А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 43
Текст из файла (страница 43)
5. Адиабатический случай. Распространим метод, описанный в и. 1 для пзотермического случая, па уравнения адиабатпческого течоппя газа. Соответствующая ревностная схема такова — х„= 1ур, кп оьи е~ ==. — у> о,""', у~ ==. Ух.(1ь Т), е =- 8'(1ь Т). 12,~ ==' т(А о ) =- ),'~т = г — Ю ((ц Т) == О. .~'-(1 узд По сравнению с (3.2) сюда дополнвтельпо вошло пелипейпоо уравяеяяо зпергии; пелппейяыми, вообще говоря, явля~отса и уравнения сост япня.
1!рпмсяепяо метода Ньютона приводит к ляпейпой системе уравнений бо .;- атбу» = — )о бх — О.йтбо == — Уз, Ьх + Ьр,'рз = — Л Ье + О,йту'(а>бг + отгуа'з)бу3 == — уи (3. ЬО) ~им зя ЬР ~ — бр+ —,ЬТ) = !„ чо ог Ье — 1 — '' бр-~ — '' ЬТ) == — ув. 1~у~ ' ег Все сеточяые функция, кроме вриращеяий буу.
вычисляются здесь яя предыдущей й-и итерации. 11апрпмер, линеаризовяпяое ураяяоппс энергии фактически выглядит так: Входящие в последние два уравнения производные прн 14~ х)то~ ы вязкость, ее проделано в в виде П'„' = громок'дезе излоясеяео. мы епооь опустили псездоучет производится в точности так же, как это было предыдущем пункте. !1ерепяшем разкостпую схему т(с,+р )=О, х,— 1р=О, р — Т.((ь 7') = О, з зе) х з+! з бь' + О.артур Ьо, -'- ат о~ " б р =- — )4- постоянной темнорзтуро дд'/др = (дй'/др) т, д8'/др = (дд /др) г (3 41) и постоянной плотности дУ/дТ =-(дУ/дТ)„дй'/дТ вЂ” (дЖ/дТ), (3.42) также вычисляются на й-й итерации и относятся к нолуцелым точкам сетки.
В дальнейшем для сокращения мы опустим уэтих производных ни>нние символы Т и р. Для идеального газа с уравнениями состояния р = рЛТ, е =ЛТ/(у — 1) производные (ЗА1) и (3.42) выгллдят так ( °, ~ /,л й й ' / ' й дРГд„!, == ЛГ, 1н,л АТ), =- Лон (', дЖ,'до ~; — —. ' . ~~М' дТ); ==. Л,(у — 1). Заметим, что длл идеального газа уравнопне состолнил для е линейно, и потону /, — = Они всех итерациях /г=О, 1,,... Рассматривал лзотермический случай, мы исключи.ш из систеиы линеарнзованных уравнений все неизвестные сеточные функции, кромо приращения скорости, и таким образом свели задачу к трехточечному уравнению для би, которое решалось далее прогонкой. Точно так нге можно преобразовать и систему (3.40).
Однако, как было отмечено выше, аналогичпоо уравнение иол'но получить для приращения любой функции, Напрнмор, исключав из (3.40) все функции, кроме бр, получим й й-~-г й й.~-! абр — от'(1 бр- =. — д„а =- н/1' 'дТ -'-. ото) я~дол/дТ, д, й й й й г~/ ) (~д ом аг ~' ==' ао ВТ Эт' Вр ' р== — ~(/).+(р) Л(/з — (/,).) ~,— ";/.+,'~6.— /.) В индексной форне соотношение (3.44) эквивалентно трехточечноиу уравнению А,бр,, — С,Бр, + Вйбр,~~ — — — Гь для коэффициентов которого справедливы формулы й й й й й й й й А; = о(т/6)й()ь В; = А, С = А;+В;+ ао Для идеального газа в обычных условиях а= — (1 — ', сп(у — 1)рогйгю), Л = — Т)0, 7 — (( г й йгй й й р = 0,5Лр 1рЛТ,(у — 1) + р'") - О. 212 Позтому козффпцпенты Ли ((, поло,кительны.
Соответствующее неравенство С,>.1;+Ви которое ооеспсчпвает устойчивость прогонки, выполнено, если ь а~)~0, что, как можно показать, имеет место прп условии ! х)/з х х-им ~ц'ц — т)- )(ц- ~ (1((а (у — 1)), т! =- 1(р (относительное изменение удельного объема зз один шаг пе до;нкпо быть ч плени). Итак, для в шзбатнческого случае принципиальная сторона вопроса пе и,ып палась,— разностпая схема по-прежнему сводится к трсхточечп иу уравнению, котороо ршпается методом прогонки с итерациями. 6. Исследование сходимости дли адиабатического случая с учетои вязкости.
)! роведем обобщенке условия сходпмости метода Ньютона (3.25) для вдпабатического случая с учетом линейной вязкости (77!. !)олностью копссрвативиаи разпостная схема для пдеальпого гизи моя<от быть записана следующим образом (ЗЛЬ) е~= — К ~Ч, (3.46) У вЂ” (ц!~ и = Р + еъ ы — — оз т — 1 ч (3.47) Последние три уравнения (3.47) могут быть заменены одппи е:= Ькт) + Ьчп„ (3.48) где Ь.= —. т — 1' Прииенопи ° стандартной процедуры метода Пшотоиа к системе (3.45) — (рх47) прп а ~ 0 приводит аналогично (3.
э') на ка'кдо!1 итерации и системс линейных уравпений ба+ атбк-.=- — (,, Ьх — 0,5тбг .= — (.„ бх, — Ьт! = — (и бе+ Кообт)+ атт! Ья = — (и (3.49) бс — Ьцбк — Ьябц — Ьчби. = — (и где !'„, ж = 1, 2, ..., 5, вычисляются по фориулам аналогичныи (3.2), а козффпциенты при неизвестных бд отнесены к й-й итерации, папример ц, =(т!" — т!')(т. Исключая из (3.49) приращения асет функ!(нй кроме 61, 11ожыо вновь прийти к трехточечному уравнению типа (3.7), которое решается методом прогонки.
Итак, метод решения схемы (3.45) — (3.47) буквально повторяет алгоритм, описанный выше. 213 Обратимся таперь к анализу сходимостп этого метода. Вычитан из кал(дога уравнения системы (3,40) соответствующее уравнение схемы (3.45) — (3,47), придем после некоторых преобразований к системе уравнений, подобной (3.14): А+1 й+! й-;.1 А+1 А-).1 А+1 Ли +атЛд-=-0, Лх — 0,5тЛв =О.
Лх,— Л т) =О, й+1 А А«! й А«! А й АЕ! й+1 Л е + ацЛ (( + адЛ т) — аЛцЛд+ ацЛ ) + (1 — о) нЛ т) = О, (3.50) А+! ) А)Ч А А+! А А А+1 Л е — Ьт)Л и — ЬдЛ т) + ЬЛ))Лд — ЬтЛ о, = О. й+! АЕ! Исключив ив (3.50) приратцения всех функций кроме у; — Л д!) придем к уравнению А А"..) А (А.! ( А+1 ) )) Л р; — В)( е(,! „'д( 1)=7)(» 1=0,1, „Л) — 1 (3я1) где Л; = (Ь + а) !Π— ац(+ 2В(, В; .— а — [0.5 — )(Ь + о) р) + (1 — а) у() + Ьт1. 1( т) А[" й А А А В! -= (Ь + а) Лц)))(. А Очевидн, что В,) О. Потребуем, чтобы выполнялось неравенство й А ) А Вл = Л! — 2Л( = (Ь + а) гн — агн ) О.
(3.52) А Заметим, что прн этом таки(е выполнено неравенство Л) ) О. Таким образом, выполненно неравенства (3.52) обеспечивает применение прнпцнпз максимума [77, 78[. Если опять ограничиться рассмотрением граничных условий по давлепи!о: ))) ) ! — !)»()., ) Р)' ! Рв» (г, ) и припять во внимание, что в граничных точках !'= — 1, Л)— принято «занулять» псевдовязкость (е, = е))( = О, имеем для )+! )+1 уравнения (3.51) однородные краевые условия: й+! А-)- ! й+1 А+1 д,=лй,=о, р =ЛА =о, й=о,1,... Применение принципа максимума к (3.51) дает А Ай ))))<[~) - " ","' 1ч! ))ф„(»!») ~! В «(Ь вЂ” ', а)ч — от)!« где ) (Ь-'-о) (Ч вЂ” Ч) тт — П г1А =, А А о (Ь го)Ч аЧ ,'.
Очевидно, стодимость итерационного процесса Ньютона имеет место. есттт ст,~1, а такясе выполпепо условие (3,52), которое мохсио записать в виде о Ьл-а 1 (3.5т2 ) Неравенство су .- 1 выполнено, если при всех т'= О, 1, ..., Л' — 1 справедливо А 1 Чт Ис а (3.: 4) ц) с),5! ц — ' —. т)), Ь,:-о (3,55) выполнение то гирого оптовреттеппо гарантирует справедситвость (3.52 ).
В противополохсиом случае (т), ( т),), отвечаюгцем схсатию газа, условие (3.54) оказывается итзтсолнеппьтм, осли гиюиь справедливо (3,55), а такясе неравенство (3.56): а — ги Ь о (3,56) прнчом условии (3.52') при этом оудот выполпопо. 1'азумио прели ~дожить. и зто иодтверждаотся расчетами, что дли выполнения неравенства (3.55) при .иостозс Уг достаточпо потребовать его выполиеппя иа пустовой итерации А= О. Условие (3.55) при о )г = О (и = П) может быть проооразовапо к виду Ь Ь+а 1' откуда, после деления иа т, в также учета формулы разиосгиого дифференцирования р, = — т),1т)т), т) = 1ср имеем ( от 1+ — „~) тт)ттт) — 1. (3.57) Заметим, что для случая сжатия имеем рс > О, и тем самым условие (3.57) выполиеио.
Неравеиство (3.56) после несложных 215 1'ассмотрич две возмоткностп. Нервая отвечает процессу разронсения газа, когда т), = т),. Тогда в (3.54) правос неравенство выполиово, а левое приводит к условито преобразований приводится к виду ( ас 1+ — ) тцрс ( 1. ь) (3.58) Объединил (3.57) я (3.58), приходим к условию (--" 1+ —," 1т,~ црЛ (1. (3.50) Для изотермнзеского случая (7 = 1, Ь =- ° ) (3.50) переходит в неравопство т1цр,1, ( 1, (3.60) Вначеннс изотермической скорости звука с = 0,5. Сравнительный анализ алгоритмов проводится на примере варианта задачи, где скорость поршня равна $'о= и(0, с)= 0,75. При етом, как следует из соотношений Гюгонно, скорость фронта ударной волны Л =1, а параметры гааа за фронтом имеют следующие значення 1н = 4, ц, = 0,25, р1 =- 1, н, = 0,75.
(3.62) 11рп расчетах в рассматриваемой пространственной области вводилась равпомерпан сстка с шагом й = 0,1. Шаг сетки по времени яарьнровалсн, параметр а = 1. Для обеспечения возможности сквозного расчста ударнойволпы в схему вводилась линейная вязкость со= — чрн, с козффициентом о, так что фронт волны размазывался на и интервалов которое имеет тот же тип, что и подученное выше для случая, когда не учитывается псевдовязкостсб условие (3.25), однако, является менее «жестким». Следует указать, что полученное длн адиабатнческих течений условно сходнмостн итераций (3.59) накладывает более сильные ограничения па шаг т, чем в изотермическом случае. Отметим такнсо, что одна и та вн разностная схема, к которой прнменается итерационный процесс, монсет быть записана в несколько отлнчасопСнхся формах, например с испольаованием сеточной функции плотности пли удельного объема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
