А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для аппроксимации производной (1.1) н узле ю (ва )чм нремевябм слое) можво использовать следующие соотно- шения 98 З(г» .и») ч(г» г) У»в '» »ы '! у ('» ';) — у ('- ';) у-— » г — г » 1-1 — — (1.2) ь й 1 У»-1 у — у (. — 1) я )» Выражения (1.2), (1.3) называют односторонними разностными производными, у, — правая производная (или производная вперед), у; — левая (вли производная назад). Очевидно, правая произнодвая н узле 1 является леной в узле <+ 1, т. е.
у, = уу(+ '1) Аналогично у-, =- у. ( — 1). Помимо соотношений (1.2), (1.3), используют также центральную, илн двустороннюю разностную производную 1 < ) (,) У. У «<) у< И 8 ~ — 8 Нетрудно проворить, что симметричное выражение (1.4) является полусуммой односторонних производных (1.2) и (1.3): у~ = <35(у, +у-,). Аналогично определяется разкостная производная по времени у(ги 8; ) — у(»г с ) у»» вЂ” у( т Вторая разностная производная определяется следующим образов: у у — ' у.- -у< у'- у< —,' И вЂ” 2 ",-у< — 1). — т й й й' < ~у;е»- у; й 1~ й = и (еь <<) ~ й д (з" М ) + —, —, (е<, 1 ) + О (йз) ди й" ди д» '" ' 2 д»» Исходя из определений (1.2) — (1.4), получим для погрешности аппроксимации»у = Ееие — (би)» в каждом конкретном случае следующие выражения те+ (» ) = (ий) (зп 1') = (вп 1') + 0(й ) = О (6), Эта запксь представляет собой разностную производную от пер- вой разностной производной.
Отметим, что для ранномерной сетки у;,= у,-,, 5. Погрешность аппроксимации. Заменяя дифференциальный оператор Ь <»-~' некоторым разцостпым оператором У,„, Рве. 2.4 мы допускаем ошибку — поерешность аппринсимиции, от нсличпны которой будет зависеть точность ре- шения разкостиой задачи. Выясним нелкчину погрешности аппроксимации дифферевци- алыюго оператора разпостпым для случая первых производных, испо;пзун разложение н ряд Тейлора некоторой гладкой функции: и(»;, В) = и(»; ~ й, <,) = $ (гг) =(ил)-,— — „'" (гв 11) = — — "' — '",(г„1с) + 0(йг) =0(й), ди ф, (г;) = (и„) — — (гс, 11) = 0 (йэ).
Эти соотношения справедливы для достаточно гладкой функции и(г, 1) непрерывного аргумента. Говорят, что рагностный оператор 1ь аппраксимирует на классе функций дифференциальный оператор Ь с порядком и) О (и — порядок аппроксимации) н точке г„ если для погрешности аппроксимации имеет место ф, = ф(г,) = Сьиь — (слс)„й=,с == 0 (й"). В соответствии с этим определением односторонние разноствые производные (1.2), (1Л) аппраксимируют производную (1 1) с первым порядком, а центральная производная — со вторым. Замечание.
Производная у, является правой относительно узла г, п н то же время левой относительно узла г, Очевидно, относительно полуцелой точки г,+ыг = — г,+ 0,5/с эта же производная (ус)с (у ) является централг,ной. Таким образом, разностная производная у, аппроксимнрует производную (1.1) с первым порядком в узлах с и с+ 1 и со вторым порядком в полуцелой точка с+ 1/2, Аналогичное утверждение справедливо и для разностной производной по времени: выражение и, аппраксимирует производную ди/дг с первым порядком 0(т) па слоях / и /+1, и со вторым 0(тг) — на полуцелом слое /+ 1/2. Вторая разпостная производная и-, аппрокспмнрует произнодную дэи/дгг со вторым порядком: (гь В) + (гс 11) + 0 (/сг) (гс 11) + 0 (Ь~) Осз ' !2 ьис ес Как видно из структуры приведенных выше формул, величина погрешности аппроксимации представляет собой произведение шага сетки (6 нлн т) в некоторой положительной степени на соответстпусощусн производную от решения.
Поэтому ва грубых сетках, где птагн Й и т велики, н также для решепяй, претерпевзющнх резкие изменения но времени и пространстве, нелпчвна погрешности аппроксимации ф может стать не малой, так что сныо понятие аппроксимации теряет смысл, 6. Разпостная аппроксимация дифференциальных уравяений. Возможные способы аппроксимации днфферепциальпьсх уранвешп) мы рассмотрим па примере одного нз уранпоннй газовой $М динамики — уравнения движения дс др — + — -О. д! дг (1.6) Функции непрерывного аргумента — скорость о и давление р заменим на сетке ст сеточными функцттями, сохраняя для них обозначения о и р. Будем пока считать, что этн сеточные функции вычисляются в узлах сетки (г„т,).
Используя введенные ныше обозначения, мы мок!ем предложить для аппроксимации т'т,// /т+/.// /т-/// Р,// (!'-„'„~/ /т,// /т+/,т;! Рвс. 2.5. Рвс. 2.6 дифференциального уравнения (1.6) следующие конечно-разностные соотношения: гт+ р,= О, (1.7') ит+ р,-= О. (1.7') Участвующие н этик записях наборы узлов называются шаблокалти (рис. 2.5). Погрешность аппроксимации уравнения (1.6) разностными уравнениями (1.7'), (1.7" ) в узле (г„1,) имеет первый порядок по нрсмени и пространству 0(т + Ь). Разностное уравнение с центральной производной по пространству о! + р. =- О, (1.7"' ) записанное на четырехточечном шаблоне (рнс. 2.6), имеет и узле (г„1,) второй порядок аппроксимации по пространству: т(т= =0(т+/тт). Од!тат!о, как это будет показано н гл.
111, такая атшроксимацня через то~!ту принодит и неустойчивым схемам. Существует еще один подход к аппроксимации ураннения (1.6). Будем относить значение сеточной функции давления на каждом временном гное к полуцелым точкам (гт,оь 6), а скорости — к целым (г„т,). Тогда разностпос уравнение дниженин на шаблоне, изображенном па рнс, 2.7, примет нид (н индексных обозначениях) т-т — Г;.„тт, тт т Л ()м) Здесь разнос!пан производная от данден!та снмметрн ша относительно точки (гн !!) н имеет в ней второтт порядок аппроксимации 0(йт). Разностная произнодная по времени от и имеет н этой точке первый порядок аппроксимации 0(т), т. е. уравнение 101 (1.8) аввроксимнрует дифференциальное уравнение (1.6) в точке (г„1,) с порядком !( =0(т+ Ь»).
И отличие от (1,7 ), где центральная производная вычисляется»через точку» ~р! не участвует в записи разностного урав! пения), в соотношении (1.8) производная от давления определяется по соседним точкам, что повволяет избежать неустойчивости схемы (см. гл. !И).
Для упрощспия записи разностных соотношений введем еще одно безындексное обозначение у~. 7 .ым-У =У. Теперь соотношение (1.8) можно переписать в компактном, так называемом, безындсксном виде о»+ р, -= О. (1.8') До снх пор для разпостной аппроксимации пространственной производной в (1.0) мы использовали !'-и временнбя слой. 1'азностпые уравнения, построенные по такому принципу, называются явными. В такое уравнение входит лишь одна величина ! !6- ~~!, ! /! — /ф /.~-»2) ! ~ф, (~1/ ! ! /7+Щ /+/з/ ! ! ! ! /! ! 1 1 Рве.
2.7 Рвс. 2 Я с (/+1)-го пли, как говорят, с «верхнего» слоя о! == о, Голи !+! зла гения сеточных функций о!, р,' на /-м слое известны, то значение о выражается явным образом, например, из (1.8'): о = о — тр". 1О2 Очевидно, при записи разностяых уравнеяий можно пользоваться и»верхним» временным слоем. Тогда на шаблоне с полуцелымн точкамп (рис. 2.8) получим аналогично (1.8') и!+ Р-,=-О. (1.9) На!!о»!г!и»!, что крышка над р означает, что зта величина вычисг !.'-» 1»г лается па (/+ 1)-м слое (р=- Р! = Р!+М») ! !огрешпость аппроксимации уравнения (1.!!) уравнением (1.О) в узле (1, /+ 1) равна !У = 0 (т+ й') .
1'азностные уравпения (1.0) называготся неявными,— здесь на верхнем слое оказываются «завязанными» несколько различных неизвестных величин, и получить явную формулу для их выражения через значения функций на /-м слое не удается. Методы решения неявных разностных уравнений представляют большой самостоятельный вопрос (см. гл.
1У). Для разностной аппроксимации уравнения (1.6) можно использовать линейную комбинацию соотношений (1.8') и (1.9) ис+ ар-+ (1 — а) р-= 0 (1.10) на шестнточечном шаблоне (рис. 2.9). В дальнейшем для сокращения записи будет использоваться обозначение у во = оу + (1 — о) у, где о — так называемый весовой множитель. С помощью этого обозначения можно в виде переписать (1 10) и~ + р~- ~ = О. (1 10') и(0, г)=0, 1)0. Правое краевое условие на границе газа с вакуумом имеет внд р(М, г)=0, г~О, где М вЂ” масса газа, заключенная в единичном параллелепипеде.
Начальные условия таковы: газ однороден и покоится, так что и(з, О) = ио = О, р(з, 0) = ро, р(з, 0) = ра, 0 ( г ( М, зоз При частном значении о =0,5 соотношение (1.10') имеет относительно точки (вь О па) порядок аппроксимации 0(та+ Й'). В остальных случаях аппроксимация ф=О(т+ йз) /~-~г,/+У ~ О.Ф, ~У ! 7. Постановка разностной задачи. -г---- Постановка дифференциальной задачи в газовой динамике, помимо самих уравнений, включает форму- ~, (~,~/ лировку краевых условий н начальных данных, которые обеспечивают (г ~~,,у ' 0 Фу,~у выделение из совокупности всех возможных решений единственного.
Те же элементы должна содержать и разностная постановка задачи. Способы аппроксимации некоторых дифференциальных уравнений разностными были разобраны в предыдущем пункте. Характер разностной аппроксимации граничных и начальных условий зависит от конкретного вида задачи. В качестве иллюстрации рассмотрим задачу об истечении газа в вакуум, постановка которой для дифференциального случая была сформулирована в $ 3 гл.
1, Напомним, что в атой задаче слева газ граничит с неподвижной стенной, поэтому левое краевое условие выглядит следующим образом В этой простейшей задаче раэпостная аппроксимация краевых и начальных условий записывается без труда: и~>=. (>, />к=О, /=1 2, о () о в 1 2 Д< 1 Здесь для простоты рассмотрен случай, когда все сеточпые функции вычисляются в целых то'>ках сетки. Ревностные уравн«пнв в совокупности с разпостяой аппроксимацией гранвчны.. н начальпл<х условий составляют разностнрю схсэ<». Раэностпав схема есть система алгебраических соотпо>некий, методы решения которых представляют самостоятелы<ую проблему. В дальпешнем иногда длп краткости мы будем вазывать также рвэпостпой с.смой одну лишь систему разпостпых уравнений, подрвэуьн вав прп этом, что в конкретной задаче к псн добавляется рв.н<остпвв,шниа<, на <в,н>пь>х и краевых уаловий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
