А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 26
Текст из файла (страница 26)
К целым точкам сетки (г„),) будем относить сеточные функции радиуса г'; = г и скорости д = о, к колуцелым (г< пм т,) — дав( ) ) д лешш р;+,/о = р) = р, плотности р)о.)/о = р) = р и внутренней 1 зпергпп е)+,/, = е; =- е, причем, как и выше, черту пад функциями, отпосящииися к полуцелым точкам, опустим. Система разпостпых уравнений записывается следующим образом: Р) = — т)/)- (ю г, в)ол), (1/р), = (/1с)о о))„ г, /))о) (1(о)о,о)), (3.32) (3.33) (3. 31) (3.35) 1 — для плоского случая, г)о о) — длк случая цилиндрической симметрии, (го + г г+ го)/3 — для случая сферической симметрии, О(а 1 — свободный параметр. В формуле (3.32) через р-, обозначена производная назад на неравномерной сетке от сеточной функции, определенной 123 мула (3.31) может дать для о( отрицательное значение, если скорость в 1-м узле изменит знак за шаг т.
Поэтому мы исключим из рассмотрения схемы, в которых разностпая аппроксимация кинетической энергии содержит два или более временнйх слоев. гь Полностью консервативная схема для пространственно одномерного случая с произвольной симметрией. Построения, выполненные выше, легко обобщаются для одномерных цилипдрически и сферически симметричных задач. Соответствующая система дифференциальных уравнений, полученная в гл. 1, имеет вид в полуцелых точках: ~[тт/а < — т/а У У( 1) ь т (ь ) ) (3 35), РТ оД(ьт+ьт,) а = 2 Разпостиая схема (3.32) — (3.35) аппроксииирует систему уравнений газовой динамики (3.31) гл.
1 с порядком 0(т+<>'), при <т = 0„5 порядок есть 0(т'+ Ьт). В схеме (3.32) — (3.35) выполнены следующие локальные законы сохранения. Закон сохранения объема (закон сохранения массь> выполпеп автоматически) ." ! ' г<ьт — г< — плоский случай. [(г,'+т) — (<,) 1/2 — цк;шплрпческпй случай, р> [(>'<+т)з — (г()з]/3 — сферпческ>тй случай.
Напомним, что масса отнесена к одному радиапу в цилиндрическом случае и к единице телесного угла — в сферическом. Закон сохракепия зпергпи соблюдается в виде ( т ° ° ) <> е+ — (оз + т>'(+ 1)) 1 = — (р',">тт<><">)„(Х37) где рз= ' — интерполяция сеточной фупкцпи дав><,Р и+ >>, <Р< >ч, ьт леппя в целую точку для перазкомерпой сетки. з 4. Одпородпьте разностиые схемы. Искусстве><>тая вязкость 1. Вводные замечания. Одним из важных требований, предьявляеиых к разпостпым схемам, является требование однородности схемы [91[, [02[.
В это понятно вкладывается следующий смысл. Как отмечалось в гл. 1, при решении задач газовой дипаиикм могут встречаться различпые особенности, пзпрпиер разрывы рошепик — ударные волпы и котттактпые разрывы. К последнии отпосятся и грапицы раздела двух сред с различпыми физическиии свойствами. Помимо этих физических особеппостей, з процессе решепия задачи копечтто-разпостпымп иотодаии прпул>дптся иметь дело с церегуляртшстяии раэпосткого происхождения.
К пии следует отнести, например, граничные т<>чки сетки, Наличие и задаче подобных зпеодзородпостсйз вынуждает в окрестности каждой особой точки видоизиеппть алгорити чпслеппого счета, приспосабливая его к каждой индивидуальной особеппостп. Такой путь несыта пеудобоп,— оц громоздок и приводит к бо,тьшим сложкоетлм при реализации логической структуры алгоритма, ибо, как правило, заранее пол<як< ппе нерегулярных точек неизвестно. Естественно пытаться строить такие рзэпостпые схемы, которые реалнзутотся по одним и тем же формулам во всех узлах 124 сетки, независимо от того, совпадает данный узел с точкой нерегулярности решепия нли пег. Схемы такого типа и называютсн однородными или схемами сквозного счета. 2.
Расчет разрывных решений. Обратимся к способам расчета разрывн»зх газодинамических решений — контактных разрывов и ударных волн. Как отмечалось в гл. 1, контактный разрыв перемещается в пространстве вместе с частицами вещества, т. е. неподвижен по массе. Отнесем контактный разрыв, существовавший в течении в пачальньш момент пап образовавшийся позднее, и ближайшему узлу сетки. Тогда во все последующи» моменты времени разрыв будет оставаться в атом жс узле. Нормальная компонента скорости, относящаяся к целым точкам, в силу етого оказывается непрерывной па контактном разрыве, что соответствует физической сущности явления. В то же время значения сеточных функций плотности и температуры, иамеряемые в ближайших полуцелых точках слева п справа от разрыва, могут претерпевать скачок, величина которого такова, что давление остается непрерывным. Итак, благодаря использованию массовых координат к сетки с полыми и полуполыми тачками, пе возникает проблем (в одномерном случае) для «сквоаного» расчета контактных разрывов, В пароконных я1е Нйлора ., для решения аналогичная аадачи приходится предх принимать дополнитель- х л оег«с» ае»е .-; вздев то ах >У й —.
— х — х- пые усилия, ибо здесь положение в пространстве контактного разрыва, вообще говоря, заранее неизвестно. Сложнее обстоит дело с построением однородных разностных схем для расчота задач с ударными волнами. Напомним что фронт ударной волны перемещается по массе, а Ряс.
2ЛЗ параметры точения по обе стороны от разрыва связаны услояиямя Гюгопио ((5.9) (5.11) гл. 1). Попытки осуществить расчет движения ударной волны непосредственно ко разпостпым схемам типа (3.1)— (3.4) илн (3.21) — (3.24) оказываются тшудачкыми. На рис. 2.13 представлены результаты такого расчета. За фронтом ударной волны сеточные функции испытывают резкио колебания, но позволяющие установить пстиппыо значения парамотров, Неверно нерейаетск н скорость распространенна фронта волны.
Важно отметить, что наблюдаемая «оолтанка» не является следствием вычислительной неустойчивости схемы. При измельчении шага сотки по времени расчеты да1от похожие результаты. Полу- 125 чеппая резко колеблющаяся кривая, неприемлемая в качестве решения физической задачи, представляет тем пе мепее решепие соответствующих разпостных уравпепий. Мехапизму возпикповепия таких колебаний может быть дана паглядпая иптерпретация. Дпскретпую модель среды, описываемую разяостпой схемой, можно в целях паглядлости иптерпретировать как систему, скопструироваппую из сосредоточеппых масс (топких пластинок с массой, равпой массе иптервалов сетки), которые взаимодействуют друг с другом без трения через упругую среду, заполпяющую пространство между пими.
Б мехапическом отпошоппи такая система эквивалентна набору шариков, соедипепяых пружипками с перемеппой жосткостшо (шарики могут смещаться только в продольпом паправлении, см. рис. 2.14). Прп распрострапопии й Щ ИС)'ЗЪ -Д» бТО Г4 » » Ь, » Рес. 2.14 сильного возмущения (аналога ударной волпы) шарики приходят в движение, которое посит колебательпый характер и пе затухает в силу отсутствия в системе трепия. 3. Искусственная вязкость. Для расчета ударной волпы без явного выделения па сетке ее фропта применяется метод «размазывания» фронта за счет введепия в систему развостпых уравпепий некоторых диссипативных членов (так паэываемой псевдо- вязкости или искусственной вязкости).
ОпИ моделируют действие реальпой вязкости, т. е. преобразуют кипетическую эпергию колебатольпого движепия в тепловую зпергию (75, 107). Очевидно, диссипативпый механизм теплопроводиости для этой цели мепее удобен, так как при этом разрывы в ре»пении для достаточно сильных ударпых волп сохрапяются, в то время как вязкость »разглаживает» ударные волпы любой интенсивности (см. гл. 1, э 6), Для пепрерывпой среды вляяпие вязкости па структуру фропта ударпой волны подробпо рассматривалось в э б гл, 1.
Уравпепия газодипамики в этом случае записываются следующим образом а l 1 '1 де д, д де ໠— 1 — )= —, — = — — (р+ю), —. = — (р+о») —. ж (~ Р) д* д1 дг д» де ' где ю — вязкость. Наиболее часто рассматриваютсв липейпая вязкость ю — — тр до/дг и квадратичная вязкость е» = рр(до/дг)'. В результате действия вязкости все параметры во фронте ударной волны изменяются пепрерывпо, »26 В разпостпой схеме псевдовяэкость вводится как добавок к давлению, аппроксимирующий соответствующее дифференциальное выражение. Как и сеточная функция давления, псевдовязкость относится к полуцелым точкам сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
