А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Последнее из приведенных неравенств показывает, что при '( ) 1 необходимое условие устойчивости не выполнено. Следовательно, в этом случае рассматриваемая схема является неустойчивой. Информация, содержащаяся в первом из неравенств (2.14), пе позволяет сделать заключение об устойчивости схемы прн т . 1. Для этого мы должны воспользоваться каким-либо другим методом анализа устойчивости схем, дающим достаточные условия, 6. Принцип максимума. Вновь рассмотрим схему и~ + ар- = О нри условии О < '( =.- 1.
(2.15) Перепашем разпостпое уравнение (2.13) в следующем ниде рь = (1 — у) рь~ цк ура В силу условия (2 15) коэффициенты правой части этого равенства положительны. Поэтому из пего следует оценка ~уь"'1 ~(1 — У)!Р',!+1!Рь,~.
Взяв максимум по й от обеих частей неравенства па соответствующем временном слое, получим !!уэы!!, ( !!у'!!„где ~,у~!~, =- = шах ~ р),~ — сеточный аналог нормы в пространстве непрерыв- ных функций. Полученное неравенство означает равномерную устойчивость схемы по начальным данным; 1уы11 < зуц « зуои Последнее неравенство называют также принципом максимума для разностной схемы: максимальпое значение модуля разностного решения достигается на границе области. Для задачи Коши, которую мы рассматриваем, это имеет место в начальный момент па прямой ~ = О.
Таким образом, выполнение принципа максимума фактически является достаточным условием устойчивости разностной схемьь Суммируя результаты исследования схемы с левой производной для уравнения перепаса у, + аул= О, полученные с помощью метода гармоник и принципа максимума, можно сделать вывод о том, что необходимым н достаточпьвк условием ее устойчивости является выполнение перавепства (2.15). Перепишем его в виде г< й/а, а~О.
(2Л6) Итак, рассмотренная разностная схема условно устойчива при определенном ограничении на величину шагов разностной сетки. Условие (2Л6) нааывают критерием Курапта; это условие часто встречается при исследовании устойчивости разностных схем для задач гиперболического типа. Отметим, что в случае неравномерной сетки и непостоянного коэффициента а = а(г, ~) ) О, для обеспечения устойчивости схемы (2.3) условие Куранта должно соблюдаться во всех точках сетки: т; < Й</а(гь ~~), 1 = О, ~1, ~2, ...; 7 = О, 1, ...
7. Геометрическая интерпретация. Полученные результаты, касающиеся устойчивости разностных схем для уравнения переноса, могут быть проиллюстрированы с помощью паглядных геометрических представлений. Обратимся сначала к схеме (2.3) (у~ + ау-, = О, а = сопзг) О) Перепишем разностное уравнение в аиде у~+' =- (1 — у)уз+ ууь- . (2.17) Это соотношение может быть истолковано следующим обрааом: значение разностпого решения в узел (г„, Очо) приносится по характеристике АА' (рис.
3.3) с нижнего временного слоя 8, из некоторой точки хе: у'+' = уз (а ) = у' Точка (зю 81) пе совпадает, вообще говоря, пн с одним нз узлов (г„г;), р=О, ч-1, ~2, ..., к значение решения и пей у„ определяется по значениям в соседних узлах. Прп 7 <1 точка (з„, (;) попадает в промежуток между узлами (з, и г,) н (зм (Д н определение в ней значения у', сводится к интерполяции се4Е4 точной функции по значениям уа»» и уа» (рис.
3.3,а), Если же (рис. 3.3,6), то г = г, находится вне интервала (г„и г,), и значение у',, определяемое правой частью (2.17), находится с помощью экстраполяции, которая, яая известно, приводит к болыпим погрешностям. Заметим, «то областью зависимости решения исходной задачи (2Л) для точки (г„ги,) на слое с= й (если его принимать за начальный) является точка (г„, 8;). Для разностной схемы (2.34 А А' Х / «' Ф«/ »3 А / у«/ г> 1 а Рвс. 3.3 область зависимости включает два узла (г»-ь й) и (гм й). Если критерий Куранта (2Лб) не выполнен, то область зависимости решения и=и(г, /) находится вне области зависимости разностного решения у = ую В этом случае наблюдается неустойчивость, сходямость схемы отсутствует. В самом деле, примем слой «/ за начальный и будем наменять данные на атом слое вбливи точки г„. Тогда решение и(г, «) в точке (г„1/ 1) будет изме- 3+1 няться.
В то же время решение разностнои задачи у» «не заметит» этих изменений. Точно так же можно проиллюстрировать абсолютную неустойчивость схемы (2.2) (рис. 3.4). Область зависимости дифференциальной задачи — точка (г„, гг), из которой осуществляется /+/ ,/ г» ./ »-/ // в+1 Л, » ™ /,./- Рвс. 3>4 Рвс.
3.5 перенос решения по характеристике ЛЛ в узел (г„, 1/>ы), при любых соотношениях между шагами сетки Ь и т лежит вне области зависимости ревностной задачи, состоящей из узлов (г„, й), (г»+ь й) «ак где а ~ )О, ас О, а ) (3, а < О. 1 (О, а = —.(а — )а() = ~ (а, (а, -.= —,( +! !) = (О, Этз схема автоматически обращается и схему и (2.2) ирп а.с О и потому условно устойчива кр в теряя Кур акта т .- 6/ ~ а (.
8. Схема с центральной разностью, Наряду ванными схемами, содержащими одиостороипие изиодиые, для уравнения переноса мок'ет быть ма с цеизральяой разностью: уй' уй вй,, уй-1 й —. О, ~1, ~-2, ...; 1 = О, 1, ..., уй = ае (йй) (2.3) при а ~ О при выполнении с проапализироразяостлые пропредложена схе- (2.19) или в безындексной записи у, -' ау.=п.
(2.19') Э~а схема, и отли пго от предыдущих схем, имеет второй порядок аппроксимации по пространству. И 1 1 гл. 11 указывалось, что такой способ аппроксимации производной по пространству порождает неустойчивость схемы. Покажетб что схема (2.19) является абсолютно неустойчивой.
Используем для этого метод гармоник, который дает необходимыо условия устойчивости. Подставим в уравнение (2 19) чай стпое решение уй = бей . Получим у ( 11 Ее — е д = 1 — — ~Я . ! — 1 у — 1 гуз(п~у. й 2 До спх пор рассматривался случай, когда коэффициент уравнения (2.1) — а, имеющий смысл скорости, был положителен. Если этот коэффициент отрицателен, то наклон характеристик отрицателен и результат исследования устойчивости схем (2.2) н (2.3) изменится. Нетрудно проверить, что схема (2.2) при а ( О становится условно устойчивой, причем необходимое и достаточное условие ее устойчивости выражает критерий Куранта — 1 ~ ( < О или ~ (! = 1. Схема же (2.3) будет абсолютно пеустойчпвои (рис.
3.5). Если в исходном уравпегпзи перепаса скорость перемеппа— а =- а(з, 1) может изменять знак, то целесообразно использовать следующую кой1бинированпую разпостную схиму у~ + а у, + ае.у-, = О, (2.18) И далее )у~у=1+7уз!втф. Итак, при всех 7 и <р таких, что з1вфчьО, имеем )д(ф)) ~1. Следовательно, схема (219) неустойчива при любых соотношениях между шагами сетки и любом знаке а.
Полученный факт можно прокомментировать следующим образом: формально схема (219) представляет собой полусумму схем (2.2) и (2,3) (р. = 0,5 (у, + р;)), одна из которых (в зависимости от знака а) всегда абсолютно неустойчива в смысле выполнения неравенства (1.0 " ) . Заметим, что !9(' -- 1+ 7т. Предисловиям, что существует такая постоянная сс)0, что 7т=(ат/Г!)ус сот.
Тогда )д)'( (1 + а„т . е'!' и соотве!ственно )д) < е'" '. Позтому для рассматриваемого частного решения — разностной гармоники— имеет место опенка ! г4 ! <! д !! ( амб'ОЗ~, которая означает, что прп введенном ограничении на шаги сетки аут)йт(ср, погрешности в решении могут нарастать со временем, однако сьорость етого роста ограничена зкспонентой.
9. Неявные схемы. Исследованные выше схемы для линейного уравнения переноса были явными,— при записи разностных производных по пространству в зтих схемах использовались значения разностпого решения с предыдущего (нижнего) временного слоя. Перейдем теперь к анализу неявных схем, По аналогии с (2,2) и (2 3) рассмотрим две схемы с односторонними разно стными производными: у!.ь! — у' у!+1 — у!та! + а +' = О, т Ь й = О, ~1, ~2, ..., ) = О, 1, ... (2.20) (у! + ау! = Г)) ру = во (гь) , 3+! у! у!+! у!.!.! В ь+ А ь-! т л й = О, ~ 1, ~2, ..., ) = О, 1, ...
(у! + ау-, = 0), уь = и,(гь). Соответствующие шаблоны представлены на рис. 3.6, а и б. Использование подобных неявных схем особенно удоГ>но при численном решении краевых задач. Рассмотрим уравнение переноса в полубескопечной области 0 ( г ( » при заданном краевом условии (а ) 0) ди ди — -~- а — = О, 0(г<оо, Г>0, и(г, 0)= вс(г)! 0-= г( и(0, 1)= )т(Е), 1>0, ис(0)= Гь(0).
(2.22) 167 Решение этой задачи задается формулой (рис. 3.7) и«(г — а!) при «» )а1, и(х,Х)= !' г'! 11 ! ! — — ! при х(а1. а / Применим для решения атой задачи схему (2.21) У«У«ДЬ !Г« — 1 (2.21') к= 1, 2, 3, ..., ) = О, 1, 2. . .
р«« г„(ад), й = 1, 2, ... (2.23) ро= р(!1), 1=1, А. (2. 24) Разносткый алгоритм выглядит следующим образом. Пусть значения сеточной функпии р решения на 1-м временнбм слое известны. Значения 11',+~ в граничном узле определяются из (2.24). — ф — 1-1-г — ! — / з .Ф «-I Рис. З.Е «Прикладываяэ шаблон (рис.
3.6,б) к первому узлу сотки и=-1 (рис, 3.3), мы по известным значениям у', и р!! вьгчис- "+1 ляем с помощью уравнения (2.21) значение .1!~" = (р~ —:,— В!«"')й~+ 1), ( = ат/й. Перемещая шаблон вправо на один интервал сетки и повторяя описанную процедуру, находим значение у« по известному р«и толь- 1+1 1 1+1 ко что определепному р1 Ркс. 8.7 Последовательно передвигая шаб1лон, найдем всю цепочку значений р«"'(1г = 1, 2,...) по формуле ДА = хз«) тих — 1)/(г + 1)' Итак, несмотря на то, что схема (2.21'), (2.23), (2.24) формально 168 является неявной, она легко разрешается явным обрааом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
