А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Действительно, как следует из (5,15), нри гп/Чо — отношение давлений стремится к значению р~/ро— — (7 — 1)/(7+1). диалогично из (5,16) при р~/«о - » вытекает, что отношение удельных объемов стремится к коночной величине Остановимся на предельном случае рт/ра- 1. В соответствии с (5А6) т)т/т)о- 1, и, следовательно, состояние газа за фронтом такой волны мало отличается от исходного: ра, т)а, В частности, со — ст и формулы (5А7) и (5.18) для этого случая датот ио/со — т- 1, ит/с, — т- 1. Таким образом, ударная волна бесконечно малой интенсивности (т)а — т)т - 0) распространяется относительно газа со скоростью звука, т. е, фактически выронтдается е звуковое возмущение, правда, в отличие от $ 4, разрывного характера, Физически этот результат достаточно очевиден.
Разобранному предельному случаю на рис. 1,16 соответствует точка О. 5. Теорема Цемплепа. Адиабата Гюсонио М состоит из двух ветзей: ОА при т) ~т)а и ОА' при тлеет)а. Знаки приращений Лр = рт — ра и Лт) = т)~ — т)а вдоль адтлабаты протвоположны. По- атому формально ветвь ОА отвечает ударным волнам повышения давления (Лр~О) и сжатия (Лт~(0, Лр)0), а ветвь ОА'— ударным волнам понинтения давлеппя (Лр ( 0) я раширенкя (Лт) ) О, Лр ( 0) .
Для ударных волн сжатия (р~)ро ) 1), согласно (5А7) и (5.18), имеем из/с, ) 1, и,/с, ( 1, т. е. фронт такой ударной волны распространяется относительно фона со сэерхзэуковой скоростью, а относительно газа за волной — с дозвуковой. Для ударных волн разрежения имеют место обратные нера- венства ио/со ( 1, ит/ст ) 1. Выясним, как обстоит дело с яэмскекттам энтропия в ударных волнах. Приращение энтропии при дтктжекки кдоль адиабаты Гюгонпо можно было бы вычислить непосредственно ко формуле (3.41). Однако мы коспольэусмся несколько кпымк соображениями.
Проведем на плоскости (р, т)) чтрсэ точку (ро. т~о) лпкнв, вдоль которой энтропия остзттся пекэмоккой и разной Яо, т. е. значению и точке (ро, т)о). Такая лкккя каэьктзстск адиабатой Пуассотта; ее уракпепис з соответствии с (ЗАЛО) сеть Ртт)т = Рот)о (линия У на рис. 1.16). Ацкзбата Пуассона — это геометрическое место точек на плоскости (р, тт), в которые можно перексстп газ пз начального состоянэк ро, т)о адиабатическим путем без измспенпя энтропии. Итак, л ль тл; ЛЯ вЂ” Ят — Яа.—.О; выше,У (область, покрытая горпзоктэльной штриховкой) ЛЯ)0; под адиабатой (вертикальная штркхоека) ЛЯ ( О.
Вззк ткое расположеяие адиабаты Гюгонпо и адпабзты Пуассона так тко, что при т)т ( т)о адиабата Пуассояа проходят киже Ьт адиабаты Гютонио. В этом нетрудно убедиться следующим обрааом: из (5.20) видно, что для адиабаты Пуассона при рч— -О, в то время как адиабата Гюгонио целиком располо- 7 — 1 жена пРавое асч~мнтоты Чч — Ча)0. ПоэтомУ длЯ ветви ОА 7+1 адиабаты Гюгонио ЛЯ) О, т. е.
в ударных волнах сжатия энтропия газа возрастает по сравнению со значением на фоне. Кривые й и йе в точке О имеют касание второго порядка. Ветвь адиабаты Гюгонио ОА' при Чч Ча расположена под адиабатой Пуассона, понтону для ударных волн разрежения внтропия убывает. Однако такое ааключение находится в противорочии со вторым началом термодинамики: чу~О.
Поэтому ударные волны разрежения, формально содержащиеся в соотношениях Гчогонио, существовать не могут. Такой вывод мы сделали для идеального газа, однако он справедлив и в общем случае при сравиитсльи ч слабых ограничениях на вид уравнений состояния и носит название теоремы Цемп.чена. 6. Приблиекение «сильной волпыв.
Выше мы уже выделяли случай ударной волны сячатия предельной амплитуды: Р~ Чч Чее (5.21) Ра тт1 :1гот слу»вй носит название приближения «сильной волные и реализуется тогда, когда давлением иа фоне можно пренебречь ч~о сравччению с давлением за удар»ой волной. Например, это можио сделать для ударной волны, р»сиросграивчощейсв ио холодному фи»у с ра О. Получим длчч этого случ»я я»иые формулы, выра»чающие значения параметров газа за фронтом волны ч»рч и парам»чры нв фове и скорость волны. Подставим вторую из формул (5.21) в (5.0). Учитывая определение скорости и= --и — Ю, а также предччолагая, что газ, по которому движется р»ссматриваомая нами ударник воичш, иокоитсп (иа = 0), получим ье 2 7) 1 1(вплч ччччч р~ за фронтом выразим ив (5.10)". з гее рч= е ! 7 т1ч„е » тсмивратуру — из уравнений состояния: Подытожим результаты.
Если по идеальному покоящемуся (ив = = 0) холодному (ра О, Та = О) газу, плотность которого ре, движется ударная волна со скоростью Ы, то за ее фронтом гаэ принимает следующие значения параметров: о яо Р<= о "о Т 2<у — !) Ю' !ут!) я т+! Р<, Ро (5.22) г = —.Б, 2 я 1 т;! В более общем случае прп р яЯ О формулы несколько усложняются. Опуская выкладки, яр~ведем лишь результаты, следующие в этом случае пз соотношений Г<огояпо: я„<)-, Ч< ')о 7 ! ! т-)-! вэо 7,— ! Чо т-. ! (5.23) Т = —. Р<!! 5 б.
Структура фронта ударной волны 1. Постановка задачи. Б предыдущих параграфах, япялязируя разрывные решения, мы рассматрпяаля уравнения газовой динамики без учета диссипативных процессов. Однако пялнчие днссипации (вязкости, теплопроводпости и т, п.) присущо всем реальным газодинамическим яял< пням. 11аябо:п*е заметно она проявляется в тех зовах течений, где параметры газа испытывают резкие изменения по пространственной координате. Именно танко условия осуществляются, например, яо фронте ударной волны. Известно, что диссппатияпые процессы приводят к пгадиабатичпости течения, к тгриодццаиичегкя необратимому преярящщппо зпоргия в ег пязщую форму — тепло. Дяггяцац<п< яяляетгл при !иной уяеличщщя эятр<щпп яо фронте ударной волны.
Тапио< оорязом, рягсмотрщи<ыо вы<по рязрыяяыг Рея<гния явля<отея сяо<но Родя пдгалязяцягй для гязя г пг цгзяящ<г малыми коз<)я(пи<кентах<я тгцлопроводцогтп, яя;пинто я т. д. Строгий анализ этих р<шений должен проводиться г учетом диггипатящ<ых факторов. Пря этом ям< гто разрыва яозяяяяот <ц которая узкая переходная область, в которой параметры газа изменя<отея ужг непрерывно. Рассмотрим структуру фронта ударной волны в газе, облада<ощем вязкостью и теплопроводностью.
Что касается процессов тевлопроводности, то они были приняты во внимание при вывод< уравнений газодинамики (3.25). Вязкость я этих уравнениях учтена не была. Не вдаваясь в подробности, мы укажем лишь, что наличие в среде вязкости приводит к дополнительному негазодинамическому переносу импульса и энергии. Математически в простейшем одномерном случае это можно выразить посредством 63 некоторой «добавки» а» («вязкого давления») к газодинамическому давлению р, имеющей вид «» — и ди/дк, (6Л) где т — коэффициент вязкости. Мы буден анализировать структуру плоской ударной волны, считая течеиис газа одномерным.
Соответствующая система уравнений в лагранжевых массовых координатах выглядит следующим образом «): ли дл л«л«' ( о»1 д а»у 2~ д» д»' -„'-( + — 1= — — (") — —. (6.2) (6.3) (6.4) Здесь д — сумма газокинетического и «вязкого» давлений: =р+ о». С учетом (3.23) перепишем (6Л): со = — тр до/дл. (6.5) Поток тепла имеет вид И' = — кр дт/дл. (6.6) Такая ндеалиэованная постановка аадачи в бесконечной области — Сл<+ связана, с одной стороны, с тем, что аараиее ширина фронта неизвестна, и, с другой стороны, с желанием отвлочься от конкретного вида краевых условий в реа и,оыт вадачах. Профиль изменения параметров гава в волне также читаем установившимся; он распространяется по массе с постоянной «) Анализ структуры фронта ударной волны можно вести в о и«ременных эйлера; конечные розультаты, еотестаевво, от »того и с~исяятся. Коэффициенты т вязкости и к топлопроводности для простоты положим постоянными, хотя реально зто некоторые функции «ермодипампчсского состояния газа.
Кроме того, газ будем считать идеальным. Пусть ударная волна движется с постоянной скоростью г«» по газу с известными параметрами рм ро, ио — «фону», кот Пый простирается в положительном направлении оси «до + . Г 1 гтвонно считать этот газ покоящимся: и»=О. Пусть также ~ стояние газа, возникающее эа фронтом волны и пока неиээе< т и: ~ . нростираетсв по л до — . Положим при этом, что на «об . о.оконечностях» режимы установились, т. е. параметры газа приняли соответствующие значения и производные по пространству от любой величины ) равны нулю: (д~/дл)««О.
скоростью Р. Массовая скорость волны Р связана с эйлеровой скоростью распространения волны Ж соотношением Р =(Я вЂ” о)р. (6.8) д/дг = <(Щ д<<дг = — Р4<(чв и тем самым свести систему уравнений в частных производных (6.2) — (6.4) к система «быкнонопных дифференциальных уран- пений: бч оп би Ыг — — — — — — с =р+<а, б".- Нь ' аз ы- (6.10) Р—. (» + —,, ) = — „(до + И'), бп о) =— ч и.;' Равенство (6.7), играющее роль граничных условий, преобразуется к виду Я(, =о.
(6.11) В частности, тепловой поток Во и вязкое данление <оо на фоне при в=+ в силу (6.11) обраща<отел н нуль: о<а = О, В'а = О. (6.12) Проинтегрируем уравнения (6.10) по й от фона 6 =+» до не- которого текущего значения: — Р(Ч вЂ” Чо) = у, Ро =б — ро, Р(е — со+ о'<'2) = до+ И'. Здесь учтены условия (6.12), а таил<о то оостолтсльство, что газ на фоне покоится (но=О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
