а«,б г,„., + 81+„1: — Л' — 1, Л' — 2,....О.
(5.3) А А А -~- 1 Значения коэффпцпентов а„(11 и значение б Ат«определяются из краевых условий. 2. Граничные условия для скорости. Рассмотрим класс задач, где на обеих границах области (а = О, а = Х«Х) эадапы законы изменения со временем скорости о (О, 1) = РА (1), о (йХ, 1) = У»» (У); 3.
1'раничяые условия для давления. Обратимся теперь к за~ дачам, где по границах ааданы режимы давления р(0, 1)=Ро(~), р(М, 1)=Р* (1), В разностной записи Ро+ = Р— +о = Р*(0+о) Р)о = Ря = Р (О+о) (5 6) (рис. 4.10, а также п. 4 з 4 гл. 1!).
Уравнекне (5.1) получено иэ системы разностных уравнений (3.2), первое уравнение которой (уравнение двионения) имеет вид '+о 1, т (о) = о1 — о1т А (ра Рг-г) (5.7) Рьппе в задачах, где в качестве краовыт условий задавались вакопы изменения скоростей, уравнение (5.7) рассматривалось А.,оо- до -Ь оо -О /г„=н «-т л дну д ': ой А , ч о =л -т и Рас. 4ЛО Применение к этому равенствт метода Ньютона даст Ато АЕ1 А 6 оо +о=Ай!>о — — )мо о,5А (5.8) где — ~р~о — оро(г,+,) — (1 — а) Ро(1;)1 при й = О, О при й) 1. А )1,0 = А+! Для приращения 6ро в соответствии с формуламп (3,6) справед- лишь во внутренних узлах сетки 1 = 1, 2,, Ж вЂ” 1, о еперь, когда па границах задано давление, использование уравнения (5.7) в граничных узлах сетки (1= 0, (=Ж) позволяет получить два дополнительных соотношснпя, которые учитывают граничные режимы (5.6).
Так, при 1=- О с учетом (5.6) имеем (1~" 1 ( 1+1 э+1) = г',+' — о' + „т (о (р',~~ — Р* (11+,)) + (1 — а) (Ро — Р* (11))1=0. пиво равенство »+! б рю = — 0 5тр»9'ю (й1 — 61»)171 — ~о!'ю — У«,ю. Окончательно, из (5,8) получаем А+1 А А+1 А — Сюб ею +29»511 =- — Рю (5.9) где А 2 27» = о ( —;1 р»У», Сю.= 1 + ею, ~!11 А Рю= — 11,» + 2о А И«. + Р»1'ю) (5.10) и учесть новое выражение (5.8) для 11,». Точно так же при 1' = 1«' и формальных условиях А, А Я„'=О, р =О, 4=-0,1,..., (5.12) из общих формул (3.7) и (3.8) имеем А А+1 А А~«! А 212«б«к 1 — Слб еи = — Р1«, й = О, 1, (5.т3) где коаффициенты Лк, С»1, Гк вычисляются аналогично (5.10).
Соотношения (5.9), (5.13), полученные с учетом краевых условий (5.6), позволяют с помощью формул (2.8), (2Л2), (2ЛЗ) выразить необходимые значения коэффициентов прогонки а, = В~!С~ 1)1 = Рю)С« й = 0 1. * (5Л4) и сеточной функции А-!.1 АА А А АЦА А А б ек .= (Гя + !12!А»1)!'!С2« — а2«А2«), 12 = О, 1,... (5.15) Значения коэффициентов ак,бя в (5Л5) вычисля»отея в ходе «прямой прогонки» (5.2). Заметим, что в (5Л4) знаменатель А С»ФО, в чем легко убедиться по виду формул (5.10). Не равен нулю также и знаменатель в (5.15).
Итак, формулы (5Л4), (5Л5) делают задачу полностью определенной в случае, когда на границах задапо давление. Очевидно, в задачах с граничными условиями смешанного типа, где на одной границе задана скорость, а на другой — давление, анализ краевых режимов приводит к комбинации формул (5.5) и (5.14), (5.15). Соотношения (5,9), (5.10) можно было бы получить и как следствие общих формул (3.7), (3.8) при 1=0, если дополнительно положить, что в фиктивном интервале Ь ! А, А р ', =О, р,.= О, й = 0,1,..., (5.11) Мы рассмотрели схему, в которой отсутствовала псевдовязкость.
Ее учет не вызывает принципиальных усложнений. Следует лишь пользоваться более громоздкими формулами (3.18), где дополнительно к (5.11) и (5.12) нужно положить равными нулю псевдовязкость Й и ее производные в фиктивных интервалахй >ий». 4. Граничные условия для температуры. Если в системе уравнений газовой динамики учтена теплопроводность, то на границах области должны быть предусмотрены условия для тепловых функций, Как правило, в граничных точках считаются известными законы изменения со временем температуры Т(0, !)= 0*(!), Т(67, !) = 0**(!) либо теплового потока Иг(0, !)= и>»(!), И>(М, !) = л>»*(!).
(5.17) Возне>ивы и более сложные слу">аи, когда на границе задается соотношение между температурой и потоком: И'(О, !)= — и>" (Т(0, !), Г), И'(й(, !)= н>**(Т(М, !), 1), (5.18) ОГ>ратинов теперь к разностной задаче. Если для решения схемы используется метод последовательных прогонок, то уравнение энергии (4.11), которое рассматривается в «теп>!овей» группе 11, сводится к трехточечному итерационному уравнению (4ЛЗ) >-! >>.! >, >>-1 >, 77;6 Т, ! — Е;6 Т! -)- С;6!'>„! = — — Е„! .= О, 1,..., Л' — 1. (5ЛО) 11рименение метода прогонки к этому уравнению предполагает вычисление сначала коэффициентов прогонки >,! >ь! >+! ! >ь! и далее определение сеточной функции 6 Т,: 6 Т>:= ь> ыб Т;+, + ! + >».~„! = — - Л" — 1, Х вЂ” ч,...,О.
Чтобь> начать счет, следует за! ! дать коэффициенты ","«, ц«н значение фуш«ции в крайней точке ! Уравнение (5.19), как и уравнение энергии (4.11), из которого оно получается, следует рассматривать на расширенной сетке, включаю>цой фиктнвныо ипт> рва>>ы л ! = 0 и й» = 0 (7>-> =О ой«, 7>» -.= 056» !) (рис.
4.11), Значения температуры в фиктивных интервалах Т > и Т», а следовательно, и приращений 6Т ь 6Т„, относятся фактически к граш>чным узлам ! = — О,! = Л': Т'+'= Т'~' Т'"'= Т'"', — о и = и . Для задач (5.16), где на границах задана температура, разностная форма краевых условий с учетом сделанных замечаний такова: т'+' = 0 (С„„), тк+'= Ооо(~;„), Значения сеточной функции температуры на любой итерации (1+ 1)-го шага естественно задать в граничных точках следующим образом: Т вЂ” о =0*(0ы) Тк = Ооо(йы). (5.20) о Напомним, что зо внутренних точках при 1= 0 имеем: То= Т(, о = 0,1,...,Л' — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
