А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Вол1швой пакет имеет отрицательиуш груииову~о скорость, иро1шрциоиальиук) козффвциеиту Рвс. 5дл Рчс, дда и (2.!7), и д|шжется в сторону, иротиооиолоишую расиростраш ион~ солитоиов. '!осло солитоиов и иу амплитуды оиреде;ыиотся величиной иараметра подобия б и формой иачальпыт даииык йо(У). Наиример, иоказаио, что условие расиада вскидного иозмущеиия г (й) иа диа солитоиа илпччт иид б~ < б < 2бь гьи 6'; =-. бб„( гв(ч) ~)л ) ~;)(т) ~1. !!оживи граница параметра подобия б =б~ отдеии т класс кача.и,иык ди,иыл, рзсиодашщитси ии иссио..ько солитоиоо, от возмущений Ро(У), эволки1иоиирук1ир1к с абра ишаиш и оииио солптоиа и волкового иакета. ~!>армуды дли оире;илоиия шола солвтопоп Х и их амилиту! а„вьилядят особеппо ярости дли иачальиык даииык специа и,ного вида (1.11): оз(г) — Аг)~ '(в — «а)+ 6, (2.21) л„— координата по:иикеиия середины иачальиого возмущения.
В атом слука~ Лl(.~, (!+!/1+ =„.-Л-"), . = дл!1+ 3/1, =Лг — 2 1, н=1,2,...,Т, (9 йч) где Лг = А),"з. Оиределоипой моделью, одиовремеиио учитывак1щей иаличие в среде диссииации и дисперсии, может слуягить уравнение Кортгеега — де Брига — Бюоргерса: ди ди, д'и да — +и — +() — =р —, ос дт аз ав' аба Степепь проявления тех плн пиыт эффектов в его решении зависит от соотпошепш> коэффициеитов 6 и р.
4. Дифференциальное приоли>пенис для квазилипейяого случая. Применим метод дифферспцяальиого ириближсиил для апализа схем (1.15) и (1.16>). !'езультаты расчетов ио пим были приз(деиы в конца пр>дыдущ(>го иар;ира(!>и и (и'ввались иеудовлетворительиь>ии. !'ади больна и общности выводов рассмотрии вместо (1.15) и (1.16) с.иду>ощис р шиостиыо урависиия: р> + гй>(; — тр, (а> (',) Коэффициенты в:>том уравиопии и>и а>т зиачсиия: для с>п мы (2.24)— 6=с[ — + —,, -> т>(»6 >т,).1 амип тзгзи = '~(1 >а р = т + р, р = —,, + тети, Е = тт (:)и( — И.,>) >- т>а>(4>и'+ 0.0> - 2и) — —, (1 — 4>о), ('>.2>7) !г=. тс((т — 0.6>).
С = >г>-'(» — Гьд) (1 — >>); ;(г>я схемы (2.20)— )1 — > [, + —,— + тт (о + и» .' т'гто а 13 и=: х+ р. и=-ти-о, Е = тт (Зо> — О,.>) + тзг- (4о + 0,6> — 2о), Р' = ы (о — 0,6>), Г)== т>г(о — 0э>) (1 — и), (2.26) где п=(а- 0,5), а> =(и> -0,5). (:оотпошсипе (2.26) ие является первым дифференциальным прибив>пением, помимо членов порядка 0(т+ й) здесь оставлены дтя целей дальнейшего исследования слагаемые порядка мз !!рея(ипе с>п >из (1.10), (1.16) с.>о,(уют отсюда ири значения; параметров о.--0.6>, и =О.
!низкость и правь>о части урависипй (2.24), (2.25) ивед(*иа для того. чтобы, как и в газодпиамик(, обоспсчить воз>и>жпость сквозного рас ига разрывов, в возииьиовоиии которых да>ко и.> гладких >ичальиь>х данных мы уб(' дались вьиис. 11-форма диффере>щиальиого ириближсш(я для рассматрпва(- мого киазплпи(иного случая выглядит следующим образом: 0((т+ й)'). а'равнение (2.26) в<сьма с,и>жно, однако, если <ираиичиться рассмотроиием реишиий с ма.!ой амплитудой, последними тремя слагаемыми в праной части моиио ироиебречь.
В этом случае;<ифферозциалыи>е ирпб/п<>кение (2.26) сводится к уравнению 1>ортевега --де 1!Риза -- !>юргерса; Нг <>г, 'г — > г а О< ('-'.20) При од<,!аипыт;<епущеииит обратимсн и анализу конкретных е>пм (!.!:>! и (1.(6). Д.!л иит к<юф<(жцпеиты ура пщши (".20) иринин<а!от значении; ) /! т> + !2 !! .=. —,,— длн от! иы (!. !6) 1/ те ! (! == г ~ —; + —,, ~. р =. 0 д.<н степы (!. (<'). 1!> ' Гн !' По чтором случао ири р =.
0 мы име< и чистое урани< пи< 1>орт<- нега — до 1!Риза и, используя р<зультаты предыдущего пункта, можем оцепить аараит< р репи'.ини уравнении (2.20) с иача/и>>ыми дзинь>из иэ (!. ! />). Опонии,<ли этою> величину < оэффициопта,! для ус.<азий реального рас ига, результаты которого ириведоиы иа рис, з,<!, Параметры этого расчета имели зна'н",— иии; /> =-. 1, Л =: 02, ! -- 60, й == 0. (, т =-008.
1(оэффнци< ит!< ураншчп<н (2.20) ню!нются фуикцияии решении е(а, !), что < сть ел<и<стык' ш>линейности расеи>п ринаемой с:>емы. Однако Тай>лапа и -юд 0,<>05 0,10 <!>зеву.ю !" Нз! Р.!сче! (!.!и> 0,<ю 0,0'> 0,0! О."н о.! >! 20/> у шчыван, чтп мы рассматриваем и качество репи>ииа возмущении иебольпи>й амплитуды (А «й), будем принимать для оцопок зиа и ппи зо:>ффициоитов, лииеариэироваш!ыа вб.!изи фона и(а, Е) =- />. Таки ч обра:и>м, р =- йо = 0.0022, и дли параметра подобии 0 =- ! А/у/р< имеем б ж 1<!!»<>а= 'УГ2. Следоват< лько, Рюиеипе за;<ачи будет носить со/штоииый .<арантер, и, иримоиип формулы (2,22), можно опрело.шть число солптоиоз .>У и па нмплитуды а„(н == 1, 2, ..., <>/).
Д.!я рассматриваемого расчета />/=4, а значении амплитуд указаны н табл, 1. (ля сравнения здесь же иринедоиы амплитуды солитоион, п<жучепные н расчете ио сиене (1Г16) па момент иремеии г = 166,4. Амплитуда чотнертшо солитоиа находится за пределами точности Расчета, '1 аким образом, разул«таты, иолу и ииыг иутем теоретического исследования схемы (1.10) с помощью метода диффгреициальиого приближения, не только качественно, но и колнчествоиио хорошо совпадают с результатами числе««ого расчета. Нроведгиный анализ позволяет сделать вывод: в разностиой среде, оиисываемой схемой (1.10), нреобладагот диснерсиониые свойства, что является кричи«ой дефектов разиостиого роше««я.
~[ля схомы (1.10) с иесимметричиой простраиствеииой производной, так я«е как и в линейкам случае (2.()), и диффюреициальиои ирибли»кошш присутствует схгмиаи яшзкость, «отару|о нельзя устранить с помощью подбора веса о, 1«озффициеит яка«ости р, вычисленный вблизи фона и(«, )) =. )ь ржи и )« =:0,05, :)та в«лизи«а оказывается столь зиа штоль«ой, что Лиссииация в сх< м«ир«обладает иад Лис«оргией.
Указан«ее обе«о«тельство ирояалштся, ка«ио«азгаиит рис. «Я, и сильном «размытии» роше«ив и з«шах шо сильного изме««ииы«ио нростраиствеииой ш реме«кои. 'Га«, иаир«мер, разрыв еказьиюетси рнзмаза«шым настолько, что изменяется качествеипь~й характор реиюиия. Обсуя<даем««е разиостиоо решоп»«о весьма бли,«ко «ргиишию уран««иии ))юргерса (2.15) ири с«и«твгтсти)з«ицих: иги лиях марам«трои.
Так, шюрдииата ма«с«мал««ого зиа и пии амилитуды о(а, )) — й ргинчшя лада ш (2.14) иа мом~ иг времени ) 1)« =- 20«0 равна х„„, =-.,')7,7 =-;)77)и а само зиа и*.иие ами.ш. туды, ши с,«дует из асимитпп«чгс«из формул (2,16), состав:ии т 0,072. Численное ргшгиие иа тот»ке м«мнит време«и имеет ма«сит«альиук~ амплитуду, равиую Ой)74, и зтот ма«самум рае«ю,цикги ири зиа и иии коордииаты г =: 37:)Ь. Заметим, что из-,«а наличия оольшой в«утренней вязкости схема (1.15) дает возтиш»вость оез введеипи искусстш ивой зязкости вести сквозной рас цт ргшеиия с разрывом, ираида, суп[«- ствеиио его искажая. Лиалнз выражений (2.27) ио«а:пава«т, что исиользоааииг зиачеиий вгс«и«о и о«отличных от 0,.« и диаиазоие О,й ( о, о; -.
-" 1, еб«юи«чина«и«ем устой ииюсть сх«кмы, ириводит «увели:и— иию ш»гффициеита р и ю и самым «усилеиию схемкой .иссииации. Излоя«еииые результаты свидетельствуют, что в смыс,и )иггивапшиыл и дисперсно»«ныл свойств глегзы (1.10) и (1.10) иретизоиол«иииы друг другу и и то же арами пи одна из иих ие может обеспечить достаточиучо точиость разпостного реи«гиии.
1'ассмотрии, кануло роль может сыграть введение а указаииыо схемы ис«усствеииой вязкости с коэффициентом «) О. Для схемы (1.15) зта процедура, как следует из (2.27), в«дог к увеличению и без того б«шьшого козффициеята р. На вопрос, как влияет нскусствеииая вязкость иа свойстиа схемы (1 16), дают ответ расчеты задачи (1.14) ио схеме (2.20), результаты которых представлены на рис. 5,14«, а..')десь на последовательные моменты времени даны профили разностпого 265 ре~иения, полученные при уже исиользовавшомся выше паборо параметров Л, Ь, Ь, с для четырех значений кезффициеита о = 0; 0,00008; 0,00125; 0,05.
Штриховой линией указано точное решоиие задачи (1.14). Как показывает сравнение рис. 5.1чц а и '1 г1 :е ' ( и ай' г 1чиь яда 5.14, 6, отве шкицих зиачеииим т = О и т — -0,00008, малые зпачоиия коэффициента вязкости иракти иски ш алия~от иа картину возпиииоиоиия и разиостиом рея~опии солитоиоя, Напротив, рис.
5.1чь г показывает, что использование искусственной вязкости с больпш1м козффициеитом л сильно размазьпшет реиюпие, и суп1еств<иио его искажает, Неличпиа т здесь выбрана численно равпой жиффициеиту схомиой вязкости р в расчете, выло ы псином ио несимметричной схеме (1.15) и представленном иа рис. 5.8. Как видно, результаты обоих расчетов близки, что есть отражение близости их дифференциальных приближений. :1иачеиис >со:>ю(>с(исц>сос>та вязкости иа рис. 5.11>, к и '.= О,ОО!23 является и изиостиом смысле граничным: в расчшах с меньшими зиачшшями ч иреобладасот дисиерсиоиш,>е зффекты, ироявляшщиеси в ниде колебаний решении за разрывом, прн боль>них козффицис птах разчазываиие ршиеиия становится иеприемлемьсм. Итак. шидс иие и схемы (1.13), (1.1О) искусстве>ской вязкости ие может существенно улучшить качество разиостиого ре>иеиия.
!1 то >ко врсми отмет>см, что, и:юъп иия соотиои>ение между козффицпеитами 1> и р и диффс рс ициальиом приближении схемы, мы получаем возможность воздействовать иа качество риси«>стиоп> ргии'иия. !>ак отме шлось в ч 1, для рассматриваемой задачи !(оси>с (1.1), (1.2), ( !.7) сираиод.сив зако>с сохранения (см. (1.12), (1,13)). Д»>с стг>с (1.13), (1«(6) разпостиые аналоги;>того с>акела иг в>пикши>отси, и, следоватолысо, зти схемы ие являются консервативными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
