А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Подобные алгоритмы называют схемами бегущего счета. Исследуем устойчивость схемы (2.21'), (2.23), (2.24) при к 1, 2, ... Перепишем разностное уравнение в виде (1 + у) у~+* = ууь-о + у~ (2.25) Учитывая, что равенство рассматривается лишь при й = 1, 2, 3, ..., имеем (1+ у) шах!у~а~~ !(ушах!у~~',!+ шах!уоь!, А ' а ь где й = (,2,3,... Определим сеточную норму следующим образок )уо~!,= шах)у~~!, ос=(, 2, 3,..., А где максимум берегся ко вкутренпим точкам ос Ф О. Тогда из т с,о Рис. 8.8 предыдущего соотношенкя следует (1 + у)!!у'+'!!"== у х ! !!уогьо („!.уо+ ! ! + !!уо !! Существует две возможноств: либо максимум сеточной функпии на (1+ 1)-м временнбм слое достигается в граничной точке !уаь+ ! ~~~ ! уос~ ! ! (о(оо+о)), й = 1, 2, либо во внутренней, и тогда из (2.25) следует !!уо+Ч,( !!уя,. Объединяя два последних неравенства, можно записать 1уо+'~~, ( шах() (о(1н~) 1, 1уоз.).
Последовательно примоняя это паравенство, получим ПУо+Ч,(шах(!Р(йн~) (, шах(1)с(1о) ), 1Уо 'П.И = = шах()до+о!, !(со), 1у'-'6,) ~... ... (шах()р'+'), !(оо), )(о1! НусП ) нли !(у'+')!(шах) шах ! ро'!, !!ус(,~. ! о~о'со+ о тба Полученное неравенство означает, что для разностной схемы (2.21'), (2.23), (2.24) справедлив принцип максимума — решение у достигает максимального по абсолютной величина значения либо на границе (й = О), либо в начальный момент (! =-О).
Это обеспечивает устойчивость схемы по начальным данным и (.5л, с, краевому условию. Геометриче- окая иллюстрация для разобранного случая дана па рис. 3.9. Формула (2.25) показывает, что значение разностного решения приносится в узел (з„т,т;) по характеристике ЛА' и кокото ой ч и 1. г н 1 у.
з р то к , де о о вычисляется с помощью лннейРис. 3.9 т+т ной интерполяции по Ул-т и Ул Точка Ь, область зависимости дифференциальной задачи, попадает внутрь области зависимости разностного решения (отрезов у+Л : 'л.д Л / Л-Л л / уэ Л Рис. 3,10 М)з') при любом значении параметра (, т. о. при любом соотношении шагов сетки. Итак, неявная схема с левой разностью (2.21'), (2.23), (-'.24) при а ) 0 является бозусловно устой ивой. Для неявной схемы (2.20) с правой разностью соответствующий чертеж дап па рис.
3.10. Искомое:шачеппс разпостного решения, приносимое в узел (а,+ь б 1) по характористпкс ЛЛ', вычисляется посредством ивтерполяцпи между ул и ул с случае $ьт (- 1 и экстраполяции — пря ((1, Можно ожидать, что рассматриваемая схема будет устойчива, если ( ~ 1, и неустойчива в противном случае. Строгие выкладки, связанные с использованием метода гармоник и принципа максимума, аналогичные тем, которые были проведены выше, подтверждают зто. й 3.
Энергетический метод исследования устойчивости разностных схем 1. Некоторые определения. Метод, указанный в названии параграфа, оказывается весьма эффективным при исследовании устойчивости разностных схем. Предварительно поясним идейную сторону вопроса на простом примере одного линейного уравнения переноса с постоянным коэффициентом.
Результаты анализа устойчивости разностных схем для атого уравнения, полученные здесь с помощью энергеп<ческого метода, будут сопоставлены с услоняями устойчивости этих <ке схем яз предыдущего параграфа, где применялся метод гармоник н принцип максимума. В дальнейшем в з 4 энергетический метод будет использован для анализа системы разностных уравнений.
Сделаем некоторые замечания, уточня<ощне постановку днфференциальной задачи Боши для уравнения переноса. Ищется решение уравнения ди ди — +а — =О, — оо<г<оо, <>О, д< дг удовлетворяющее начальному условию и(г, 0) = нг(г), — ( г ( Будем дополнительно считать, чт<> функция га(г) является фииитной, т. е. обращается в нуль вне некоторого конечного про- межутка: гн(г) =0 при !г~ «Б Тогда решение задачи и(г, 1) н любой коночный момент времени 1< также обращается н нуль прн достаточно большом значения ~г~ (р«с.,'3.11): и(г, 1<) = 0 нри ~г< « - 1(8<).
Если в рассматриваемой обза- стп плоскости (г, 1) внести сотку ю =- »и Х <н.: о«,=-(г»-=1«<, й=О, — 1, 2, ), <н, — - (О =- /т, / =- О, 1, 2, ), лз дл 1 Рнс. 331 то сеточная функция у», а<шрокснмнрующая решение, также будет фннитпой — она обращаетсн з нуль в узлах с достаточно большнмп номерами Л'„: у» = 0 нрн ( Л ) «<«;.
(3.1) Определим скалярное произведение сеточных функций у и и (у и) = Х у»н»л. (3.2) г=- о Если сеточные функции у и и являются финитными, т. е. удовлетворяют условию (ЗА), то сумма (3.2) фактически берется по конечному числу точек ( — й() ( й ~ )т;) . Скалярное произведение (3.2) порождает норму ))у))-у(у у). (3.3) В пространстве сеточных функций, ваданных на о)», определим разностный оператор дифференцирования (назад) 3 У» Уь 1 У У ( Ц (Ау))»=а " „ь '=а я =(аУ;)'„' й=О, ~1, ~2, ...
результат применения этого оператора к сеточной функции вновь является сеточной функцией. 2. Сопряженный оператор. Вычислим скалярное произведение (Лу, и) = »((ау;)»льй, » где у и и — две сеточные финитные функции. В гл. П была получена формула (1.20') для разностного дифференцироваяия произведения сеточных функций: (уи)-, = у( — 1) УУ+иу-,.Выразим отсюда яу-, и после суммирования по й нз конечном интервале (й! ~ и получим и и ()» (У )» й Уини У вЂ” (и+()Я вЂ” (и+)) Х У» — ( ((»)» й' (3'5) ь -и ь — и Пусть и)))(), где Л(, — величина, фигурирующая в опредолеяни (ЗЛ) финитности. Тогда первые два слагаемых в правой части (3.5) обратятся в нуль.
Перепишем (3.5) еще раз, «сдвинув» з последней сумме индекс суммирования на единицу и учтя равенстве (У;)» = (У«)»-(' и и — [ )', („(у ) й = »» у«(г,)»й. »= — и » —.— (из!) Возвра(цаясь к обозначепиям (3.2), имеем (у, г) = — (у, (',). (3.6) По определению опорзтор Л* являотгя солрллея((ыз( п оператору Л, осли вьшолпояо равенство (Лу, и)=(у, Лип). (3.7) Соотпошенио (3.6) дзот возможность эзялюяятги что сопряженным к разностяому о(иратору Лу =- лу- яоляотгя (я)оратор (Л*у)» = — (ау,), = — а (У„,( — У„) )й.
(3.8) Заметим, что оператор Л ш яяляетгя глмогопряж(оным:;(*Ф иь А. !72 Построим еще одну разностную формулу, полезную длк дальнейшего: ")»» ( 1> (»»( т)) г ьв ~ ~я>/2 Отсюда после суммирования на сетке с учетом финитности сеточной функции у (см. (3.1)), получим (у-,, у) = Й))у-,))л/2 или в операторной записи (Ау, у) =- Ы(АуР/(2а).
(3.0) 3. Примеры исследовании устойчивости схем энергетическим методом. Рассмотрим разностную задачу ус+ау-=О, а)0, уев=в (яя) /с=О, .+1, -+-2, ... (ЗАО) Эта схема, аппроксимирующая исходную дифференциальную задачу, была проанализирована в з 2. Схема устойчива при а) О, если выполнен критерий Куранта т с а/а. (3.1 1) Продемонстрируем на ее примере особенности применения энергетического метода исследования устойчивости разпостпых схем. Перепишем (3.10) в виде у,+Ау=О, умножим на у'ел' и просуммируем по сетке.
В результате получим — ((» 1> )с = — (А», у<л л>). 2 Учитывая, что у'"" =- у+ —,, тус = у — 2 тАу, запишем — ( ) у )( ), == — (Ау, у) + —. т~< А»( . 2 Окончательно, используя формулу (3.9), имоом т / 6 2 л —,; ((» е ), == —, /т — —,' Ау ~ ' . Еслтт правая часть этого рапепстпя пгположительпв, втв имовт место при условии т ( Й/а (а ) О), (3,12) то отсн>да следует иерввопство ((у'+'(..--.
((уь(, озивчатощее рави<>мерную устойчивость сломы (3.10) тто иачалыиям дапнтпм, Энергетический метод устаиявлтьва<т довтяточиыо уел<илия устой п«и>сти. В рягглтотревиом глувяв таким угли,вглт является иь рати игтпо (ЗЛ2), совпадающее с крптори<>и )(уряятя, иолучсиит: и раисе. Однако метод впгргетич<скттх ьи ряпгпгтв повьет дптл и большу>о ввформацттю, ножпля тя. котортю я<в тявяятот и< тол гпрмоинк н принцип максимума.
Тяь<, и иргдыдушгм параграфе была 173 рассмотрена схема с центральной ревностью ус+ ау = О. (ЗЛЗ) Метод гармоник покааал ее абсолютную неустойчивость. Проанализируем теперь эту же схему с помощью энергетического метода. Перепишем (ЗЛЗ) в операторном виде д,+Ау=о, где (Ау)» = (ау )о —— а(у«+с — уо с)с(2/г), у=О, ~1, ~2, (3.15) Полезно заметить, что 1 1 Ау = ау« = — а (у- + у«) = — (Лу — Л*у).
Тогда в соответствии с определением сопряженпого оператора (3.7) (Ау, у) = — „ИЛу. у) — ( 1*у, у)) = О. (злб) Проделаем теперь цепочку стандартных операций. Домпожям (3.14) на у"«'и просуммируем по сетке: —,, (,'~у1«),= — (Лу, усо«». Преобразуем правую часть с помощью (3.14) и (ЗЛ6): т, ' . т (Ау усо«>) — (Ау у) + с!Ау«- — )с Ау«« 2 2 Итак, производная по времени от квадрата нормы неотрпцательна: (;сусс«) . 1Ау,;« ~ О (3.17) следовательно, норма сеточной функции у при переходе со слоя на слой может увеличиваться.
Однако рост этой величины ограничен. Чтобы доказать это, оценим предварительно входящую в (3.17) норму 1Аусй !!Аус~«=а«) (у.),"-Ь= —.. ~ (уо+« — уы — «)'й( «с' 4Ь« ( — «~~У~(уо«+«+уз «)ЙК вЂ” «1усс«. (ЗЛЗ) Подставляя полученный результат в (ЗЛ7), имеем возможность записать 1ус+ с 1' (!1+ (а'т/й') т] 1убр. 174 При условии агт/)«' < се = сопзь справедлива мажорантная оценка 1 + (а«т,)й«) т < г «, Таким обрааом, мы пришли к неравенству «,«с г) Это неравенство приводит к условию устойчивости по начальным данным следующего вида: ,+).~ -- «.«~«т) «)) где Т вЂ” граница интервала времени, на котором рассматривается решение (О - Р - Т). Схема с центральной разностью (3.14) является устойчивой с константой, большей единицы, при выполнении условия т - с«Ь')аг (р-устойчивость).
Заметим, что подобное условие устойчивости не является естественным для уравнений гиперболического типа. Оно напоминает условия устойчивости схем для параболических уравнений. з 4. Устойчивость схем для системы двух уравнений первого порядка 1. Анализ схемы «крест» методом гармоник. Задача Коши для уравнений акустики ставится следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
