А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Вязкостс са представляет собой часть сооствеппой (аппроксимациовкой) вязкости схемы, ссхсесощую порядок 0(с). Для схемы с о= 1, которая рассматривалась выше в расчедг тах, представленных пэ рис. 47,5. 4.7, пмеом са = — 0.5г —. В зассг' даче о структуре фронта изотермпческой ударной волпы, где ы порождает допосисителг кое 77ссэвсссзссва~сссе волпы, вязкие члены ы п св мсикпо представить с помощью точпого решения (3.28)' в виде св — — 0 — ', сс = —,Вв —..
<й 77 — т в сСЧ т~ в'. Тяссссгс образом, для рассматриваемой задачи фупкцпю с=7 = ы+ ы можпо рассхштривать как некоторую суммярпуго вязкость Озп!7 77 вессс с,- чссв С. 7 ( — 77,5хурч) 7за(Ч вЂ” д ) савв(Л вЂ” Л ) (3.776) Отсюда видно, что при т — О вслпчппа й(т) совпадает с класси- ческим значением (3.63), которое следует из тоспссго решения 221 являющуюся линейной п обл,сдасошую коэффициснтом в=т+ +0,5тьс'77. Этот коэффициснт зависит от рспсепия ЛД), однако для опспок можно пользоваться эффективной величиной т,а = = т+ 9,5т0зс(, где цс = ц ~ цс — покоторое среднсс значение удссп пото ссбьс'гса.
РВприпя размазывания фропта волиы суммярпой вязкостью ь), как это сле;сует пз формулы (3.63), будет определяться формулой в 4. Метод раздельных протопоп 1. Общий случай с учетом вязкости и теплопроводпости. Учет теплопроводяостп в рзлиостпой га:юдппампческой схеме заметно усложняет алгоритм ее решении. Рассмотрим общее семейство полностью копсерватявпых схем газовой дпяамшш, включающ<ах пссвдовязкость я процессы теплопроводоостп: — д, х<=е ', х =1<(к р=рл.<<, («<) з«Я р =У(р, Т), е = <о (р, Т), й = К(р, р( — 1), Т, Т( — 1)), о< = О(р, <Ь о(+1)). Для большей общпости будем пр<дполагать, что схема (4.1) (4<.1) гг дифференциальной задачи о структуре фропта ударной волны.
С ростом т ширина размазывании увеличивается по линейному закону. Расчеты подтверждают этот вывод, На рис, 4.8 дана зависимость п(т), полученная экспериментально в результате обработки серии расчетов, часть которых представлена яа рис. 4.7. Значения параметров здесь таковы: 0=1, < =0,0;, 6=0,1, ц» — — 1, = 0.25. Экспериментальные точки хо! рошо ложатся па прямую с <) = 0,5. л' Г Это естественно, так как расчеты покязына<от, что при различных т действяс вязкости максимально в районе с и = 0,5 (см. рвс.
4.7). Заметим, что из-за пали шя аппроксямацповпой вязкости в условии сходимости итераций (3.30) вместо фиксированной величины и до»пипа стоять ш личина п(т), увеличивающаяся 5« - ростом т. Это обстоятельство, а также Рис. 4.8 тот факт„что условие сходимости (3.30) носит достаточный характер, позволяет на практике пользоваться сетками с шагами т, заметно превыя<а<спи<ми максимальяое зпачепие, предппсываемое иеравсиством (3.30) . При малых зпачевиях шага т влпнпие сооственной вязкости схемы певеляко и, как пзэсстпо, расчет ударной волны без искусствсяяой дпссипации («< = О) практич<сия невозможен. Однако при больших т ~ ~тм действие аппроксимациоякой вязкости схемы становятся достаточным для обеспечения неооходпмого «размазывания» фронта ударпой волны.
записана на неравномерной сетке: д; д; » О з(а, — 7»,,) где 6,-0,5(я»+я» ~). Свободные параметры а~ и ат в (4.1) отличны от пуля, так что эта развостпая схема ве может сыть разрешена явным образом. Перепишем систему разностных уравнений (4.1) в виде 1'„+,' = ) + ЬТ-,- = О, )е+,д = р —,Т Оь Т) = О, Д",' —. с — М" (р, Т) = О, Я' = й — ТТ((ь р( 1), Т. Т( — 1)) = О, = »о — 1»(р,о, д(+ 1)) = О. Используя стандартные безыпдексяые обозначения и технику, развитую в настоящей главе, применим я решению этой системы метод Ньютона. Лвпеарпзовапные уравнения для разности сеточных функций яа двух соседпих итерациях запвсываютсн следующим образом бр+ та,б»-= — )„бх — О, або= — )т бх, + бр (»з = — )з, бел-0 бтй ~ Ьг»» -'- то,о» ' б" — таэб)(т» = 14 (4.2) 6)Р + 7'-Ьй —,' бр — ~ — бр — ' — ЬТ) = — ), бг — ( — бр + — ЬТ) =- — 7'„ (дР, дд», 1 7»Ю .
дТ ~др йТ ) и (,»~р ' »7Т 67' — ~ к Ьр + ~ Ьр( — «+ .~ ЬТ + ~~ ЬТ( — «) = — 1, 1дР дв — « дТ дТ ( — 1) !»»О ди дг7 бо> — ~ —. бр + — бд + бр (+ « »»р д»» дд (+ 11 бр =бр+ бы. Система (4.2) весьма громоздка, по сказывается ва далыгейших формулах. Исключая пз (4.2) приращения всех функций, кроме скорости и температуры, можно свести зту систему к двум линейным уравнениям ~ ддй ды 7»Ы дУ б㻠— то (1).Ь»тр~ — бд, — — бо — Ьг(+ 1) — — ЬТ й ду( — 1) дТ = — ), + то, (), + )„+ ',е )»), (1.3) + 0,5т~у( ') — рз~ — + то,о~"л~ ~Лбе, + + то и,' ( — бе+ =,Й (+!)) — то.~йбТ-+ <е,м lдй, дГт \де ' ди( — 'т) 8 + Т-~ — бТ+ — ЬТ( — 1))~ + ~ — + тор, " — ) 6Т = (дК дК ~) /дЕ ы,иди) а (дт дт( — В Лз (дТ ~ ° дт) = — /т + то~о~ ()е + /т) + /т + тот (тз Т /з)) у ~др др( — т~ )~.
~др ' * др~ где У = рз[)з — (7з),). Первое есть следствие уравпопия дпижепиа, второе — ураапепия зпергпи. г. 'пспользоваппем ипдокспой записи соотношения (4.3), (4.4) можпо продстааить в форме А;бш, — С;бе; + В;би;+г + В,ЬТ; г' — ВгбТг = — Го ('ь3') А',6:,, — С,:бьч + В,'б,„+ г,'Ьо;,е + + В,ЬТ,, — К;ЬТ; + С;ЬТ;+, —— — В; (4 4') Позффпциепты первого уранпепин вычис.ппотся по формулам, следующим пз (4.3): ь л д В х,.' ь ь ь С;=1+ ь ь л(1 Л $ х4 дк ! Т, = — (,;,+о,т~ —.,к) +,1,+1, (1,7) 224 Выражепия для козффицпептоп А,А,Во Л~ и т.
д. без труда получаются из (4.3), (4.4). Однако опи слишком громоздки, и мы их здесь пе приводим. Особенностью системы (4.3'), (4.4') является то, что второе уразпекие содержит значения искомой функции би в четырех точках 1 — 1, 1, 1+ 1, 1+ 2, и потому для его решеппя метод обычной прогопки пепримеким.
2. Случай дК!др = — О. Если козффпциснт теплопроеодпости среды по зашшит от плотности, ситуация заметпо упрощается, При дК!др = дК/др( — '1) = — О из уранпошгя (4.4') выпадают зпачепия бо, ~ и би,чз, В результате пместо (4.3'), (4.4') имеем Л;бг~, — С~бр~ + В,бг,~, —, В,ЬТ; г — Г,ЬТ; =- — Во (1.5) — С;бг, + В;бог ы + В;ЬТ;, — К,ЬТ, ~ Г;ЬТ;+, = — Г;. ('~,6) где з ь~ ! ь А ьп = о т ~0,5 — рт — + — ~, Ьг = о г '(0,5 — р' —— ,-т зда дй ~ ~ т Ьзда дхт а и зр ь~0 ' ~ ' ь зр за(+т) Для козффицпентов уравнения (4.6) соотношение (4.4) дает формулы ('~ ( ь у чц- ~ .' гьь1 ча дк ) ьы ы ду — ~",~«' 1г1, /Ф ьах дР,<о,м ~г где ;.-..4„' » „'(Ю.г.,'„;»,)) Вводя сеточные вектор-функции б,=~а,), Г,=~ перепишем спетому (4.5), (4.6) в матричной форме Для решения (4.0) на ка>ггдой итерации может быть использована матричная прогонка (66, 8Ц.
По ходу вы шолецкий придется обращать матрицы второго порядка, двс нз которых (прн бн,—, и бп,ю) являются треугольными. Очевидно, что к системе (4.9) зада га сводется и в том случае, если отказаться от строгого применения метода Выстояв и пропебречь вариацией плотности бр в прпрагцс~пш нозффициеита теплопроводности бй. Оправданием отому может служить тот физический факт, что коэффициент топлопроводпостп, как правило, в гораздо большей степенн определяется значением температуры среды, нежели ее плотностью. 3, Раздельные прогонки.
Итак, разностную схему для одномерных нестационарных уравнений газовой динамики с теплопро- 99 водпостью свестп в общем случае к трехточечным уравпенилм, длл ре!пения которых годлтся формулы обычной прогонки, пе удаетсл, Избежать такого рода трудностей позволяет так назы- ваемый метод разде«ьн!гх, илп лос.!«!!овательных прогонок [84]. Суть его заключается в следующем, Разпостпые уравнения схемы (4.1) деллтсл па две группы. Группа 1 — «двпямвческал», вкл!очающал уравпепия движения, неразрывности и одно из уравнений состояпил: и!= — р- х!=о ', .т,=11р, д=р+ю, («1 !о,»! (4.10) р =,У(р, Т), со = Я(р, и, и(+1) ).
Группа !1 («тепловая») состоит из уравпеппл ввергни, опреде- ления теплового потока и второго уравнения состояния: а ' (4.11) е=ю(р, Т), )«=К(р, р( — 1), Т, Т( — 1)). Уравнения каждой группы решаются ггтерационным методом Ньютона самостоятельно, с последующими дополнительными итерациями между группами. В группе 1 определяются сеточ- ные функции и, р, х, н группе П вЂ” Т, Их. При решении уравне- ний одной группы величины, которые вычисляются в другой группе, считаются неизменными, «замороженными». Поэтому группа ураннений 1 весьма похожа ла рассмотренпый в 4 3 слу- чай изотермпческой газодинамики, Отличие состоит в том, что здесь температура по пространству не является постоянной, од- нако распределение ее задано.
Группа 11 фактически есть уравнение теплопронодности с известным распределением источников газодинампческого проис- хождения. Расчет дпнямической группы уравнений (4.10) сводится с помо!пью»гете;[а Ньютона к решению трехточечного уравнения я я«! »»-!.!»»«! А .1,6 в !, — С!6 и! + В«6 щ„, = — Ег, (4.12) коэффициенты которого нычпсляются по формулам (4.7). Лналог~ч~о тепловая часть (4.11) приводится к уравнению ,!-! ! !, !«! !, !«1 !, 1);6Г!, — Е;6 Т! + С;6 Т!+! — — — Р;. (4.13) !, !, !, Для коэффициентов В,, Е,. С, справедливы формулы (4.8), соотношение для Р песволько упрощается: г! ! ! 3 !1 Номера итераций н уравнениях (4.12) и (4.13) обозначены разными символами й п 1, так как каждое нз этих уравнений ре- шается с помощью своего итерационного процесса.
ччя Алгоритм решения задачи с помощью метода последовательных прогонок выглядит как показано на рис. 4.9. Уравнение группы 1 (4.12)решается на каждой итерации йметодом прогонки. Температура в процессе этих итерадий не изменяется, ее значение пока беретсн с предыдущего 1-го слоя, так и Насшибая тпгоюз и 7 ,Чзъсм ьс т г,ззг Рас. 4.9 что уравнение состояния в группе 1 фактически имеет вид р-Я(р, т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
