А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2.24 условия (6.13) в разностпом виде выглядят следующим образом Т', = Оэ (1,), тя = 6**(11). (6Л6) Условия (6.15), включающие как частный случай (6Л4), приобретают форму И",, = ил*(У',, 1;)), Я~ = иэ:"(Тлч, 1;). (ОЛ7) зт д ~й Та зг) (6Л 8) можно искать аотомодельпое решение типа «багущей волны» в виде Т(з, 1) = Т(с), где с =з — И (см.
подробнее гл. ), т 6, где по;и биэс антомодельиос решение с»роится для уравнений газодинамики). Выполнив укаэанную ээиепу переменных и проведя 146 Способы решения разностных уравнений (6.10) при краевых условиях (6.16), (6.17) будут изложены ниже в 1 5 гл. 1У. 4. Нскоторыс аналитические решения. Выяспеяие эффективности выбранного численного алгорима, особенно для случая нелинейных уравнений, обычно проводят на примере расчета некоторых тестовых задач, допускающих точные аналитические решения. Для уравнения теплопроводпости таким тестом может, в частности, служить задача о прогреве среды, заполняющей полуограничспное пространство з ) О, потоком тепла, поступающич через левую границу — неподиижпую степку э =О.
В силу того, что дви»кение здесь не принимается во внимание, различие между эйлеровой и лаграпжевой массовой координатами несущесткеппо. Предварительно укажем некоторые частные рептения уравнений (6.2), (63). Пусть для просто»ы с(Т)=Т, а коэффициент тсязопроводяостп является степенной функцией температуры: 1' = йвТ . Тогда для уравнения несложное интегрирование, получаем функцию ГаО 1г/а Т (г, Г) = ~ — (В/+ г, — г)] о которая удовлетворяет уравнению (6.18). Здесь г~ — произвольная постоянная. Другое частное решение уравнения (6.18) можно построить лютодом разделения переменных.
Положим Т(г, /) и(г)О(/) и подставим зтот предполагаемый вид решения в (6.18). После стандартных операций приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям — (й га — ~ = йь, / Оо/ о (6.20) — = 20г+, ов // где 7.— параметр разделения. Интегрирование уравнений (6.20) приводит к выражению 2 а( )г г/а Т(г, /) = З//о (а+ 2) Го — /) (6.21) где г~ и с — постоянные интегрирования. Заметим, что частным регпением (6.18) является также тривиальное решение Т(г, /) = О. (6.22) Из построенных частных регпений при соответствующем подборе начальных и граничных условий можно сконструировать регпение указанной выше задачи о прогреве среды.
Так, например, функция, скомбинированная из частных решений (6.19) и (6.22), ~ — (///-!-г, — г)] прп 0(г(г + ///, т (г, /) = ! го с ] ь Га//, 1//а (0.23) О прп г) г~ + Й/ представляет собой решение следующей задачи //т г ~й7, /г! Т(О, /) = ~ — (г, + 7//)1, с) О, 'о Га// и/. — (г, — г) ], О< г -.. гп Т(г. О) =; ( и, г) гп (6.24) Начальные данпые н краевое условие ззлапы. исходя из конкретного вида решения (6.23), Реп/еп/Гс (6.23) представляет собой температурную волну. распространяющуюся от степки.
греющей среду, направо. Заметим, что зта температурная волна имеет, как говорят, конечный фронт.— точка. где температура 149 обращается в нуль, движется с постоянной скоростью .О. Причина того, что скорость распространения тепла в рассмотренной задаче конечна, кроется в нелинейной зависииости коэффициента теплопроводности от температуры. Как известно (93], з классическом линейном случае скорость распространения тепла бесконечна.
Аналогично функция а (г — г) г Э ~] Па 0 пря г)г, является решением задачи — = — (й Т вЂ”.1, з>0, 0<(<с, д( аг ( " си )' г г ( Иа ] (2Ь (а+ 2) (с — г) ~ "(" — ') г ]па т(з, О) = эь,(а+2) с~ 0 г) гг (6.20) Решение (6.25) описывает остановившуюся температурную волну. Несмотря на то, что з среду через границу э=О со временем поступает тепло, температура в области г ) г1 остается нулевой.
(а У Ркс. 2.25 Решения (6.23) и (6.25) призедены в (86]. Оттуда же взяты рис. 2.25,а и б, на которых эти аналитические решения сопоставлены с реэультатаии численного решения задач (6.24) н !50 (6.26) соответственно. Параметры задачи имеют здесь следуютцие значения: для задачи (6.24) (рис. 2.25а): а=2, )ге=0,5, з~ =О, 0 = 5; для задачи (6.26) (рис, 2.25, б): а=2, !ы=0,5, з, =0,5, с=0,1125. Тот факт, что коэффициент теплопроводпости, зависящий от температуры, обращается в пуль на фронте температурной волны, вынуждает использовать в расчетах для вычисления коэффициента а; формулу (6.9) клп же определять значение а; по сред3 пей температуре Результаты, полученные и гл.
11, относятся к одномерным нсстационарным уравнениям газовой динамики, записанным в лагранжевых массовых координатах. Однако высказанные идеи и принципы могут быть использованы и для других случаев. Так, например, в [68[ рассмотрены вопросы, связанные с построением полностью консервативных разностных схем для одномерных яестационарных уравнений газодинамики, записанных в переменных Эйлера, Однако, попытка построить такие схемы в рамках семейства двухслойных (по времени) разностных схем не привела к успеху.
Более того, в [49[ показано, что весьма широкое семейство двухслойных разнаствых схем для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера не содержит полностью консервативных схем. В [50[ построена явная трехслойная схема, обладающая свойством полной консервативности.
Однако применение на практике подобных схем для решения газодинамических уравнений, содержащих лишь первые производные по времени, порождает, как известно, определанные трудности. Построить двухслойные полностью консервативные разностные схемы для уравнений газодинамики в переменных Эйлера удается с помощью специального подхода [43[. Он основан на использовании в разностных уравнениях у членов, которые содержат пространственные производные, временных весов, являтощихся функциями решения. Указанный подход легко обобщается иа многомерный случай. ГЛАВА Ш УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ В главе 111 на примере линейной модели уравнеяий газодинамики выполнен анализ устойчивости различных разностнььг схем.
1 1 посвящен общим нолроснм и определениям. Применительно к одному линейному уранненг»ю переноса продемонстрированы особенности различных приемов исследования устойчивости разностных схем,— спектрального метода, принципа максимума (1 2) и знергетического метода (1 3). В 1 4 рассмотрена устойчивость разностных схем для уравнений акустики. В $ й даньг примеры влияния вязкости на устойчивость схемы. В $ 6 получены услония устойчивости для уравнения теплопроводности, отмечены вопросы, связанные с асимптотической устойчивостью. й 1. Понятие устойчивости разностной схемы 1. Сходимость гхемь«. Метод коночных разностей представляет собой способ «вычисления» приближенного решения дифференциальной задачи.
Естественно, что такое приближенное разностное решение должно быть близко к точному решению, причем различие между ними должно уменьшаться по мере дробления сетки. Такое свойство разностной схемьг, с помощью которой получено приближенное решение, называется сходи»гостью схемы. Строго понятие сходимости формулируется следующим образом. Пусть в области С простраястна х=(хь ..., х,) с границей Г требуется найти решение д«тфференциального уравнения и(х, 1) —" = йи -,'г-1(х, г), хе= С, 0(Г( У*, (!.1) удонлстноряющее некоторым краевым 1и=р(х г), х«вГ, 0 -г -Т, (1.2)' и начальным условиям и(х, 0)= ию(х), хш С, (1.3) где «' и 1 — дифференциальные операторы по переменной х; ~(х, 1), р(х, 1) и ию(х) — заданные функции («входные данные» задачи).
»ка (1.1') (1.2') (1.3') тдг ул — сеточная функция, аппроксимирующая решение дифферевцпалшлой задачи и, 1, и !л — некоторая разностная аппроксимация операторов 1. к й ~, т, иь — заданньле сеточные функция, аппроксимирующие ввходпые дакныел дифференциальной зж!вчк 1, !ь ио. Олч впдво, рассматрквасныс пвми одномерные нестациопарпые задачи газовой динамики и разпостные схемы их решения уклвдьплаются в приведенные общие операторные формулировки. Говорят, что решение разностной задачи (1,1') — (1.3') сходится в некоторой сеточной норме к решению дифференциальной задачи (1,1) — (1.3), если для любого Г! (О (~ т„( !з = Т) имеет место !'и(хч, ! ) — !л(!' — О прп 6-«г!, т-«О, (! л) Область С+ Г непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек — сеткой гал = юг+ („(олл— множество внутренних узлов сетки хь '(л — совокупность точен сетня, принадлежащих границе Г).
Отрезок времени О < ! ~ Т, па котором рассматривается рошспие задачи, также разбивается на конечное число интервалов — вводится сетка по временной переменной Ы ы, = (гь 1 = О, 1, ). Пусть й — шаг сетки по пространству, т. е. параметр, характеризующий плотность расположения узлов сетки ьлл в С+ Г, т — шаг сетки по времени: О„~ — ~„.
= т. В общем случае гпаги сетки переменны, т. е. сетка не!юеиомериа, Исходную дифференциальную задачу па сетке ол = гзл Х ы, аппронсимируем, например, раакостной схемой (см. (1.18) гл. И): у, =1 уив+юр, хлшвлл, г, ньл„ тлу=т х литл О~ы у~ = па, х ы ыл, ! = О, т, е, пзмельчепие сотни, н том самым уволпчеппе количества узлов сопл (например, числа временных слоев ус), приводит к шчяранячсвпому сближению разпостиого и дифференциального рошенпй. Если при этом , и (хл, Г ) — у(! = О (тл+йл), то говорят. что схема (1.1 ) — (1.3 ) имеет точность т по времеви и и — по пространству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
