А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(3.44) Эта система аиалогичпа соответствующей системе из $1 (см. уравнения (1.7) — (1.9)) и может быть получена из общих интегральных уравпепий газовой динамики в форме Даграпжа. Коптур, по которому здесь ведетсл иптегрировапие, лежит в плоско- 46 Конкретное значение температуры определяется впептпими телами, с которыми взаимодействует рассматриваемый газ. Уравнение состояния длл идеального газа е пзотермическом случае приобретает вид линейкой связи между давлением и плотностью: р =.!р, Л =сопзз лэп р(р Сраэпкзая последнее ранелстэо с (3.40), можно чакэк1чкть, что некоторые результаты длл изотермическпх течений пдеальпого газа могут быть формально получены иэ соотпетстеующпх формул для здпаоатпческого случая, если к кпч подставить 7 = 1.
При этом, как следует из уравнений состояния, теплосмкость идеального газа становится бесконечной, что и обеспечивает пеизмеппость температуры. Итак, мы получили несколько аидов записи урзэ1п ппя энергии для гзэодппампч~скпх течеппй. Мы убсдпсптсгч что есе спи для гладких рюпоппй экзпеалептпы в том смысле, что посредством раппоспэьпых преобразовапкй сводятся друг к другу. Поэтому прп постапоэ1п и рсьчеппп задач молок поэызоезтьсп любым пэ этпч индов. В то жо время фпэпч ююя суть различных формулировок одного и того же ураекенпл может быть неодинакова — каждая Формулировка отражает определенную физическую закопомерпость процесса.
',). Интегральные уравпопия в эагранжовых массовых переменкых. Заключая этот параграф, приведем без вывода систему уравш ппй газовой динамики в пптетральной форме длл одномерного пестэциопарпого случая в лаграп>кезых массовых переменных: сти (г, 1); требовании к нему апалогнчиы соогвегству<ощпм требованиям из 4 Система (3.42) — (3.44) потребуется пам прп построении разностпых схем.
й 4. Гиг<орбо«им<ость системы одномерных нестациопарпых уравнепий газовой динамики 1. Акустическое приближение. Уравиеппя газовой дипамики являются пелппейнымп (квазилинейпымп) и это обстоятельство порождает основпые трудности при их исследовании и решении копкретньж задач. До спх пор и достаточпо общем случае длл уравнепий газодинамики не доказапь< утверждения о сущестиовапии решеипя и его единственности. Поэтому ирп изучении свойств этих уравнеиий часто обрип<а<отея к различным упрощенным частным случаям, выясняя па пх примере качественные закономерности газодинамических течений.
Паирпмср, таким и<кроко распространенным частшы< случа< м является олусгпчсское лриблизсенле. П акустике рассзшгрииаи<г< я <к люми» движении газы, т. е, такио дипжонии, когда нос периметры гозо чало отклопяются от некоторых исходпыт зиичеипп.,')то позволяет липеари. воиать общую систему уравиеиий, что сущ<стиепио упрощает задачу, рассмотрим неограниченное ирострапство, заполяеипое покоящимся однородным газом. Начальпыи значения его парамотрои обозпачим через Ро, ро, по =О.
Б газ вносится малое возмущение. Задача состоит в изучении далып йшой судьбь< этого возмущепия. Естествеппо он<идатгк что возмущение, малое и начальный момепт, остапется малым во все мои< пты времеви. Зто означает, что решение моя<но искать в виде »<алого отклонепия от начального состояпия: Р=ро+Р, Р=Р»+Р, (4< 1) причем условие малости выражает< я перавепствами )р(Ро( «1, )р/ро! «1. (4.2) Неравенства, аналогичные (4.2), предполагаются выиолнппяими по только для самих фупкций, по и для их пропзводпьж.
Анализ акустического приблия<епия можпо проводить как в вйлеровых, так и в лаграпжеиых перемеппых. Мь< восиользуомся массовыми перемеипыми Лаграп<ка н ограпичимся одномерным плоским случаем,— основные качестиеппые закоиомерпости акустики отчетливо просматриваются и па этом простом примере. Напомпим также, что мы рассматриваем среду без диссипации— вязкость и теплопроводность отсутствуют. Подставим (4.1) в уравпепия (3.25') и препебрежем членами второго порядка малости. Уравпение неразрывпости др, ди +Р =О дг д» с учетом того, что скорость и = р является малой первого порядка, дает (4.3) рассматривая далее давление как фупкцию двух термодипамических параметров (плотпости и зптропии) р=р(р, у), запишем следующее соотношение где с'=(др/др)О.
Как припято в термодипамике, пижпий индекс Я или р у производной показывает, что при ее вычислепии эптропия или соответствеиио плотпость предполагаются постояппыми. Второй член справа опушек, так как движение газа в акустике адиабатичпо, и в качестве уравнения энергии можно использовать форму (3.38), которая гласит: дЯ/дг= О. Перепишем с учетом этого (4.3) др 22 дд — = — со д» О О д»' (4.4) Здесь ипдексом «О», как и всюду в этом параграфе, помечены параметры, вычислеппые для пачальпого фопа, по которому распространяются малые возмущения.
Липсаризация уравпспия движения в (3.25') дает др/д/ = — др/дх. (4.5) Уразпснпя (4.4), (4.5) п образуют систему уравнений акустшпп исключая из псе одну из песззсстпых функций, например с, полу шм для онясанпя ноэмущснпя цавлсяпя прастешпее уравнепш гиперболического типа — ураепепие колебапий струпы — =(со )2 —.
д р,д р я2 ОО д 2' (4.6) 48 Остальные фупкция (плотпость, скорость и т. д.) также удовлетворяют аналогичному уравпепию. 2, Скорость звука. Роп2епие уравнения (4.6) ищется в виде Р(О, Г) = / (Π— СОР»г)+ /2(О+ С»РОГ) (4.7) в соответствии с методом распространяющихся нолп. Вид функций /~ и /2 определяется формой пачальпых возмущепий. Физический смысл решения (4.7) таков: малые возмущеппя распрострапяются без искажепия вправо и влево по пространству со скоростью с»р» (бегущие волпы) . В газовой дипамике по определепию скорость распространения малых возмущепий пазывается скоростью звука. Так как мы используем лаграижевы массовые координаты, то скорость а =с»РО является «массовой скоростью звука», т.
е. скоростью распространения малого возмущения по массе от частицы к частице. При использовании эйлеровых координат, т. е. в обычном физическом пространстве роль скорости звука играет величина со. Для адиабатического течения идеального газа эту величину нетрудно вычислить. Достаточно воспользоваться полученным для этого случая в предыдущем параграфе соотношением (3.40): р/рт = ро/рто = сонат. Отсюда вытекает с = У (др/др) в = У бр/р = У ~ЯТ. (4.8) Все полученные результаты оказывавотся справедливыми и для пзотермичеокого случая, который рассматривалсн в ьопце з 3, достаточно лишь всюду положить 7 = 1.
При этом, в отличие от адиабатической скорости звука (4.8), величину с, = ур/р = уЛТ (4.9) г = -ьсорог+ сопят (4.10) па плоскости (то!), вдоль которых распространяются возмущения. пазыпаютсл характеристиками (рис. 1.13). При распространении плоской звуковой волны частицы газа остаютсл пеподзивкпыми до тех пор, пока пришедшее возмущение пе вовлечет их в движение. После того как возмущепие прошло, часпща останавливается.
Направление смещения частиц можно вычислить из (4.7), (4.5). Так, длл возмущения, распространяющегося вправо, имеем со е= — р и (4.11) Иными словами, в волне сжатия частицы смещаютсн в направлении распространения волны; в волне разрежения — в противоположную сторону. Аналогичный факт имеет место и для «левой» волны. Из (411) следует также оценка малости для скорости: (о/со! = (р/ро! «1, т. е. акустическое приближение применимо, если возмущение скорости частиц мало по сравнению со скоростью звука в газе. 3. Справочные данные. Как было показано в предыдущем параграфе, уравнения газодинамики в частном случае акустического 4 а. л.
свпаэоппа, ю. и. попав 49 называют азотермпческоб скоростью звука. Иэ формулы (4.7) следует, что по крайней мере для плоского случая, который мы рассматринаем, эозмущенил по амплитуде со временем пе нарастают. Это оправдывает сделанное выше предположение о малости решения зо все моменты времени, если только начальное возмущение было мало.
Прлмые приближения име1от гиперболический тип. Выясним, как обстоит дело в более общем случае. Напомним предварительно некоторые определения для систем квааилинейных уравнений первого порядка: аа ди — -1- .4 — = Ь, а~ ' ае (4 12) где п(х, т) =(и~(х, е), ..., и„(х, 1)1 — неизвестная вектор-функция, образованная л искомыми функциями, А = (а„(х, 1, и) ), 0елестл Еегллатеюаге тееесие еглестм „";и.! А е4 е-Ь бее еллеелл' М-ееАег~ Рвс.
Ь13 1, г =1, 2, ..., и,— матрица порядка и, а Ь =(Ь1(х, Ь и), ..., Ь„(х, Ь и)) — вектор правой части. Квазилипейность системы (4Л2) проявляется в том, что матргеца А н вектор Ь, вообще говоря, зависят от решения и. Число Х(х, Ь и) называется собствениьгм зпачеиием, а вектор 1=()ь ..,, 1„) — левым собстееингим вектором матрицьь А, если выполнено равенство !А =и1, причем предполагается, что хотя бы одна из компонент вектора 1 отлична от нуля.
Из (4.13) следует, что для нахождения всех собственных значений Л необходимо решить уравнение л-й степени: (4А4) бе1(А — Ьй') = О, где й — единичная матрица. Ы Система уравнений (4.12) называется гиперболической в пекоторой области пространства х, 1, и, если всюду в атой области собственные значения Хп ..., Х„матрицы А вещественны и различны*). Пусть система (4.12) гпперболичва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
