А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Обратимся, ваприиер, ко второму кз соотножепий (3.3) и подставим в него вместо функции /з,» ее выражение через ло»!» и т. д. Получим ь+! л !л»! !» л» вЂ .㻠— 1»,б»т ( и! — г») = — /, » = — ! т; — х( — О,бт (о» + с!») ), й = О, 1, 2, ...
??еренося все слагаемые в одну часть и приводя яодобвые члены, приходим к равенству ле! ,. ?л+! э! — г'; — ?»,б»т(»ч — г,') .= О. л»-! Полученное соотвошение означает, »то 1» =— О, »г = О, 1, й »?»уикция ?з веливсйва, поэтому (з,» ~0. у = 1~ 2,... Что касается функции 14, то здесь все определяется видом уравпевия состоявия,— если функция У»(р) в (3,2) тииейва, как это имеет место для идеального газа (у = с'р, с =- сопэ1 — скорость звука), то 14,» —— О, /, =1, 2, ..., в протввпом случае 1„,»ФО. Введем ооозвачевие л+! ь+! ь »»! у» = у! — у.
(3.4) Заметим, что ово отличается от подобиого же обозначении а (1.16), использоваввого выше. В (1.16) под приращением Ьу 201 а Правые части 1,,» этпх равенств (и = 1, 2, 3, 4) получаются из соответству»оп»их выражеиия (3.2) путем заиеиы индекса 1+ 1 ва помер итерации Е Отметим, что фупкции /!»~ и /»,» липейвы по всем своим ар!»-! гумевтам. Поэтому, как отмечалось в ц. 1 т 2 пастоящсй главы, па всех итерациях, начиная с первой, будут иметь место соотвошевия: понималась разность А»ежду значением сеточной функции ва /»-й итерации и точным решением.
В (3.4) разность берется между двумя соседними итерациями. С учетом (3.4) система (3.3) перепишется в виде А+' ат ( А+1 6 и» + — »6 р» — б р; (1 А»-1 А»-1 А 6 х» — 0,5тб щ = — /А», (3.5) (6 х»+, — 6 х» )/ /1 + б (и ! (0») = — /1,»е А+1 (А» А»1 А бр» —,~ (р,)бр,= — /, »А 1 Все искомые приращеиия »6 р; имеют здесь номер итерации (А» А /с+ 1, а сеточные фуииции („;(и =:!, 2.:», 4), У'(р»), ри поме- ченные покером /», считахися известными. В дальнейшем дли сокращения записи мы оудем опускать номер итерации.
Кроме того, распространим иезындексвые обозначения для разноствых производных (1.18) гл. 11 ва приращения бу и сеточные функ- ции /», р„и» (р,). Все сказанное позволяет модифицировать за- пись ураввеиий (3.5): бе + о»бр; = — (,, Ь,т — 0,51161 = — /,.
бх„--, 'бр/р' = — /. бр — У (р) бр = — (1, (3.51') На основе (3.5 ) приращения всех функций без труда выража- ются через приращение скорости би бх = 0,5тби — /1, бр = — 0,5тр'би, — У, (З.О) 6Р = — 0,5тР»У'би, — У'3" — /о 1" = Р'(/з — (/1).). Подставляя выражение для бр в первое уравнение системы (3.5'), приходим к уравнени»о для 6»и би — »»,5ите (р».У'6»Ч)-, = — /, -',- от (/, -»- У' Г)-. В индексной форме з*о равенство сводится к трехто»ечноиу уравнению А,би, » — С»би1+В,би,+1= — Г», »=1, 2, ..., Ж вЂ” 1, (3.7) Коэффициенты аависят от номера итерации /» и вычисляются ио формулам О / ~1» ".
" О /т~т» А А С» 1 + — ( — ~ (Р,' »Я» 1 + Р,'Р; / = 1 + А; + //», »»1 (»»»1 /'»= — /1,»+ "(/ Д+ ~ ~'»/- !!апомпни, что,5,д = О, (од = О, )х о~0, й = 1, 2, ... Для идеального газа также п (,д =- О, й = 5, 2, ... Поэтому па регулярной итерации й > 1 в этом случае правая часть (3.7) вычисляется по несложной формула Г; = от (эо р (рл, — 1))-, н Уравнение (3.7) на каждой итерации может быть решено с по- мощью описанного в предыдущем параграфе метода прогонки. Отметим, что условня (2.9), гараптпрущие устойчивость прогон- кп, для уравнения (3.7) выиолпепы,— пз (3.8) следует: А,) О, В,> О, С; = 1+А;+В;)А;+В„1= 1, 2, ..., )У вЂ” 1.
Здесь уч- тено, что тч' = дУ(др ) 0 (си. э 4 гл. !), Формулировка граничных условий для уравнения (3.7) н способы решения соответствующих краевых задач будут изложе- ны в э б. 1'ешнв уравнение (3.7) и найдя во всех узлах сетки прираН+!" щеппе 6 г;.
иоокпо по формулам (3.6) вычислить приращения хо~ оо-~ оы остальных функцнй 6 зд, 6 р;, 6 р; ..'5зтеи но общей Формуле о+о о о+о 5й = у; + 6 р; определяются зпачення всех сеточных функций на (й+ 1)-й итерации. Далее процедура повторяется: по форму- лаи (3.8) находятся значения коэффициентов трехточечного ~о+~ о+о о+о о+и уравнения на новой (l + 1)-й итерации 5 А;, В;, С;, Х'; ), и путеи решения уравнения (3.7) вычнсляется значение 6 но.
За- теи онределшотся приращения для всех остальных функций и далее значепня самих функций па (5 + 2)-й итерации. Итерационньш процесс продолжается до тех нор, пока не бу- дет совершено заданное число итераций нли вьшолнено некото- рое условно сходииостп. яапрниер, условне дида ~6 у; ~(о, (у; ( -'-го 1 = О.
1..... Ж. Здесь ен ет — малые величины. прпчси параметр е, характеризует точность, с которой реализуется походная разностная схема; слагаеиоо ео добавлено для того, чтобы критерий сходпиости о ! о 5 (3.0) правильно сраоатывал в случае, когда у;(например н;) обращается в пуль. 55 качестве пулевого приближенны обычно нспользуют значения сеточных функций с предыдущего опага 5 У1 Уг (3.10) Заметим, что при этом (см. (3.2) ) о о о о ! л Ф О )зд Ф О.
)од = О у~д = О.. При построевии трохточсчвого ураввевия (3.7) мы исключили из системы (3.5') вриращепия всех соточных фуикц)ш, кроме скорости би. Ковечпо, это ве сдивствсввая возможность. Например, исключив все функции, кроме давлевия, можно получить трехточечное ураввсвие отвоситсльпо бр. Отметим также, что при вострое»ши разиостиой схемы можно ввести функцию удельного объема г) = 1/р. В этом случае система уравпевий (1.1') примет вид и, = — р, х, = и ', 11 = х„р = Ф(1)), <а)»«,1) где последнее соотвошепие есть ураввение состояния.
Заметим, что и отлично от (1.1') здесь первые три уранноннн линейны; пе;шисйпость содержится в уравнении состоянии. Т»»к, длн идеального газа (изотсрмичсскяй случай) имост иесто р =- гт/1), 11осло линсаризацин (1.1') получим вместо (3.5') следующую систему развостпых соотвошевий: бе+ итбр- =- — /н бх — 0,5тб» =- — /.„ 61) — бх,. == — /з, 6Р— Ф'бд = — /, где /1 =/1 =-/з= О при й» 1. Исключая отсюда все фувкцип, кроме бц, приходим к трехточсчвому уравнению для 61).
Каждыи способ яостроевпя трсхточочиого уравнения порождает ской итерационный алгоритм, 2. Сходимость итерационного процесса. Выясним угловии сходимости итерациовиого процесса, описанного в предыдущем пувкте. Для простоты ограничим рассмотрение случаем идеального газа р =у(р) =сер, с = сола1. А+1 А»-1 р» — г' р» — — О, й = О, 1, 2, Используем обозначение «+1 «+1 б у = у — у'"=- у — у. (3 13) Вычтем последовательно из каждого уравнении (3 12) соответствующее уравнение (3.2). Результат запишем, используя 204 Перепишем исходвую (3.3), подставив вместо Получим «+1 (А+ 1 и» вЂ” и;+и — „~ р;— 1 А»-1 Х» — Х» » »А+1 А+1 — )хе,— х «(ьь» систему ливсаризоваввыт ураввепий правых частой /„пх выражевия.
А»-1 р»,! + (1 — и) —, ( р'; — р,' 1) —.— О, 1'А-1- 1 (ЗЛ 2) )+„-'Ы'-;1- —,' =, Р» Р» вве,!сякое о юзиачеш!е (3.13): й-1-! й+ 1 й+1 й.!.1 Л и -отЛР7 =О, Л х — 0,5тЛ !! =О, й+1 й (3 14) й+1 р — р 1 1 й+1 й й+! Л х, + й — — й + †. , = О, Л Р вЂ” сйЛ р == О.
р Р Первое, второе и четвертое уравнения здесь отличаются от соответству!ощих уравнений системы (3.5') лишь отсутствием правых частей. Нелинейное третье уравнение более существенно отличается от соответствующего уравнения (3.5'). Посредством песлоч1иых выкладок его можно преобразовать к виду й+! йе! й ! й!11й Л х. + Л р !рт -. — (Лр) !(р-р). (3.15) Из соотношений (3.14) следует й+1 й+! йй1 й.!-1 Л.)! - О,бтЛ и! = — — 11,5от!Лр- .= — О. !от1гйЛр; . н Подставляя зтот результат а (3.1, ), имеем йь1 й й!! й д — а'д;, -.—. — дз/р, й-- ! где д = Л р, ай = — 0,5от1сйр'-'. !1 индексной форме (3.16) можно привести к виду ! й ! й11 !й+! й+! й, !а10!1!) 1~, '' ( д,, д!+!) == у,"/р1, (3.17) й '1аметип, что если рассматривать задачи, где в граничных точках 1= — 1, 1== Л' заданы режимы измененяя со временем даВЛОПая !1~'1~ — — Рй(111!), РК~= Р"""(тгь!), те, ПОЛаГая В ГраНИЧ- й й пыт точках для всех!1 ==О, 1,2, ... Р 1= Ре(тттгй) Рк=ре*(т +!) й й й й имеем ЛР, = О, Л рк =-0 в, следовательно, Лр, = О, Лрк= О.
Зто дает граничные условия для уравнения (3.17) йй1 йе! д,.=О, (3.18) К неоднородному уравнению (3 17) с одпородиымк краенымя условиями (Зл!8) применим принцип максимума [77) . Напомним формулировку некоторых его следствий. Рассматривается задача- 'найти сеточную функцию у(х), удовлетворяющую во внутренних узлах сетки юй уравнению Я'(у) = 1(х)у(х) — ~ Л(х, Е)у(~) == Е(х), (3.19) 1нш'!х! а в граничных точках сетки 71 краевому условию у(х) = р(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
