А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Имея формулу (4.37), нельзя, однако, утверждать, что состояние газа в точке Р целиком определяется заданном начального состояния при ! = 0 липть в двух точках Л и В. Дело в том, что Р есть точка пересечения двух характеристик, которые, как отмечалось вылив, зависят от решения и зарапес и<известны. Ход характеристики, т, е, ее наклон в каждой точке (например, наклоп характеристики ВВ' в точке Р) определяется состоянием газа в этой точке (см, (4.26)). В свою очередь состояние газа определяется значением инвариантов Римана г+ и г, приноси- мых в эту точку соответственно из точек М и В. В конечном счете положение точки Р на плоскости (г, 1) к значение параметров среды в ней определяются начальными условиямя на отрезке АВ и не зависят от состояния газа вне этого отрезка.
В этом смысле отрезок АВ называется областью зависимости точки Р. Заштрихованный на рис. 1А1 «криволинейный угол» есть область влияния точки М, т. е. та зона, где решение зависит от состояния газа в точке М (во яе определяется пм полностью). й 5. Разрывные решении 1. Соотношения на разрыве. В з 3. переходя от интегральных уравнений газодинамики к более простым дифференциальным уравнениям, мы отмечали, что при этом класс допустимых решений сужается — из рассмотрения выпадают разрывные решения. Поэтому, приступая к авалиау решений с разрывами, играющих важную роль в приложениях, мы должны вновь обратиться к уравнениям газовой динамики в интегральной форме.
Предположим. что течение среды, в котором ее параметры терпят разрыв, является одномерным и плоским. При этом поверхность разрыва, т. е. поверхность, где характеристики изменяют свое значение скачком, есть плоскость, перемещающаяся в пространстве с некоторой скоростью ~х)(1). Для описания такого течения мы можем ясвользовать интегральные уравнения (2.7) — (2.9).
Если опустить члены, соответствующие внешним силам, источникам энергии и тепловым потокам, эти уравнения имеют впд Рр~г. — р В=1 ( ро сРх — (Р б ри«) Й = 0 (5.1) ~ 1 (е + —,) Рс — р ( + —, - ' — ) б1 = 9, где интегрярование ведется по некоторому контуру, свойства которого обсуждались в З 2. Заметим, что э (5.1) направление скорости газа о нормально к плоскости разрыва.
Выберем п качестве контура С контур АВВ'А' (рис. 1.15). Линия РР' есть траектория разрыва х(8), поэтому вдоль яее Охи = Ы(~). Значения параметров среды, вычисленные справа и слева от разрыва, снабдим соответственно индексами О и л. Наша цель получить соотношения, связывающие эти значения. Для этого, записав уравнения (5 1) для контура С, будем неограниченно сближать боковые стороны криволинейного четырехугольника АВВ'А' так, чтобы они оставались по разные стороны от линии раарыва к(1). йб Интегралы по верхнему и нижнему основаниям ВВ' и ЛЛ' при зтом стремятся к нулю, так что, например, первое из уравнений (5 1) переходит в пределе в соотношение в вР ~ (Р,их — Р1и1Й) + ~(Роих Роно иг) = О.
(5.2) 'Р Учитывая, что вдоль линии разрыва РР' с(х = Я сй, перепишем (5.2): 1о ь — 1(Р,-'6 — Р,,) 31+ ~(1 оФ вЂ” Рс о) 31 = О. ог и Отсюда в силу произвольности 1~ и 1о следует Р~ (и1 — Я) = Ро(ио — 2~) (5.3) Поступая аналогично с остальными уравнениями (5.1), получим также Р,(и~ — йр) +Р~ =Рс(ио — -'Ю)о+до, (5.5) (, — ~)о~ Р,(и, — Я) е, + — '+ 1 = Р„(и — Ю) ( г + †" + " ,, ). (5.5) (со — са ) '-' Ро Уравнения (5.3) — (5.5) представляют собой общую форму соотношений, связывающих параметры по обе стороны от поверхности газодннампчсского разрыва и скорость ее Р распространения.
Эти соотношения, называемые соотношениями Гюгоиио, р~ выражают законы сохранения потоков массы, импульса и энергии через ио- И верх вость разрыва. Пасто соотношения Гюгонио записывают в системе координат, движущейся вместе с разрывом со скоростью 1с). В атом случае все скорости преобразу- я ются согласно формуле Рвс. 135 и=-и — Ы (б,б) и тогда расепш иа (5.3) — (5.5) приобретают следующий впд: Р,и, = Раис, (5.3') Р1и 1 + Р1 = Роно : Ро 2 2 (о. о ) г т 2 ') 57 (5.7) и< = О называются контактна<э<и. Соотношепие (5.7) означает„что через поверхность такого разрыва отсутствует поток вещества. Твк как по физическому смыслу р< н ра не раины пул<е, равенство (5.7) моя<ет быть выполнено лишь прн и< = «а=О, а это, согласно (5.6), дает е< = па =Ы. Линия контактного разрыва на фазояой плоскости совпадает с траекторией частицы. Таким образом, коцтактнь<й разрыв есть образованно, пе перемеща<ощееся по массе, связанное во все время процесса с одпямп и теми н е частицами среды н двпжугцееся вместе с ними.
Именно п<ютому контактные разрывь< удобно рассматривать в лаграпя<ееыг массовых координатах (разумеется, еслк течение одномерно). В этом случае пе нужно нести наблюдение за перемегценпями разрыва,— его массовая координата остается неизменной.
В силу (5.7) перво< и последн<е пэ сеетпоп<опий Г<огонио выполняютсн автоматически, а оставшееся соотношение (5.4') дает Р< = Ра. (5.8) Итак, па поверхности контактного разрыва должны быть непрерывны нормальная составля<о<цап скорости газа и давление. Остальные функцнк, напрнмер т<л<пература и плотпогт<ч изменяют<я< скачком. Отметпм, что если в газодппамич<ском течеппи присутствуют различные гре;па, отлича<ощн<он уравпенинми состонипя. то границы их раздела являютгя контактными разрывами.
3. Ударнь<е волны. Ддиабата Гяиопно. Обратимсн теперь к разрыл<ам с я< ~ О, которые ногят паэввпне удерпь<х ае.п<. Вопрег, о знаке т здесь суп<ествеппо« роли не играет,— этот знак указывает, лпшь в каку<о сторону направлен поток массы через разрыв. Перепишем соотпошення Гюгонно для ударной волны. сократив в уравнении (5.5') обо части па <п.-.= р,«< =раианвведнудобпую д.п< проведенпя дальнейших вьц<задок функцн<о ц = 1(р: Ч а (5.9) ч, и< ' а„!< 2 = Р< Ра. (5.10) ч, "а <а = а + Ра "<а Р<<)< ° (5.11) 2. Контактный разрыв.
Величина нг раис ° р<и< представляет собой поток массы вегцества через разрыв. В зависимости от величины этого потока разрывы в газовой динамике делятся на две группы. Разрывы с Из соотношения (5.9) выразим и~ и исключим эту вечичину из (510). Получим ио = Чо(рт — Ро)!(Ч, — Ч1). (5.12) Аналогично и, = т), (Рт — Р,)/(т)о — т),). (5.13) Комбинации ~толученных формул дает возможность выразить скачок кинетической знергии единицы массы газа на разрыве: — (ио — ит) — ' з " ' — з (Рт — Ро)(Чт+ Чо).
з(Ч, — Ч,) В свою очередь эта формула и сочетании с (5.11) позволяет запит:ать соотношение гт(рт Ч~) то(ро Чо) = ~ (Р~ Ро)(Чо Ч~) (5 11) которое называют уравпеииги идитттупты Гю, иио. Ото гриши иие связывает параметры тгрмодипаиичест;ого состояипя газа (даилсштс и удельньш объем) ио оое стороны от разрыва, Если ударная волна распространяется по газу с заданным состояиш м (параметры ро и Чо известны), то, чтобы сир<и<лить состояние газа за фронтом волны, необходимо, согласно (5.14). задать вив ниии одного из паРаметРов Р~ или Чо 4.
Ударттые волны в идеальттои газе. До сих пор мы анализировали свойства газодинамических разрывов в общем случае, ие делая никаких конкретных предположение относитглы1о ураннеиий состояния. Далее мы продолжим рассмотрсиие удариых волн для идеального газа. Подставляя выражоити. для и~утренней знергни идеального газа е = РЧ/( т — 1) в (5.14). можно преобразовать уравнение адиабаты Гюгопио к одному из видов (т + 1) ч — (т — 1) Ч, (т + 1) Ч, — (т — 1) Ч, (5.15) либо И1 (т + 1) Ро + (т 1] р, (5.16) Чо (7+ 1) Рт + (7 — 1) Р 59 Для дальнейшего нам потребуются формулы для сравнения относительной скорости газа и (скорогти газа относительно гвстсмы координат, связанной г фраатом ударной волига) и скорости звука с.
Напомним, что для пдеа:и ного газа с. = "(ттт1 (см. (4.8)). Воспользуемся равенством (5.1") п вычислим отпотти иие квадратои отпх гтторостсй для иачальиых зиачоиий иарвмотрои, т. е., как говорят, на «фоне» перед фронтом ударной волны: Чо(Р~ Ро) Р~ Ро тл,ч,(Ч, — Ч,) тг„(1 — й Ч,) ' Отношение удельных объемов, стоящее в анаменателе, исключим с помощью (5 16) и после преобразований получим — = — (~(7 — 1) +(у+ 1) — 1~ ° "о 1 «, ) 2 'о (5.17) Точно так же выводится и равенство — = — ~(у — 1)+ (у+ 1) — ~. 1~ «,1 с» 2т~ (5 18) (5.19) гп/чо =(7-1)/(7+1). Физически зто означает, что в ударной газ больше чем в (7+1)/(7 — 1) раз. Для 7 =5/3 зта величина равна четырем, для = 7/5 — шести. волне нельзя сжать одноатомного газа с двухатомного с 7= Имея набор формул (5.12) — (5.18), приступим к описанию свойств ударных волн в идеальном гаае.
Интенсивность ударной волны определяется ее А- =. а»шлнтудой, т. е. величн- Р ной скачка, который пре- ~ — за= терпеаают параметры газа при переходе череа фронт волны. Будем считать, что ! начальное состояние газа =АЮ>с7=— задано параметрами «о, Чо. в«НН Тогда графическое изображение адиабаты Гюгонио (5.15) на плоскости тер— модинамических состоярнс. 1.16) есть геометрическое место точек, в кор-~ ~у~й 6 ~: ~~, '; « ' торые можно перевести ,» т о .~ 1~~~'1~н~т7 'Ф((, ~ ~ газ из исходного состояния ~( «о, йо, «пуская» по нему ударную волну. Задавая ~1'~~ значение удельного объеРвс.
1лс ма «)~ за фронтом ударной волны (тем самым задается интенсивность ударной волны «1« — тп), мы по адиабате Гюгонио сразу ииреиевнем величину давлении «~ за волной, и затем значение любого параметра газа. Адиабата Я на плоскости р, «1 имеет горизонтальную и вертикальную асимвтоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
