А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Расчеты проводились для конечной массы газа М (О < г ~ М). 1!а левой границе — поршяе(о=О) — задавалась скорость и(0,1) =(Уо, ила, в разпаством виде, ой= 1'и у'= 1, 2, Правая гра- ница о =М считалась неподвижной стенкои: и(М, У)=0 нли и,'и = О, у = 1, 2, ... 1'зача т продали алсы до тех пор, пока удар- ная волна пе достигала правой границы, которая располагалась достаточно далеки (М вЂ” валина), чтобы дать возмон ность раз- ностному реопешпо полностью сформироваться. В качестве на- чальных данных бралось исходное состояние газа: р";=1, Т!~=0, 1=0, 1, ..., лу — 1, г,"=О, 1=0, 1, ..., Л'.
Для об~ спечеция залман!ности сквозного расчета ударной вол- ны в схему вводилась псевдовязность. Раэиостная сетка бралась равномернои, шаг по массе составлял й —. 0,1, шаг ио времени варьировался. 2. Результаты расчетов по некоисерватнвным схемам.
Обра- тимся сначала и семейству схем с недивергентным уравнением энергии (3.1) — (3.1). На рис. 2,17,а представлеяы результаты расчета сформулированной задачи о поршне по аннан из схем этого семейства — чисто неввной схема, где а„ = 1, Уо = 1, 2, ..., 5. Здесь даны графини температуры по массовой координате на по- следовательные моменты вромепи для трех расчетов с различны- ми значениями шага сетки по времени: т~ =022хк, 'хо=1,33ок, то=266т», где величина тк вычислена по условию (1 17) для параметров за фронтом волны (подробнее см.
гл. 1П). Еа числовое значение тк = 0,045. На рис. 2.17,а нанесено также точное решение задачи для спстемгя уравнений газовой динамики беэ диссипация. Кан видно, при болыннх значениях шага сетки по времени т) т, параметры течения газа за фронтом волны, полученные в результате расчетов, заметно отлнчаоотся ат точного решения, а скорость движения ео фронта пе равна единице. С увеличением т это расхождение усиливается. На рис. 2.17, б изображены результаты апалогичпога Расчета, Проведенного но полностью консервативной схеме, выдолсыпой из того же семейства (3.1) — (3.4): и, =а,=го =. 1, по =по=.по =О,э.
(зз Эта неявная схема, формально имеющая первьш порядок апнроксимации 0(т), такой же, как и рассмотренная выше чисто неявная схема. При всех тех же значениях т, которые использовались с рсшсшш 422с ',Ют„ 46Н, г, Щ' чиосрсшсньг Рис. 2.17 и в предыдущем примере, наблюдается хорошее совпадение решения разностной задачи с точным решением. 3. Оценка дисбалансного члена в неявной пеконсервативиой схеме. Оценим количественно роль дисбаланса полной зпергии в неявной схеме, использованной в первом примере.
Обратимся к точному решению для структуры фронта ударной волны (см. гл. 1, з 6). Правда, зто рептенне построено для дифференциальных уравнений, однако оно может быть использовано для проведения оценок и в рааностном случае. й34 С учетом псевдовязкости дисбаланс полной энергии (3.6) для чисто неявной схемы имеет вид 6Ю = — 0,5тдоо. (5.1) В гл. 1, з 6 показано, что дифференциальное уравнение, определяющее «вязкую» структуру фронта, имеет вид —,- = —,, !з(Ч» — Ч)(Ч вЂ” Ч). Л~( т-,-1 Кроме того, из соотношений (6.13), (6.14) гл. 1 для нашего случая следует б = О (Чс Ч) о = »»(Чо Ч).
Эти формулы позволяют вычислить дифференциальный аналог дисбаланса (5.1) на рассматриваемом автомодельпом решении типа бегущей воляы: б~ =. —.0~5тб', а = — т» (Чо Ч) (Ч вЂ” Ч ) (Ч вЂ” Ч) (5 2) (»+1)»(з' Ч =- 0,5(Ч»+ т(~). Отсюда, в частности, видно, что дисбаланс энергии возрастает на ударной волне с уменьшением коэффициента вязкости т, так как в этом случае решение становится «круче». диалогично можно получить оценку для члена работы сил давления в правой части уравнения энергии (3.7): А = — ((1 ( — 1) о(«»1)«ж т (т( — Ч)»(Ч вЂ” Ч,). (5.3) Таким образом, отношение двух членов, стоящих в правой части уравнения (3.7) и определяющих в схеме изменение полной анергии, составляет (рис. 2.18) ббг (т-'-1).О~ — = — г (Ч вЂ” Ч).
(5.4) А 4» Эта величина достигает максимального по модулю значения вблизи переднего и заднего фронтов волны пРи Ч=Ч« и т(=ЧЫ (бб ( (т+1) 1» (ч« — ч ) ч 8» (5.5) Здесь дисбалансные члены вносят наибольший относительный Рис. 2.18 вклад. При уменьшении шага сетки по времени относительное влияние фиктивных разностных источников энергии уменьшается. Выясним, при каких ограничениях на шаг сетки т неявная схема дает «пе слишком искаженное» решение. Потребуем, что- бы максимальный вклад дисбалапспого члена составлял не более 10 а/а от работы снл давления а < 0,1. (5.6) Напомшгм, что эффективная ширина фронта ударной волны в случае лпиеиной вязкости выражается формулоп ет !т й П о (ч„ — ч,) В расчетах она составляет 3 — 4 массовых интервала, т. е.
Л =)гл, где й= 3 —: 4. Учитывая это, мы получаем пз (5.6) и (5.5) нераволство / с,„) т<0,1/ — = 0,1й — ( — ! = !51йтка, ы с,„(,п! гдо тк определяется формулой (1.17), а=с /)7, с =рс — массовая скорость звука. Для задачи об ударной волне, результаты расчета которой представлены на рпс. 2.Пй й = 3 †: 4, а а ж 0,5, и полученное неравенство приобретает вид т ((0,15 —: 0,2) тл. Итак, крп выполнении условия (5.7) влияние дисбаланса энергии практически не сказыеаетсн на характере ревностного решения; когда услоепе (5.7) нарушено, использование неявной схемы с педпаергентпым уравнением энергии (3.1) — (3.4) на грубой временной сетке становится неэффективным, что подтверждают расчетьь резульгагы которых приведены выше.
:! а м е ч а и и е, !'ассмотренная нами неявная схема имеет порядок аппроксимации по времени 0(т), Погрешность аппроксимации недиаергентного уравнения энергии разностным уравненном (3.4), вычисленная формально па аатомодельном решении задачи о структуре фронта ударной полны, имеет по величине тот же порядок, что и дисбалансный член (5.2). Поэтому, если дисбаланс велик (сравним с основными членами уравнения энергия), то столь же велика и погрешность аппроксимации.
Однако и атом случае само покятио аппроксимации ужо теряет смысл. Проаналкзирояаппый пример убеждает и том, что колкостью копсераатканые схемы являются более:к(>фсктпяпымп по сравнению с прочпмк схемами на грубых сетках, когда отсутствует акпрокспиацпн разпогтпой схемой системы уракнений газодинамики. 1. Пример расчета по консервативным схемам. Обра явися теперь к семойстьу консервативных схем (3,21) — (3.24). Повторим рас я.т задачи о порп!но, описанной кьппе, по одной пз схем этого семейства, например по чисто ноявпой схеме о„=-1, й = =1, ..., 5. 1'езультат оказыпаетгя аналогичным представленному на рис. 2.17, б,— независимо от шага сетки по времени раз- 136 постное решение близко и точному, Чтобы осмыслить этот факт, проанализируем структуры дисбалансных энергетических членов в схемах (3 1) — (3.4) и (3.21) — (3.24). В семействе схем (31) — (3.4) с недивергентным уравнением энергии фиктивные источники бд', порождающие дисбаланс полной энергии, имеют бъемный характер (см.
(3,6), (3.7)). Их действие и интегральпом дисбалансе (ь12) суммируется по отдельным интервалам сетки. В семействе консервативных схем (3.21) — (3.24) дисбаланс впутрепней энергии 68 (3.26) имеет дикергентный вид. Фиктивные источники энергии з этом случае носят «поверхностный характер» — они «работак|т» лишь и граничных интервалах сетки а» и Ьх ь а внутрь области ага фиктивная энергия, порожденная дефектами раэпостной схемы, распространяется в виде сноеобразного потока. Моьцпость поверхностных источников энергии а (4.14) определяется производными по времени от сеточных функций давления и скорости в грапичн»зх узлах.
Если эти еезпчпны слабо изменяются во времени, соответствующие дисбалапсные члены малы. Именно такой и является используемая нами в качестве теста задача о поршне — к ней граничные режимы постоянны, и, следонательно, дисбаланс энергии ранен нулю, 5. Сравпе«ие консервативных и по;шостью консервативных <хем. Итак, в качестве теста для сравнения классических консервативных и полностью консервативных схем следует взять задачу с поременными во времени краевыми условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
