А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 40
Текст из файла (страница 40)
— и. г г-! л л+! гг! (!.!5) /л-!-г л.!-1! /г л«г и — ггг « пи=го й « и=не Внедем следу!ощио обозначении й й л л й//г = //г //! -'~! ! = "г /г (!.1б) Вычитая из уравнений (1.15) соответствующие уравнения (1.1й), получим й-!-! / й л л-!-! / л! ! й«!! /л г! = —,г! Ли, — Ли; ! !, Л и; = ! !.57 ! Л г«+, — й и! )г где ат "! =— л л-и л .!- ! Искл!очпи нз второго уравнения й!'!л! и гл гг с помощью и!рного уравнения. приходим к равенству л+! г л ! л Л и„— !!,57» (Ли;+, — 'А//! -!- Ли! откуда лф!1,! л ! , Л и,(27» ~йи„,, (!»( !л где )у к =-- шах/у; » ! 196 Исследуем сходямость описанного итерационного процесса решения уравнений газодинамики (з дальнейшем будем называть его «зейделевскпм», ибо он относится к итерационным процессам этого типа). 'Уак !!еи как п прк поучении устойчнвостк «явнон» полностью консервативной схемы, ограничимся рассмотрением линейного приближения газодинамики — акустики.
В;том случае аналогично (1.7) имеем схему г! = аи-. и! =. а!г', ", (!.13) Таким образом, для сходимости итерационного процесса достаточно потреоовать выполнения неравенства 27з< 1, т. е. Ос 7 ~ 1(У-'. (1.17) Можно показать, что неравенство (1.17) является и пеооходпмым условием сходимости итерация: существуют примеры, когда пря невыполнении условия (1.17) итерационный процесс расходится.
В предыдущей главе было показано, что схема с о = 1 из семейства (1.1) безусловно устойчива (см. 9 1, п. 4). Однако рассмотренный способ решения нелинейных разпостпых уравне ний этой схемы приводит к ограничению па шаги сетки (1.17), которое является даже более жестким, чеи условие Куравта, -.: 1. Качественно всзнцкпоьенне ограпнчшшй тина (1 17) попятш,— использоваппо любого итерационного процесса для решения системы псявпых уравнений фактически связано с введопием определенной степени «явности», что эквивалентно ухудшепп1о устойчивости вычислительного процесса.
Очевидно, условия сходнмо- стя для разных итерационных процессов различны. 5 2. Метод Ньютона. Метод прогонки 1. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Исявньн разпостпые уравнения газодцвамнкп явлспотся ш линейнымии. Для численного решшшя я~ линейных уравнений прпмепя~отся различные методы, одним пз которых является метод Пьютопа. Напомним вкратце его содержание. Рассматрива~ тся задача о нахождении корня хс уравпеппя /(х) = О, (" 1) Предполагается, что в некоторой окрестности корпя функция )(х) вместо со своими производными ( (х) и 7'" (х) непрерывна, а 1'(х) и /" (х) в этой окрестности ве обращаются в пуль.
Представим значение функции 1 в точке х = хс с помощью разложения в ряд Тейлора, ограничиваясь лппсйпым членом: 0 = )(хо) ж 1(х) + ('(х) (хо — х). (2 2) Выразим отстала хо. хо = х — У(х) !У (х). Последнее соотпоюленне порождает итерационный процесс для вычислении значения хо' (2.3) Здесь й — номер их<рации, х — ~х„при й — ~. Пачальпое приближенно, т. о.
зпачсппе па пулевой итерации целесообразно выбирать так, чтобы выполнялось неравенство (7) ( (,х) (" (х) ) ц. 197 По сущестпу метод Ньютона состоит а построении системы касательных к ириной у = г'(х) э точках х = х (рпс. 4.1). Касательная, проведенная в точке х. пересекаясь с осью абсцисс, дает «+1 значение следу<ощего приблпя<еш<я х. По<!го«<у метод Пьютопа часто нааыпа<от методом касательных.
Последонательпыс прпблнженин х сходятся к коря!о х«монотонно. Для частного случая, когда 1(х) яэлнется линейной функцией, метод Ньн<топа дает точное значение корпя х«за одну итерацп<о. Б общем случае этот итерационный метод имеет нысоку<о скор<<сть с..одпмостп. Заметим, что нтерациопнан У формула (й<Л) может сыть записана в анде:шпейпого урав- «-! пония относотелып! х н< <«<! « й — „, (х — 4= — /, (2.) , у=уО.
Р;и<смотрим т<чп'рь <и!степу нелинейных ура!ни ний <'! (х<, х„) = О, Рнс. 4.< 1„(х<, ..., х ) =О. Применение мотода Ньютона для отыскания корня этой <истемь! прпноднт к итерационному процессу рсшеппн системы линейных уранкений, которые <троятся аналогично (8!.4!): ь « ! э ('! "!) э Производнь<е д).одхю и<, )< =1, ..., и, эь<чнсляются па предыдущей нтерацп«. уь Метод прогонки. Использование неявных разпогтпых схем приводит к необходимости решать системы алгебраических уранноппй. Важпыи частным слу <аом явлнются системы так называемых «трехточе<пыхв разностных уравпонпй, которые свнзывают неизвестные значения сеточных функций в трех соседних узлах сетки.
Решать такие систомы позволнет известный метод прогонки [21, 78, 81], который мы здесь кратьо напомним. 198 Система трехточечных линейных уравнений длп сеточной функции у в общем случае может быть записана в виде Л,у,, — С,у,+В,у.„= — Гь (2,6) где 1= 1, ..., Л' — 1 — номер узла сетки, Ле Вь Сь Р, — извест- ные коэффициенты. Гранпчпые условия для достаточно широкого класса задач могут быть приведены к форме — Сауо+ Воу~ = — Во, А .у .-1 — Свуо = — Г», (2.7) где Со, Во, Го, а таплое Л, Соо Г заданы.
После незначительных упрощений прп СоФО, СвФО этп условия прпводятсп к ппду Уо=к1У~+т~ Ув=кгуа-~+тм (2.8) гло к ~ = Во)Со, ч ! = Го1Со и кг = Л,-/С „тг = Гв/Са Прп использовании метода прогонки предполагаетсп, что па- раметры сформулированной задачи удовлетворяют неравенствам Ло> О, В,> О, С,>Л,+В„О ( кц кг--1, (2 0) м~+",ог~2, 1 1, 2, ..., Ж вЂ” 1, которые обеспечивают разрешимость задачи (2.6), (2.8) и устоя- чивость метода прогонки. Длв решения системы уравнений (2,6), вообще говоря, можно использовать различные методы линейной алгебры. э(етод про- гонки учитывает специальный внд системы — трехднагональпость ее матрицы. Репгепно задачи (2.6), (2.8) в методе прогонки пщстсн в впд. у,=а;+,уц.,+~,+ь г=О, 1, ..., Х вЂ” 1, (2.10) где аоьп рм~ — неизвестные пока коэффициенты прогонки.
Искл|о- чан с помощью (2.10) пв (2.6) последовательно значения у, 1 и уь приходим к равенству ((Аа, — С)а ~~+В]у+~+((Ааг — С)~ы~+(А р, +Г )) =О. Это равенство, а следовательно, п уравнение (2.6), пз которого оно получено, автоматически удовлетворяется, если выражения в квадратных скобках тождественно равны нулю: (Л,а; — С ) а+1+ В, = О, (Аюл — С ) ~~~ +(Л,р, +Г,) = О. Из последних двух равенств следуют рекуррентные формулы длн коэффициентов прогонки аыг В/(С, — Л,а.), р,.„~ =(А4, +г,)/(С; — Аоа,), (2Л1) 1=1, 2, ..., 1'т' — 1.
Чтобы вычислить по этим формулам значения я, п рг во всех узлах сетки, т. е,, как говорит, выполнить прямуго прогонку, нуж- но знать значения я1 и рь Этя числа определяются с помощью левого краевого условия (2.8): а~ кп (2Л2) г99 Обратная ярогокка проводится по формуле (2.10) — ио найденным значениям аь б, определяются искомые значения сеточной функции уь ! = Л' — 1, ..., О. Исходное значение у„, с которого начинается обратная прогонна, определяется иа основании совместного решения правого краевого условия в (2.8) и соотношения (2.10), записанного в.точке ! = Х: ук-! = ггяун + ря (ая и ()я ужо вычислены в кода прямой прогонки). В результате получим уя .= (т, + я!~„) /(1 — мга„) . (2.13) Условия (2.9) обсснсчива!от выполненно неравенств 0=":а,~1, с=1, 2,, Е'!', (2.14) которые в сво!о очередь гарантируют устойчивость счета по формуле (2.10), а также необращенно в нуль знаменателя (в 2.13), так кеи яга,ч ( 1.
М!тод прогонки широко ириишмн!тся на практике и имеет ряд модификаций. Одна нз таких модш))ш!ацнй, известная под названием потокового варианта метода прогонки, описана в гл. У1. 5 3. Примеиенис метода Ньютона к рсин!нию разпостных уравнений газовой динамики 1. Изотермический случай. Неявная разностиал с!сна длл задач газодинамики продстав;нют собой систему нелинейных алгебраических уравнений.
Применим д:!я со риишии! итерационный метод Ншогоия. Длл большей иагллдностн вновь обратился к простому изотсрмичсскому случаго: и! = — Р! !, х! = и! з!, 1ЕР = х,, Р = Я (р). (3.1) 1(ерепишем:>ту схему в виде системы уравнений следу!ощим образом )Е+!(ты3ь3ргы)т(г+Р(н)~! ! ь! 'г l !+! Рь!! — ьц + и — (Р— Р! -!) + (( — и) (Е! — Р!-!) 0 — !- Е а!' Д ь! (х! ьг, иь ') = т (х! — г<'за)'; = х', "' — х.', — ! !,3!т (г(ь ' -'.
и',) = О, !! ~! хг.(-! „! !-! (3.2) 200 ??римепеиис к соотвошевиям (3.2) метода Ньютова приводит к следующей системе развостиых уравнений; э+! — !'» + о ь ~ ( р» — у») — ( р» — » — р»-!) ~ = У»,» А+ !»»»'»!+1»! ! л (!) !» »и » !л+! л 1 л у» — р — у' (р») ( р» — р!) = — !.л. л Пл = — !' ! /2,» == О 2 В свравсдлпвостп этого утвержделпя можно убедиться и иепосредствеппо, анализируя фориулы (З.З).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
