А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 23
Текст из файла (страница 23)
н 'и у — 1 (- а) (2.3) К узлам сетки (гь О) будем относи«к сети ~ньге функции скорости и, и зйзеровой переменной х,', к «полуцелым» точкам (я,+О«, 1,) — сеточные функции давления, плотности, внутренней 108 В даппом случае уравиеиии состоянии (2.5) опись«паап идеальный гаа, однако с точки проппа построения разиостпых схем это не является ирнпцнпиальиым. )!озтпягу п дазьпе1йпем прп записи разнос«пой схемы ураипепии сосзи ии«и будут изото опускаться.
Систома урааиеипй (2.1) — (2.8) ре~иао.си в области»« = (О '= я «- М, 1) О,'; гракичпые и нича ~ьиые усзоепи. и соответствии со сказанным и п. 7 1 1, пе расс»«атриазсм. В области Я введем равпомерпучп сетку и» = ((яи 1), (г,.„., 1), я,,:= я, + 7б яь, и« = я, + О,б(п 1= О, 1, ..., А' — 1. я« =- О. я« .—.
М, 'йА1==М, б«, =Г,,+ ц 1=-0, 1..). (2.б) знергии и температуры: р;+1~«= р;, р;+н, = р;, е«+1~« = е;, г г г, г г г Т(+ ~« = Тг (рис. 2.Ю). Аппроксимируя по образцу (1.8) дифференциальные уравнения газодинамии« (2.1) — (2.5), можно получить следующую (одну из возможных) ревностную схему: 111 г г «1 1 лг«-1««гг-1И г (2.7) 1.1-1 «г г г г+1 (2.8) „г+1 „1+1 "г+1 "г (2.9) е'+1 — е' Ег+1~««1«-П« г«-1 1+1 и« вЂ” ггг Рг+1«« (2.10) г+1 .г+1 !+1 г+1 гг .3.1-1 7гг.г.г!« = рг.г.гг«Л7««.м«, гг.г.гз« = 7''1+11«.
(2 ° 11) т †Локальная погрешность аппроксимации отдельных дифференциальных уравнений системы (2.1) — (2.5) разностными соотношениями (2.7) — (2.11) — 0(т+ й'). Заметим, что при записи +„ Рис. 2ЗО этой схемы нс пригплогл, пользоваться какими-либо пространствоппыми интерполяциями сеточпых функций, так яак динамические е, и и термодинамические функции отнесены к различным (целым и «полуцглым«) точкам сетки. Гхемы, подобные (2.7)— (2.11), описаны в литературе и достаточно широко пряменяютсн на практике (см., например, [73, 75, 1(37) ). Они ведут свое начало от известкой схгпы «крест», прг дложеппой первоначально для уравпгнпгг акгстнкп. Слелуг т указать, что в отличие от (2.7) — (2.11) в к«агсяческом «кресте 1 «лолуцолые«точки сетки, к которым отпосятгя териодкчамвческие ф гпкции, сдвинуты относительно Узлов («ь б) на половипУ шага 11с только по пРостранству, ко и по времени.
Однако;гто обстоятельство с точки зреппя накшх рассмотрений пе является существенным, Одна из привлекательных черт схемы (2.7) — (2 11) состоит в том, что хотя правые части всех уравнений, кроме (2.7), отно- 109 сятся к верхнему (1+1)-му временному слою (неявность), тем не менее схема без труда разрешается явным образом. Для этого следует рассматривать уравнения схемы в указанном порядке; тогда нз (2.7) по известному с предыдущего 1-го слоя профилю давления р(~цх вычисляются заачешгя скоростп г( '. иэ (2.8) .3 1 т1 ге 1 и (2.9) по найденной скорости ь, определяются х; и р;тнм далее уравнение (2.10) в сочетании с ('.11) дает Т;~мю е;~из о 1+1 д+г гт1 и р,+мз.
Используя обозначения (1.18), перепишем построенную разностную схему (2.7) — (2.11) в безыпдексной форме: вс = — Р; (9 7') зй = ш (2.8') (1/р)~ = и~ (2.9') ~~ = — Ром (2.10') ,О = Л(ГТ, Е = НТ/(у — 1). (2.11') Чтобы в дальнейшем избежать громоздких обозначений, мы всюду, где это не вызовет недоразумений, опустим черту над функциями р, р, е, Т, имен по-прежнему в виду, что они относятся к полуцелым точкам сетки. С учетом этого замечания схема (2.7') — (2Л1') примет вид ш= — Р; (2.7") Х, = У, (2.8") (1/р)~ = и„ (2.9') е~ = — Рп (2ЛО") р =йрТ, з =АТЬ(7 — 1). (2Л1" ) 2.
Анализ раэностиой схемы. В дифференциальном случае уравнение (2.4), выражающее закон изменения внутренпей энергии газа, может быть преобразовано с использованием других уравнений системы к дивергентпому виду л' — ~е + — ~ = — — (ри). гн (, ' г / аг (2.~') Уравнение (2.4') представляет собой закон сохранения энергии.
Выясним, как обстоит дело с законом сохрапения энергии в разностной схеме (2.7 " ) — (2.11 " ). Попытаемся преобразовать аналогично дифференциальному случаю разностное уравнение энергии (2.10") к дивергентной форме. Умножим уравнение движенин (2.7") на иевм = 0,8(и+ и). Учитывая, что (2.12) ао атолучим уравнение 05( ), а р,— (2ЛЗ) Воспользовавшись формулой (1.19), преобразуем правую часть уравнения (2.10" ): рп (р 4 тр,)(е(а,а) + 0,5тиа) = рп(а,ы 63 (2 14) ба = — 0,5трп„— тр,и,.
(2Л5) где Подставим (2.14) в (2.10") и сложим полученное выражение с (2.13). Эта операция дает (е 4 0 бпт), рэга,а) о<а,а)р ( 6Р Первые два члена в правой части «сворачиваются» в соответствии с формулой разностного дифференцирования произведения (1.20). Окончательно получаем (е+05га),= — (р( — 1)паса~) +6Ю (216) 0 5(га(+1) ), = — г"" (+1) р,. П этом случае имеем (г + 0 5пт(+1) ) (рэга а)) + 6,'У (2Л7) Вэпе полусумму уравнений (2Л6) к (2.17). получим третью Ш Это соотпошсппе является раэностпым апалогом дивсргептвого уравнения энергии (2.4').
Оно представляет действующий в рассматриваемой схеме сеточный закон сохранения энергии, записанный для одного массового интервала Ь на промежутке времени т. Суммирование соотношений (2.10) на сетке по 1 и 7 (0(1()т', 71 -7' -ут) дает соточный аналог интегрального закона сохранения энергии. Итак, в схеме (2.7") — (2.11") разностный закон сохранения энергии оказывается невыполненным. Изменение энергии здесь определяется не только работой сил давления, но и дополнительными источниками 6Ж, имеющими чисто разностное происхождение.
Дисбаланс энергии, порожденный этими пе обладающими физическим смыслом фиктивными источниками, пакапливается со временем. Мощность источников на гладких решениях составляет 0(т) и уменьшается при использовании мелкой сетки по временнбй переменной. С другой стороны, пеличкпа бст практическп пе зависит от шага сетки по массе й и потому не может оыть существенно уиепыпена эа счет дроолепип прострапствепеой сетки (см. (2.15)). Мы попым полу|ото пгсколько питео подкфпкацпто соотпошепкп (2.10), если ело;ппм уравпенпе (2.10") с уравнением (2.13), заппсаппым в (с+1)-м узле сетки симметричную форму (2 18) где р = 0.5(р+ р( — 1)) = 0,5(р(.ьыз+ р,' пз) (2.19) —," (У;(х) ', ) =О, 0<х<1, и(0)= 1, и(1) = О, / й„О<х<с, "" = ( й„В<.«.
х~ с, Коэффициент теплопрозодиостп й(х) терпит разрыв в тачке х = в. Поэтому днфференциальпое уравпепне рассматривается лишь в областях гладкости О Сх<с и в <х -"1. На разрыве должны выполняться дополнительные условия, необходимые с — линейная интерполяция на равномерной сетке сеточной функции давления в целую тачку, Интересно отметить, что в (2.16)— (2 18) дисбалансные члены бд* одинаковы.
Три различных вида разностного дивергентного уравнения энергии (2.10) — (2.18) отвечают трем различным определениям в схеме кинетической энергии, — в первом случае кинетическая энергия массового интервала определяется по скорости его левого конца 0,5ягт, во втором — по скорости правого 0,56и'(+1), в последнем случае используется полусумма 0,5(0,5Ьи' + + О 5йп'(+1) ) = О 25(пт+ и'(+1) ).
Соответственно в каждом случае определяется и разностный вид работы сил давления. Однако ни при одном определении не удается избежать нарушения в схеме закона сохранения энергии, что является существенным дефектом схемы. 3. Консервативные разностиые схемы. Пример влияния некоисерватнвности. Развостпан схема должна отражать основные свойства непрерывной среды. Поэтому естественно требовать, чтобы в схеме прежде всего выполнялись разностные аналоги основных закопав сохрапепкя. !'азностные схгмьь обладающие этим свойством, называются коясерватививпяи. На важность требования консервативности схемы обратили внимание в начале 50-х годов Л. Е1.
Тихонов и Л. Л. Самарский (80). Ими был предложен пнтегро-иптерполяциоппый метод для копструироваиия консервативных разностпых схем и построен пример, когда неконсервативная разностная схема, обеспечивающая второй порядок точности в классе достаточно гладких коэффициентов, расходится в классе разрывных коэффициентов [90]. Изложим один из примеров такого типа. Для наглядности рассмотрим простейшую модель — задачу для стационарного уравнепия теплопроводности: физической точки зрения и выражающие непрерывность темпе- ратуры н теплового потока: (и! = и($+ 0) — и($ — 0) = О, Г Ы=йй!. „.— й1,.= Эти условия в совокуппости с граничными условиями выделяют единственное решение,— функция и(х) кусочно линейпа и имеет вид (рис.
2.11) 1 — ах, 0<х<$, и (х) = (1(1 — х), й йх -1, а =)сей, !) =)ссб, Л вЂ” [$)се+(1 — $))сс] Заметим, что исходпое дифференциальное уравпение может быть записапо в педнвергентной форме: сС и сссс ии л* лх (у 4 Рвв. 2Л1 гле ис = 'сс — -1-(~сстс — йс с), Ьа = ис + 4 (~сст„— ис т). Очевидно, 1 что построенная разпостная схема не является консервативной. Условием консервативности является равепство а,+, — — Ьь при выполнении которого выписанное разностное уравнение й А А Сяичесииз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
