А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Асимптотическую точность схемы (6.24) — (6.26) может характеризовать отношение вг/е ~;! (Е/е а а г))г где д определено соотношением (6.28), Пусть сс=1, Ь = 1/30, г,=0,4, т= т = Ь/я. Тогда 1,204 пря о = 1, 1,004 прп о = 0,5. Итак, ошибка в главном члене для чисто неявной схемы (о= =1) достигает 20 /з, в то время как для симметричной схемы (о = 0,5) эта ошибка составляет всего 0,4 тю т. е. в 50 раз меньше. ГЛАВ А 1Ч мкллизлция РАзностных схкм РАзовоа динлмики В главе описаны некоторые методы решсвия систем алгебраических уравиеиий, к которым сводятся разиостиые схемы газовой динамики, построенные выше.
В 9 1 рассматриваются явкыо схемы и простей1пие итерациовпые процессы; показаво, что при этом возникают жесткие ограничения иа шаги сетки. 9 2 содержит изложеиие метода Ныотояа и метода прогонки, которые примеияются в $3 для решения разиостиых уравиепий газодинамики. Доказана сходимость возиикающего при этом итерационного процесса. Проведепо сопоставление различпых методов решепкя развостпых схем газовой дивампкп иа примере расчета тестовой задачи о поршне. Обсуждаются особеппости расчета задач ва грубых временвых сетках. В 9 4 описано примеиеппе метода раздельных прогоиок к решепию разиостяых уравяепий газовой динамики с теплопроводпостыо.
В з 5 даны формулировки различного типа краевых условий для разиостпых задач газодпяамики и обсуждаются соответствующие алгоритмические вопросы. В $ 6 указаны некоторые практические рекомендации по ршпению задач газодинамики разиостпымп методами. 9 1. Явиые методы 1. Явная колкостью иоисервативиая схема. Разиостиая схема, аппроксимирующая дифферсициальиые уравиеиия газовой динамики, представляет собой систему алгсораичсскнх уравнений отяосительпо значений сеточных функций. Такие системы уразиепий, являющиеся, как правило, пелипейпыми, приходится резпать иа каждом временном слое сетки. ь1псло уравнений системы опрсделяетсв количеством узлов сетки по пространству (обычпо оио составляет 30се 200). Таким образом, вопрос о практической реализации разпостпой схемы в общем случае является достаточно сложной самостоятельпой проолемой. В гл.
11 были получены поляостью консервативные разяостпьв схемы для уравнений газовой динамики, обладающие определспными прсвмуществамп по сразиеяпю с другкмо схемами того яте порядка аппроксимации. Напомяпм спд этой схоьпз для случая плоской симметрии без учета диссипативвых процессов: р х, о<о в> (110), (а) ы,. > в — р=я1р,т), =л'1р,т).
(1О 192 Чтобы проанализировать принципиальную сторону вопроса, ограничимся н целях оольшей наглядности рассмотрением изотермического приближения (см. гл. 1 п. 8). В этом случае уравнение энергии заменяется соотношение»! Т = То = совет, что заметно упрощает выкладки. Заметим также, что при использования метода раздельных прогонок (см. ниже), полная система уравнений расщепляется на часта, решаемые отдельно; прн атом в части, оппсывнкпцей дняженпе, возникают уравнения, аналогичные нзотермпческому случаго. Полностьто консервативная счгмн ( (.1) для изот! рмичост:ого пркблпжепня можтт быть нвннсанн и ьнле г, = — г'-о!. х, = !""".
) о = х,, р =.Ут(р). (1 2) Здесь использовано свойство полностью консервативных схем, н соответствии с которым уравнение шразрынпостп можно записать н форме «закэпн сохранения объема», удобной в практпчнсттих нычтплгнпнх т[тгн от!роде!!!'гптг! плотности. В гючгстнс уравнения аостонння будем рнссчнтринать урннненпо снгтояннп икгнльпого газа: р =сор. где с = сэн. '! ) Π— нзотгрхптчггт,п! ск !ростг, звука. В схеме (1.2) и — свободный параметр. Прп частном зпнчокнн и.—. О получнетсн так пвзынш мая алиная» нолоогтьн! конг! рчнтинная схема с порядком апкрокслмацнп 0(т+ йо), нмегощап в индексной записи нид » — г' р; — Р! ! "! ! ! т а ().8) хт+! — х'. ((.1!) !'-!. ! !г» ! чт! ! ().,!) !»! ь ! т-!-!»'т-! (1,й) 1аЗ 13 Л. Л. Самарский, Ю, П.
Попав Отдельные разпостные уравнения этол сломы являтотся неявными: н правые части равенств (1.1!) — (1,6) входят зннчепня сеточных функций с верхнего зременнйгэ слоя, Однако посмотри на ато указанная схема оез труда рн: ретпнггсн нннь и обрн:!ом (отглода и название — «явная» пол!гостью консгрнатннпнн схема). Б самом дг:те, первое уранпенко схемы дн т возможность по сеточной функции данл!'ння ттт, известной нн нредыдуьцгм с.тэе, !'! определить значения скорости па (!'-! !) и слое !'; !(ттйд! кньп! значения скорости в соответствии с уравнением (1Л) определя- ! -~.
! ют сеточную функцнто х;, по которой с комоьцшо (1.о) вычисляется плотность рт и далее иэ (1.6) — данлеппо р,' ттт , '-!-! Простота описанного алгоритма делает его привлекательным с точки арення практической реализации, Однако запас устойчивости схемы (1.3) — (!.6) нонелик. и это порождает достаточно жесткие ограничения на шаг сетки по времени. Действительно, как отмечалось н гл. 111, устойчивость газодинаипческой схемы нсследу<от на основе ее акустического аналога, который для (1.3) — (1.6) имеет впд и<=а<<,' <»л< (1.7) г< = аи-. !' Здесь фуньция и с точностью до знака есть возму<и<пи е скорости, а а — ююмущеиш давления, отшюекиое к а — массовой изотермнчгской гкорост<! звука. В гл.
111 показано, что схема (1,7) р-устойч<пь! нри р = е'~ (еэ > 0 — постоянпан, пезанпгян<аи от и<агав сетки! 0 ~ 1, < Т— интервал времени, на котором раггматриваетсн репи.ное) н сеточной норме У'= 0,5((!и'!!»+ !!<е!1»). Прп этом устойчивость носит условный характер и имеет место при ограничении на шаг: г» й» (1.8) Ю О 5 (Г7+! -э а1), 'г! г<г! !-<-! '! а (1.11) ..'»1 р; =сэр; (1.12) Значепве каждой сеточной функции на верхнем (/+ 1)-м времен- 194 Таким образом, »явная» полностью консервативная схема с о = = 0 условно устойчива, причем устойчивость носит »параболический» характер (и правой части (1,8) фигурирует квадрат пшга Ь) п допускает нарастание погрешности со времеяем.
Отметим, что условие (1.8) накладывает на шаг гетин т довольно жесткие ограничении. 2. Пример итерационного процесса для неявной схемы. Н< анные полность<о консервативные схемы (1.2) с о'- 0.5 безуслонпо устойчивы. Однако н это»! случае разрешить получа<оп<уюся систему уразш нпй явным образом уже по удается. 1'азностиые уравнения являются здесь нглпнейнымп, поэтому для нх решении приходится прибегать к различным итерационным процессам.
Приведем пример простешпего итерационного пр несса, положпн для определенности о = 1. Тогда схема (1.2) принимает ннд ,<з-! е! ! ! ! !.!.1 (1.<1) ибм слое будем определить с помощью итерационпо<о процесса <гь! !. </'< = !<Гп уп в- где <с — помер итерации. Звмении и (1.0) — (1.12) искомые функции на (!+ 1)-и слое их значениями па (й+1)-й и й-й итерациях. Это мои<но сделать разлнчнымп спосооаии, например так: ь ! ь <! (1.9') !»! "=,й(' - А (!.1<!') с ь Г<< ! '! (!.'! )') а* ! в»! Р;= — г- Р,. (!.)2') Очевидно, если пт<рвцпонпый процесс сходится, то при йреализуется исходная схема (1.<й) — (1.12). Н кап<ство цул< вой итерации, как правило, берутгл з~вчгпия функций г предыдущего слоя у, — у';.
решошш системы уравнений (1,<<'! — <'1.1'-"! ие представ!и<от труда: для:<того иа квясдой итерации !укььлып! повторяется последовательность операций, описанная и рассмотренной выше процедуре решения «явно<<<! ссгмы (1.3) — ( !.9). а Именно по известной на <с-й итерации фупш!пп дапле<щя Р, пз в»! уравнения (1.9') находится скорость <:ь пз (1.10') опр<д ллетсл А.< ! ь»! хь далее из (1.11 ) — плотность р, и из (!.1' ) — давлешю Используя полученное зпачсппе давления пв по<юй итера- Р. цпи ь»! м< жно приступить к вычислению (У гг 2)-й спгрвцви Р< и т. д. Итерационный процесс прекрапп<етгя прп выполю ппп какого-либо условия сходпиости, которое свидетельству<т о том, что различш между сеточныип функцнямп па сог<'днях пт<рацпя.
ст,<ло меньше некоторой заданной вглпчппы, вьпшрш пой из соображений точности. Значения функций, получеппьп ца посл<дней итерации Й = К, объявляютгя зпв и пиямп па (!'+ 1)-м слоо и !»! по времени <ц = у! Так, г помощью пт<рацпонпого процесса осуществляется последовательный переход с одного временного слоя иа другой. Найденные сеточпью функции удо<летпоря<от походным разностпым уравнениям лишь приближенно с некоторой точностью. »95 пли в индексной форл!е и/!-! гг !ггл! „/Е! гг ! г-! — =ив /г (! ! /!) !.5а т л «Зейделевсш!й» итерационный процесс в применении к (1.14) дает л л и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
