А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Условие «изотермичности» т(Ч,) = т, = т дозволЯет опРеДелить значение Ч.: Ч« = 2Ч« — Ч>)Ч*-»Чп 71 Поведение температуры на плоскости (Т, д) для атого случая указано на рис. т.23, б. Заметим, что описанный изотермический разрыв не подчиняется условиям Гюгонио, выведенным в 5 для среды без диссипативных продессов. В нашем случае течение в существенной степени определяется потоком тепла, ко- торый па разрыве претерпевает свау 'и ~к. Й Хара ктсрныс профили парамет- ров ио фронте сильной ударной вол- Т,, у пы по координате з па некоторый момент времени продставлопы на % рпс. 1.2эь Здесь, в отличие от слабых тр ° вол11, теплопроводпость не в состоя- нии полпостгао нразгладптьз ско- Ю рость, давлоние и удельный объем, и в структуро сохраняется скачок Ряс.
1.21 этих волнчнп. Температура при этом попргрьвна, правда, оо производные терпят разрыв. Передний фронт волны (на рис. 1.24 волна движется в положительном направлонии оси х) находится в бссконечости, однако задний фронт (разрыв) расположен в конечной точке. Итак, в отлично от вязкости, тсплопровопяость сохраняет разрывы плотности, скорости, давления п т.
д. в структуро фронта сильной ударной волны, $7. Задача о поршне 1. Постановка задачи. Классическая задача о поршне в одноморпом плоском случае формулируется так. Однородный покоящийся газ занимает полупрострапство, ограниченное слова плоскостью — поршнем (рис. 1.25). В пачальпьш' момент времени 1 =. = 0 поршень под дсйстнпом покоторых внешних спл начинает двигаться со скоростью, закон изх1о- ~ ц нспия которой во вромени П= д ь и =-~ = ('(1) задан.
Злак П(1) можот ф быль любыи в зависимости от того, вдвигается поршень в гаэ илп выдвигается пэ шсго, Й газо начпааотся движение в виде волны. фронт которой рагпрострапяетгя от 1юрп1пя, захватывая зовьа частицы среды. Исследование возникающего газодпнамичоского течепш1 и составляет существо задачи о поршне. Особенно просто ршпепие задачи о поршне выглядит н том случае, когда скорость поршня по всо моменты врсмони 1) О постоянна. При этом, как следует иэ общей теории размерности, 72 Рвс 1.25 (7.5) с = угу —. Р' Уравнение (7.2) приобретает следующий вид ди эдр — + сэ — = О. Ш д» (7.2') 2.
Автомодельное решение. Будем искать автомодельное решение поставленной задачи, т. е. такое решение, и которое независимые переменные г и > пходят пе произвольным образом, з лп>пь в комбинации а-г>с, 7(з >)=1(ь), (7.6) в — зптомодельпая переменная, 7 — любая из функций р, Р, и. Вь>раэп и производные дг' $ ну >2>' > Ф д> > >»' с» г Ы-",' заменим дифференциальные уравнения (7.>), (7.2) системой обыкновенных уравпвппй (система иавтомодольных уравнений») дл — — '- Р» — = О. св ' д$ д» ~$ (7.7) ») Совершенно аналогична решение строится и в переменных Эйлера.
73 вадача допускает автомодельное решение (87). Этот случай мы и рассмотрим ниже. Газ будем считать идеальным, влиянием диссипативных процессов пренебрежем. Сформулируем математическую постановку задачи. Систему уравнений запишем в лагран>кевых массовых координатах в): +р — О, (7Л) (7.2) р/рт = сопз1.
(7.3) Начальные данные однородны: р(д, 0)=рв, р(д, 0)=ро, п(г, 0)=по=О. (7.4) Заметим, что урвнвенне (7.3) выражает пэоэптропичпвсть процесса. Переход от адиабатичности к изознтропичности здесь оправдан благодаря тому, что начальные данные однородны. Задача решается в области г) О, г) О. Мы полагаем, что частицы газа с координатой г = 0 все время прилегают к поршню и имеют ту >ке скорость. Поэтому краевое условие имеет вид п(0, т)= П, где скорость поршня Н = сопзФ задана. С помощью приема, который уже использовался в з 4, преобразуем производную от давления, входящую в (7.2): Краевое условие (7.5) при 1)0 в автомодельных переменных примет вид п(0) = П, (7.о) т. е, Ц = ~ср. Из (7.6) следует, что ь ) О, так ьзк зеличипы з и Ф по физическому смыслу положительны.
Позтому из двух воз- можностей выбираем: $=ср. (7.9) Уравнения (7.7) при этом становятся зависимыми, и оба приводятся к виду лр с — — р — = О. зг, з4 (7.10) Скорость звука с является функцией одной лишь плотности р. Так как все частицы газа в начальный момент времени имели параметры рз, рз, то уравноние (7.3) может быть записано как р/рт = р«/ро. Выражая отсюда р через р и подставляя результат в формулу для скорости звука, имеем ~(ч — и и (7 11) гдо са = Ч7ро!ро — скорость звука нз фоне. Подставим (7.11) в (7.10) и проинтегрируем полученное уравнение от некоторой точки Со. и которой, кзк мы предполагаем, происходит пепрерывпзл «стыковка« рассматриваемого нетривиального решония с тривиальным решеппсп — фопом: р(сз)= = ра, с($з) = со, и(сз)= О.
Имоом Послоднюю формулу с учетом (7.11) можно переписать следующим образом п — 2с/(7 — 1) = 2со/(7 — 1) = сопз«. (7.12) 74 так как поршню соответствует автомодельная координата $=0. Отметим прежде всего, что уравнения (7.7) допускают тривиаль'ные решения, где все функции постоянны. В частности, таким решением является «фонас р=рз, о=и«=0. Очевидно однако, что непрерывное решение задачи о поршне (а мы ищем именно непрерывное решение) не может быть целиком построено из тривиальных участков, где все парамотры постоянны.
Гешение должно содержать области, в которых параметры газа изменяются. Для того чтобы однородная система уравнений (7.7) имела нетривиальное решение, ее определитель должен равняться нулю: сг — с«рз= О, (7 14) (7 15) гр р Левее точки 6о постРоим и сос отвегстопи с формулами (?.13) к (7.15) иетряииольиоо аотомодсльиое реп~екпс р(с) и в(6), ! иопрерышш примыкающее к фону.
Однако этк формулы нользи исиошьзовать оо осев интерполе (О,,";о). ДейстнительПнс, 126 но, из (7.15) слсдуот, что п(0)=-2со?(7 — 1), а это в обгцом случае ке согласуется с граничпым условием (7.8). Поэтому решение (7.13), (7.15) имеет смысл рассматривать лишь до точки ~и где о($~) = — По, (7.16) Левая часть (7 12) есть инвариант Римана г (см. (4.35)), вычисленный для идеального газа. Равенство (7 12) устанавливает, что во всем вашем непрерывном решении (если оно существует) инвариант Римана т- постоянен.
Отметим, что подобные газодинамические непрерывные изознтропические течения, в которых один из инзариантов Римана постоянен, носят название волн Ризоана или простых волн. Итак, нетривиальное решение, которое мы ищем, является простой волной. Подставим (7.11) в (7.9) и заметим, что зо=соро Это позволяет получить явную зависимость плотности в автомодельноМ решении от переменной 6: р($) = ро($~ьо) (7.13) Остальные функции выраокаются без труда: с(6) = софа)<т — иково, Нетривиальное автомодельиое решение получено.
3. Решение задачи о поршне, выдвигаемом из газа. Будем строить решение задачи о поршне, комбинируя зто нетривиальное решение с тривиальными постоянпыми течениями. Рассмотрим сначала случай, когда скорость поршня отрицательна (поршень выдвигается из газа): Г= — По, По=" О. Диапазон изменения автомодельной переменной таков: 0( (й(, причем в точке 6= 0 заходится поршень. Точка 6о соответствует фронту волны, распространяющейся от поршня. о о о А,от Поэтому правее $о решение тривиальиое — незозмущепшзй фоп (рис. 1.26); Я р($) = ро, з(6) = ео = О, й ~ Ко .Н и далее (для 0($~ $~) непрерывным образом продолжить его тривиальным решением: п=в~ = — (7о, р = р~ =р(Ь). Значение координаты $~ определяется из формулы (7.15) после подстановки в яее п(ф~)= — Уо: т- «уг <т+г!ят-г) ьг= яа 1 — 2 Значение р~ дает соотношение (7.13): Решение задачи о поршне в автомодельном виде построено.
Чтобы получить теперь распределение скорости газа, его плотности и прочих функций ко массовой переменной л в некоторый 77 77' Гяс. П27 фиксированный момшп промоин Г ) О, нужно «растянуть» профили зтих параметроп пД), р($) (рис, 1.20) в паправ»яппи координаты $ в 1 раз. В самом деле, согласно (7.6), я= ца 3 ятом и проявляется свойство автомодолглюсти решения,— поменяясь со временем, оно тем не менее сохраняет основные качественные черты, остается «самоподобным»*). Зависимость плотности от «) Это слово является буяв»льным перевозом топмвпа .е!7я!тп7!яг7«у, распрострозсяпого в ам»рязанской литер»туро в явля»7п7огосн о7!пввалонтам попятвя «овгомодельяый».
массовой координаты ва два момента времени 1~ и г«приведена ва рис. 1.27,а. Здесь же дана соответствующая картинка ва фазовой плоскости (г, »). Физический смысл величины з — мествал скорость звука (массовая) (см. (7.9))1 в частности, $«=серов массовая скорость звука ва фоне, Э~ = с~р~ — в газе, примыкающем к поршню. Поэтому оба фронта волны — передний (точка А ва рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
