А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ю П ПОпон 113 В области 0 < х < 1 введем равпомерпую сетку ыв = (х, = 1й, 1= =О, 1, ..., Дс, й= 1/"т). Пусть точка разрыва х = е козффициепта Й(х) попала и интервал ме'кду и-зс н (и+ 1)-и узлами: еь = и + ОЬ, О - - 0 < 1. йсхс Заменим дифференциальную задачу разностной схемой, причем будем У аппроксимировать недивергентную ссЯ форму уравнения Ус~с — 2У;+ Ус + у. ~ ,.'с, аз и — сс. ,+,—...,+1-... „ + 26 2Ь с = 1, 2, ..., Дс — 1, уе = 1, у, = О. (В безындекспой форме: )су-„ихб + Йори = 0.) Преобразуем разпостное уравнение к следующему виду: ! а —., [бс (уц., — у;) — а; (у, — у;,)! = О, приводится к диеергептиому виду 1 (б ~1+1 вз а 1 '~з — т1 свидетельствующему о выполнении закона сохранепия.
Однако условие аы~ = Ь, при й~ т'- кз нарушено в ближайших к точке разрыва х —.-$ узлах (х=х„и х=х 1). Члены, нарушающие консервативность схемы, можно трактовать как некоторые фиктивные источники тепла, помещенные в эти узлы. Их мощность прямо проиорциопальна разности коэффициептов тсплопроводпости )с~ — йэ и обратно пропорциональна величине шага сетки Ь. Решение системы разностных уравпений находится в явном виде. При измельчепни сетки Ь О оно стремится к некоторой функции й(х), удовлетворяющей следующей дифференциальной задаче: — )й(х) — "1 = О, 0(х 1, хчь$, и (0) = 1, и (1) = О и дополнительным соотношениям в точке х = З (й1= О, (й ай!йх] = — а, где д = д(я, йи Йт, й) — фиктивный источник тепла в точке разрыва коэффициента Й(х). Величина д::может изменяться в пределах от — до + и частности, о =О(й(х)== и(х)) только ири й~ = йь На рнс. 2 11 даны кривые и(х) и й(х) для случая )т1 — — 10, )тт=1, 3=0,5.
Приведенный пример показывает, что некопсервативпая разпостпая схема, вообще говоря, расходится. Заметим, что любая консервативная схема для данной задачи сходятся. Для широкого класса задач свойство консервативности является необходимым условием сходимости. 4. Иитсгро-иптериоляиионный метод. Су~цпость иптегро-иптерполяиноииого метода состоит в том, что разиостиые уравнения строится иа основе интегральных соотношений, выражающих законы сохранения дли элементарной ячейки сетки. При этом па сетке вводится определсиици интерполяции искомого ре~псиня и иоэффхгцпсптое уравнения, изменяя которую можно получать разлнчпыс разиостиые схемы.
Поясним сказанное иа примере уравнения эиергки. )анин~ем раэиостиос уравнение. аппроксимирующее интегральное уравнение эш.ргнн (см. (ЗЛб) гл. 1); ~ (г Р г-'!2) 4л — ргй —: О, для контура С, изображенного иа рис. 2.12. Примем следующую аппроксимацию отдельных контурных интегралов, входящих в 114 это уравнение: е (3, 11) пз = е;~.пай, н+ь 2 о ('1) ' 4 ~('+) (2.
20)с или, с учетом обозначений (1 18) и (2.19) и замечания на с. 110 (е+ 0,25(оз(+ 1) + оа)), = — (р г),, (2.21) Поступая так же с остальными уравнениями газодинамики, можно построить, например, следующую разностную схему: и~ = — р-,, х~ = и, (1(р)~ = е„ (е+ 0,25(г'(+1) + г')), = — (р е о),. (2.22) Изменяя характер интерполяции (2,20), мы получим семейство Рис. 2.12 схем, причем все они будут консервативными, т. е.
для них выполнены сеточные аналоги законов сохранения массы, импульса и энергии. Действительно, например, в схеме (2.22) уравнение энергии, имеющее дивергентный вид, фактически выражает разностный закон сохранения энергии для одного массового интер8а 118 М -( -) р (го 1) о (ао с) сУ = — ~йч+21а т ра-ыя! а; 1 г 1+з, 1+ю 2 Тогда интегральное уравнение энергии порождает следующее.
разностное дивергентное уравнение: (а1чч)з („(+~)з (а1 )з (у()з т 4 т = — 4 И~Я. + ~Фи.) (Л вЂ” (ИЛ.—; ('и.) !"*] вала й за один шаг т по времени. Суммирование этого уравпекия по сетке даст интегральный сеточный заков сохранения энергии, 5. Аяализ консервативной схемы для уравнений газовой динамики. Остановимся подробпо на схеме (2.22) и выясним, как измепается в кей впутреккая энергия.
Вычтем из уравнения энергии (2.21) полусумму равепств (2.13) и (2.13'), предварительно преобразовав правую часть (2.21) следующим образом (Рео)г = Нрз + т(Рь)г)(г' '" + <),5)тог)!г = (р,г""), — Ы, (2.23) бЮ = — т (0,5р „о) + о (р„),),. (2 25) В результате приходим к уравнению ег= — рг,' ' Я. гзл) (2.25) Таким образом, в схеме (2.22) внутреппяя энергия газа изменяется ке только за счет работы сил давления, как это предписывается физическим содержанием процесса. Дополпителькый вклад вновь вносят фиктивные источники бю', причина появления которых имеет разностную природу и состоит п несогласованности отдельных уравнений разностной схемы. Величина дисбаланса б8' имеет порядок 0(т), практически ке зависит от шага сотки по массе Ь и, таким образом, может быть умепьшепа в даппой схеме лишь за счет измельчения временпбго шага сетки.
В схеме (2.22) соб;подается закон сохрапепкк полпой энергии (впутренней плюс кинетической), однако нарушен баланс тепловой энергии. Такой дефект схемы способен исказить апутрекнюго энергиго, температуру и другие функции. Он не менее опасен, чем нарушение закона сохранения энергии в некопсерваткввых схемах, особенно в задачах, где рассматрпваготса явления, сильно зависящие от температуры, такие, как элсктропроводкость, теплопроводкость и т. д, й 3. Полпостшо консервативные разпостиыо схемы 1. Постановка задачи. Схемы с педивергентным уравнением энср пп. 51г,г уг)ц;гьзггсгк но рассмогрепкьге и преды,гущем параграфе разпосткые схемы,г;и кватпо окксывагот поведение непрерывкой газодкпамической модели зппп в пределе при бескошчпом кзмсльчекип шага разностпой сотки ко времени, когда влкякяе дксбалапсных членов стаковптсс исчезагощо ма.гым.
На рсз. ькьгх сетках ггрк шагах конечной кглкчккы н задачах, решение которых ггредставляется фуккцкямк, быстро г змекагопггыгпся ко кромсая в крггстрапстае, такие разпостпьк схемы из-за палпчпя в нпх фнктивпых источников энергии могут существе)))го исказить изучаемое явление. П то же время вычислителькал практика вынуждает проводить расчеты ка грубых сетках. (Под такими сетками мы пони))э (а ) х1 = юрг, (а ) (1/р)~ = э( а), е~ = — р('г)э(~г). (3.2) (3.3) (3.4) Веса О ~о, ( 1, й = 1, 2, ..., 5, являются параметрами схемы. Варьируя их, можно получить различные схемы от чисто явной (аг = 0) до чисто неявной (а, = 1) .
Отберем из семейства схем (3.1) — (3.4) те, которые правильно передают необходимые энергетические соотношения даже па грубых сетках. Выясним, кан обстоит дело и схемах (3.1) — (3.4) с законом сохранения энергии. Проделаем угке использовавшиеся в т 2 выкладки. Умкожим (3.1) на и'аг' и сложим получающееся при этом соотношение 0,э (ь ) = — э~а г)р( г) (3 б) с уравнением энергии (3.4), правую часть которого представим с помощью формулы (1.19) в виде Р(аг)г(ад .= (Р( 1) + (а, — а,) тР~) (э<ал' + (аз — 0,3) та~), =. = р '~~а ' — бс ( О) бс', = — т! (а, — 0,3) р('ч) аы — (а, — а,) рсо('а) ~.
Окончательно приходим к равенству (и + О,б г), = — (р(а ) ( — 1) Р'"), + М'. (3.7) маем сетки, у которых шаги ие малы, например, шаг по времени сравним с величиной т, фигурирующей в условии устойчивости (117).) Прп этом все же желательно, чтобы точность расчетов была не слишком малой.
Таким образом, возникает проблема построения разностпых схем, обеспечивающих заданную точность па реальных грубых сетках. Поиск таких схем будем вести в некотором исходном семействе разпостпых схем, заданных па сетке: о> =(г,=(й, 1=0, 1, „Ж; а+ыг — --(1+ '/г) Ь, 1=0, 1, ..., )(( — 1; й=)т, 1=0, 1... ). Сеточные функции э1 =. а, х( = х, как и ранее, относятся к узлам 1 ( (гь й), функции же р1+мг= — р1=р Рьепг=р =Р г(+Ыг= = е( = е — к полуцелым точкам (г,„„г, Г1).
Здесь черта пад функциямн означает сдвиг па полшага по пространственному индексу. Итак, рассмотрим многопараметрическое семейство ревностных схем, аппроксимируюн(их систему уравнений газовой динамики в виде (2.1) — (2.4) с педивергептным уравнением энергии Это уравнение является разпостпым аналогом закона сохранения энергии на сетке для одпого интервала Ь за шаг т. Как видпо, в общем случае в схемах с педивергептпым уравпением энергии этот закоп парушеп за счет фиктивпых источников энергии 6Ю, имеющих чисто разпостпое происхождение.
Мощность этих источпиков имеет на гладких решепиях первый порядок по (величину 0(т)) и практически не зависит от шага сетки по массе й. 2. Условия полной консервативности. Из структуры дисбаланса (3.6) следует, что в частпом случае при а~ =оз=а, из=0,5 (3.8) (сх — параметр) оп тождествеппо обрагцается в пуль. Таким образом, при выполнении условий (3.8) разностпая схема (3,1) — (3,4) обладает замечательным свойством, апалогичным дифференциальпому случаю,— ведивергептпое уравнение энергии (3.4) посредством тождествеппьсх алгебраических преобразований сводится к дивергептпому виду ( 05„д) (,оо( 1)„охэ) (3.9) Очевидно, в этом случае в схеме выполвепы как закон сохрапепия полной энергии, так и балансы по отдельным видам энергии (впутреппей и кинетической).
Причем это свойство пс зависит от величипы шагов разпостпой сетки. Любопытно отметить, что при условии (3.8) уравнение (3.4) эквивалентно еще однои дивергептпой форме (е + 0 бог( )-1) ) У оп~ил) (3.10) которую можно получить, сложив уравпепие (3.1) с уравпепием (3.5), записанным в (1+ 1)-и узле сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
