А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 56
Текст из файла (страница 56)
пии солптош<и. !! ис явпой схеме (о =- 1) преобладает диссп<ш цкя — разрыв сильно размазал, р< пи и<и гладкш. Р<ссуикп 5.21, б и е дсмоистрпру<от влпяиие иску«отпевши! вязкости в схеме с о =-0„.<. По мер< увеличения ко:<ффвцпепто т осцилляции репи ипн за фронтом стаи<иост«я слабее, однако спорила фронта размазыиапия разрыва возрастает. Так, при т = 0,01 (рпс. 5.21,в) зта ширина иа мом< пт нремеоп С = 1<С> Д<,2<„ гостззляет двенадцать питервал<ш ест<с<с..'стссхс дапиоо ршпеои< п«хоже па рос от ио и<липой схем< (о= !) (риг..
5.21,а). Так«й результат стою<витек понятным, если припять оо ниимииие, что гуммариьш ко«ффпцопт лииейиой ои;ишстп т в (1Л), (с<.4) у обеих схем примерно одипакоо. Действительно, для схемь< с о = О имеем з< = 0,01, т< =-О, так что т = т+ т< = 0,01.
Для иеяипой схемы (о= 1): т =-О, т< =-те'(сг — 0,5)о =0,01, т = в+т< =0,01. 3. Спектральные свойства решения. Итак, для г,лозой дпиомини характориыс особенности разиостпых рс<пи иий и соотк< т ствеппо «разпостпо-фпзпческая» трактовка свойств разности ы х схем остаются такими гке, что и д<ся уравпелпя переноса. Позто- 282 му представляется естественным оообщпть развптью ра«ее представления о схемах с искусственной доли репей па случай газовой динамики. Однако пред«арительно от«стим па следующий возможный «опрос. Нужно ли, услеокняя схему, бороться с ее впутронней 1а 7 ь/и 'В зсл ,ьл', ь! ;ма, из.ь од Р«с.
5.21 диссипацией и дисперсией, стараясь «о««курати< о передать репн'- ине в зоне разрыва? Ведь в«одя искусгт««пнув «я«кость 1гл, 11, 4 4), мы ставили задачу: пода«ить колебания решения за фронтом разрыва, понимая, что позняка«н«1ео прп «том ого размазьы «ание фпзпчоского смысла, вытекаюп1«го пэ существа походной задачи, не имеет. И поэтому будет зто размазывание несколько б«лыпе или меныпе,— этот факт с прикладной точки зрения мал~ существен.
Сформулированная так постановка правом«пи пе для «сох классов задач. Например, в 110, 47, 48) с помощью численных 283 гдг коэффициент У„гпредглягтся формулой я-т .» й У„= — ~„ус'г »с »=» (8.13) Под спектросл численного реп<ется па момент времени 0 будем понимать набор л = У„>У» (и = О, 1, ..., тст — 1), т. е. отпормировапный набор амплитуд гармоник (4.13).
На рис. 5.22 ттргтсставленьс иа момент времени т = б<0 спектры чиглс оных ршпений (функция плотности), обсул давшихся выше (риг. 8>.21). Опектральньсо характористики изобрансены и виде гра<[>икв, гдг ио горизонтальной осп отложен номер гармоники и, а тш вертикаль пои — лсодуль гос>тс>етстс>утощого коэффициента разложения (х ! Длл сравнения штриховой линией указан на тот нсе момент времонн спектр решения исходной задачи (4.9) с вязкостью нри 284 расчетов иссэедуетсл распространенно мапистопсдродипамически х волн в атмосфере звезд. В силу нелинейной трансформации фронт волны стаиовпгсл круче, формнруетгл кваэистацс~ парный спектр рошепия, устанавливается <<перекачка» энергии из длипиоволиоси>й части спектра в т<оротковолновую.
Опясанпые процессы обсуждасотсл квк возможпьпт механизм пергдачп энергии пэ внутренних оГ~лссстс ст загздьс па ее пгрпфс рпто, обългпявоцшс высоку»» тгнп<рятуру хромосср<ры. Прп расчете этой задачи разма:шп>ание фронтов, кап эа сч< т искусствсппой, так и за счет сониной вязкости. можст заметно исказить физический смысл резулснатосс.
Объяг>опт<в это топ, сто нптепсттвпость диссииатпшп>го фактора влшпт па гоотпотшнис высокочастотных и низкочастотных согтаилнкнцих спектр,с решения п другие его топкие особгпности. Для ршпгппя подобных задач часто применятот более точные численные методы, такие, как гп<ктральиый»птс>д Галер<с>>с>а, пгевдоспектральпый метод»точных пространственных пропэподньж» и т. д.
[10, 61<[. Однако указанные методы лвллютсл более громоздкими, мошч универсальными и требуют длл реализации больптего матпиппого времени. Поэтому актуальпон зада пи нвляетгл востр<липе р;ииостных методов, обесиечпвассицпх хорошее ка нет>и> р< тления и длл задач укаэанного власов. Рассмотрим боле< подробно вопрос о спектре.гыш>г сссойстесьг решения. Пусть у>» — — у(е» 1;) — гсточпан с[>ус<<с<<с<>с решения. (Здесь для ооозпачеппя прострапстсс иного индекса вновь, как в гл.
111, используем А, оставляя т для осюзпачгпия мстимос< <дпиицьс т= У вЂ” 1.) 13 фиксированный момент вргмс пи й разно>стив па сотке 0 ~ А - Л' у» пок <1>упкцпсо прострапствсчшого ипдгкса Рс в дискр<тпьш ряд Фурье [81[: » дс, =-, У„е ту -о т = 0,005, полученный псевдоспектральным методом [10, 64), который мы будем рассматривать как эталонный. Сплошная линия соответствует расчету по схемо (4.2) с о= = 0,5, т = О. Хорошо видно, что спектр в этом случае является 7 7 'е "э зь" .д по К Гпс. 5.22 пемонотонным и сильно отличается от эталонного. Максимальные различия относятся к области волновых чпсел п 26 —:30.
что связано с характерпым размером первого из формирующихся в решении солитонов. Расчет с о=0,5 т =0,005 даот лучший спектр, однако наличие осцилляций за фронтом разрыва заметна проявляется и в этом случае. 285 рассмотрим другой вариант схемы (<) г<«.«0(<') т< = — е'-"' — Ои-, (4<.15) о< = — тре.. д = р+ ы, р = с«р, Дпффереп<)вильи«,е ириблпжепия схем (4<.14) и (4,15) сонпада<от с точпостшо <)(те+ 1<») и в глазных члепах имнот вид ( < ~ <2 а» ве п«еы,, <р -» » — ( — ) =- -'- + ((1 — 0) —.„, — =- — с« — ' — — — с«((1< — 0) — ' и < р у Рр а< ~<.< д.<' а«< (4<.16) 3,1егь по сравпеип<о с (4<.3) отброшен рвд членов квадратичного порядка малости. Как водшь за счет в<«бора козф)рициептов искусетоеииой дисперсии 0 и 0 появляется возмол;ность воздействовать па внутр<ип<о<о дисперсп<о гхеъпз, В частности, как и для кназилипойиого уран<ли<и пер< носа, можно положить нх равными значеппяии ко;и(<фиииоитов Д и е.
вычисленным па 4<опо при р = Ре: » е зт т е~ ~-,'- ь 0 = 1< (1<„) = ('« =- (4.17) 'т<'р« ' 1 0 .= (',(0«) — (',, =-,,"; ' тт(о — 1<.5) р«. 11з рис. 5.23 дниы результаты расчетов задачи (4<2)) по «<им< (4<.15) ири зиачопиях параметров и = 0,5, т = 0,005 и 0 = ()а, 0 = 0 (рис. 5.23,а), а такжо 0=0, О = р«(рис. 5.23,6). Заметим, Неявная ох< ма о = 1, т = 0 (штрихпукктирпая линия), обла- да<ощая зиачительпой впутреокей вязкоетьж (< ж 0,01), разгла- живаи решепие, «обрезает» коротконолпову<о часть спектра, Та- ким обра;юм, в рядо случаен сопоставление спектра числопиого решения со спектром зталоппого может дать более точный кри- тер<ш качостза р<шеппя, пежели визуальный контроль, 4. Схемы с искусственной дисперсией.
Впд рл<ип отпой стел<и е иекуестееипой дисперсией' для урашпиий гааодиннкими (4,1) иетрудпо усмотреть из диф4н<реи<)пальпого прпблжкеипя (4,3): ()= 1< <«ы («) <а) -«(«) — =- и,. ' — Оп .', и< = — л- + От р,."., «)<— »6» (4<.1 <<) я=я+6<, р=т-р, 6<= — т)л„, Присутствие в схе«н третьих нр<ншзодпых, которые и пр<д- ставля<от искусств«пну<о дне<и ргпж, порождает оиределепоьи ал- горитхшчеекпе трудно<то, связанпыв с расин<резком пшблопа.
Но>то»гу, у штыв <и ш и<гвен<и<по из ('.1) р»ж пст< з что в выбрал>гьгг парамотрат рс = рс = г),0005>п>. Г)тыст>гм, что ргзультаты вгик расчетов прагпигсске совпали, ,")то подтворжднт тгоротичеспий вывод (60), доказательство которо>о мъг здось пе г'> г Г >вг гаг с .Огдд а,,и ,г> 256 5Ь >Е2 ггиг !'вс, 5.28 приводим, о том, что па формирование решения влияет лишь суи. маркая искусственная дисперсия, где каждый к<>зффпцпопт равпоправеп. По сравпоппго с рас штамп без искусственной дисперсии (рис. 5.2() розультаты оказались ближе к точному рошеивш, одпако осцилляции за фронтом разрыва всо >кс заметпы. Па рис. 5>.2 па представлены результаты раг"итов при 0= = 0 = йе Здось же иа рис. Г>.2>>,б, гд< уиазвп спектр, для сравнении приведопы сиектральггые характеристики региегг>гя, полу чепиого исевдоспектральным методом (штритовая липин).
Вид>г>ь что рошение воспроизводится удовлотворитольпо,— >га развитой стадии его ггро4>иль близок к прямоугольному троугольш>ку, ширина размазывания разрыва составляот к момопту 7=40) примерно четыро сеточным интервала. Хг>рви>ее пачоство решения подтверждается и Г>лизостыо ого спектра к зталоппому. Таким образом, в даипом расчете искусствоппвя диснорсия в достаточпой степоии скомпецсировала сксмпуго дпсиерспш, и выбрвппой пскусствоппой визкости (и= 0,005) оказалось достаточно для того, 287 чтобы погасить колебания в решении н е то же время не сильно размазать разрыв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
