А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В общом случае и систему (1.1) — ( !..1), помимо Е и 11, входяг векторы 0 и  — электричоскан и магнитная нпдукцпп соотвотствонпо. Для пзотроппых сред справедливы лппсппыо соотпогпепип Н = еЕ, И = рН, где безраэмерпью коэффициенты е и )г, называемые диэлектрической и мнгнптпой проппцаемогтыо, опргделя1отсп снойствамн конкретной среды. В магнитной гпдродипамике ооычно рассматрпиагот такие среды, где е п !г мало отличают< я от единицы.
Поэтому и даяьн( йшгм будем считать г = 1, р = 1 и использовать уравнения в форме (1.1) — (1 4). Уравнения (1.3), (1.4), вообщо говоря, яплгнотсн следствиями уравпеппй (1. (), (1.2) и том смысле, что гглп гоотнопп пия (1Л), (14) выполгв пы в начальный момент времени, то они будут справодлквы п о лгобой другой момент, Действнтслт,по, применяя операцпю 4(г к уравнению (1.2), нолучпм д — й!чН = ~5 и откуда и сгн дует одно пз сформулированных ут1юрскдопнй.
Бтороо утверждгппо нолучаотгп нз уравнения (!.1) поело прпмспгнпя к пгму операция гйх и учота соотяогпеппя (1.5). Однако, несмотря па то, что уравнеппн (1.3) и (!.4) пг вол~потея шюависимымп, пх иногда пспользу|от прп регпонпп эздвч вмссто одной из проекций уравненпй (1.1) п (1.2) гоотвотствепно. 295 Уравпопин магнитной гпдроднпампки обтсдпниют уравнепин газодинамики, в которых учтены эффекты, связанные с влиянием электромагнитных нолей, и уравнения Максвелла, описывающие электродппампческие процессы. В дифференциальной форме уравнения Максвелла обычно записывают следующим образом [42, 44, 45]; зк ., ! дЕ го! Н =- — '1+ — —.
с с сзс' гоь Е = — — —. дм (1 '-) .2 с дС сбг Е = !лр„ с!ген = и. 2. Соотношения на разрыве для электромагнитных величии. Дифференциальные уравнения Максвелла справедливы в тех областях, где решение обладает достаточной гладкостью. Если жг в среде существукгг поверхноспь на которых функции, входящие в дифференциальные уравнения (1,1) — (1.6), терпят разрыв, то необходимо цспользовать дополнительные соотношения, связывающие электродппампческне параметры па разрыве.
Получаются они из интегральных уравпоппй Максвелла, к ~тороп мы здесь ш приводим, и в системе координат, где позерхпогю разрыва покоится, выглядит следуккцпм образом (рпс. 6.1): (П~)з (И )1=6, (/ )з — (Л„) ~ — ~л~/, (1. 6) (Н,)„— (Н,), = — (1Хп), (Е,)„— (Е ), = О. Здесь Е„, τ— нормальные, а Е,.
Н, — касательные к поворхностп рззрьпш Е котпппп пты векторов напряженности электрического и магЕ3 нитного полей. ) — плотность поверхкостного тока, д — поверхностная плот1 ность электрических зарядов, и — век- '!16 ~ тор единя шой нормали к поверхности Ж ','(%/' Х. Таким образом, пормальпан компо- (/// '' нента вектора напряя'енностн магнит- .ь//' 7 ного поля и тангепцпальпан — электри- ~К и ского поля пепр~ рызпы.
1'азрыв поррас. 6Л калью й компоненты: лектрнческого поля опргдгляотся поверхностной плотпостшо электрических зарядов, з разрыв тапгопцпа:и пой состав;инощой матчпп пото поля — плотностью поверхностного тока. уь Прибчиження магнитной гидродннамики. Пылко уже отмечалось, что в магнитной гидродинамике часто рассматриваются греды, для которых с хорошей точпостью дпэлгктрп и гкап и магнитная проницаемости равны единице. Кроме того, считается, что среда является пзазппейтральшойг, т.
о. суммарный электрический заряд в любом элементарном объеме равен нулю: р, — О. В магнитнои гидродинамике предполагаотся также, что проводимость среды достаточно велика, а рассматриваемые процессы протекают так медленно, что членом (1/с) /7Е/дт (током смещения) в уравнении (1.1) можно пренебречь по сравнению с током проводимости 1. Энергия электрического поля прп этом оказываетсз малой по сравнению с энергией магнитного поля Ет « Н' (1.7) Конечно, отбрасывание токов смещоппя упрощает уравнения Максвелла, однако следует иметь в виду, что прп этом изменяется пх структура.
Поэтому применение упрощенных уравнений для аналиЗа явлений, где не выполнены сделанные предположения, может привести к искаженному опнсапнго этих явлений. Так 296 электромагнитные волны в пустоте распространяются со скоростью с. Уравнения же магнитной гвдродппамики, где токи смещепия опущены, дают в этом случае бесконечную скорость распрострапспия электромагнитного поля. С учетом указанных приближений система уравнений Максвелла приобротаот пид 1 = — го! Н, — — = — го! Е, г)гт Н = О. (1.8) с ! дП 4ч ' с т Уравпош>я (1.8) записаны в покоящойся системо коордйпат.
При пероходе к спстемо коордкпат, двпягущсйся отпосптельпо исходпой с некоторой скоростью т,;шо>гтродппамичсскпе параметры измени>отгп. Е>лп пренебречь ролятпви<тгкимп зфф> ктамк, что возможно прп условии т9с' м1 которое в мзгпптпш! гидродинамике предполагает>п вьп>олпенпым, то формулы >прохода к движущейся ш>стеке ш>ординат (параметрь! в пгй >пше и пы >птрпхами) выглядят так: Н' — П. Р = >, Е'= Е- — (.Х Н).
Такпз! образом, урзшп пкя Максвелла в движущейся гпстгз«координат запись>в,>вите >лоду>ощпм образом [01) 1 = — го! П. — — — -= — го! (т ~ Н) — го! Е, й!> Н = О. (!.10) 4гВ ' г «! г Уравп< пня (1.10), >реди которых лшпь !несть и!зависимых скалярных гоотеопюппй, содержат девять неизвестных фупкций (комшцп*пты >и пт»р>ж 1, Е и Н) . Чт»>бп.> зази>путь систему (1.10), обычно пгнользуют деполнптсльпоо урзввепие вида ! = !(К, Н, т, ...), гчп,>ынаюшгг различные электро-, газо- и т> рмодппампчсгкп! то>рокт> риг>пкп гр>ды.
В прогтгйппм случае:по гоотпопп пп< тзковш ! =аЕ, (1.11) где скалвр а ггть злсктропроводпость среды. Урзвпеппо (1.! !) записано в спгтгмг координат, где рассматриваемый злгмопт вещества покоится. !)по косит пазванпо закова Ола. И бол> с обп!ом случае в заково !!з>а присутствуют слагаемые, которые зашпзт от напряжскпостп магнитпого поля и описывают аппзотроппю проводимости, слагаемые, связапяые с градие»том электронного давления, и т.
д. 4. Уравнении мапштпой гидродпинмияи в векторной форме. Уравкоиия (1.10), (1.11) описывают злектродииамичоскую часть задачи. Влияние газодинамических процессов проявляется здесь через скорость днижеппп среды т и (1.10), а также элсктропроводпость о (см. (1.11) ), которая определяется термодипвмическпм состоянием вещества: о = а(р, Т) .
Обратимся к газодииамической части задачи. Соответствующая система диффереициальпых уравнений была приведена в гл. 1 (см., например, (3.2) — (3.5)). Влияние злектромагнитиого поля 297 адесь скажется следующим образом: и ураввеиня движения (3.3) н энергии (3.4) войдет объемная электромагнитная сила, плотность которой раина Е = — (1Х П!. (1Л 2) 1(роме того, и ураипении энергии иояиятся объ мньи источники тепла Д, сиязанн>ле с нагревом кр>жодящсй сроды электрическими токами (так называемое длсо>)лево тепло).
Мощность этих нсточпнкои вычисляется но формуле (1.13) Р =(!Е). Принимая ио викманно ванов Ома (1Л1), выражение для д>коулоиа тепла мо)кпо нрсдстаинть также а индо >,) = !г)о = оЕ'. (! 1:!) Таким образом, полная снстома уравнений мапо>тн> й >икр»- динамики в персменнык Зйлера нмост ш>д дд > Ц » р» (!.!4>) — + (Д )».= — — Дгьк! р + 1, 1 =. — — ". ().!5) д» ! 1 (!';и! д! ' р с» г = — го1Н> ()Лб) —.= го! !» Х Н! — сто! Е, >)г»Н = >), дй (!.)7) д> 1 =оЕ, (!.!3) — ~ + —., -! (»У)~[ + —.,~= — >)!».>»+у+(1»),);»И, д> '> 2) Р ) = —, Ъ»' = — и дга>! Т, !>Е! ( !. )!)) р =р(р, Т), е = е(!>, Т), ( !.2()) к=к(р, Т), о=о(р, Т), (1,"! ) Здесь 1 н с> — нлотвость силы н мощность тенлоиык эст>ю»»>;о > в пересчете на единицу массы.
К ураиневи)о (1.17), которое носит название уравнении падук. ции, добавлено соотношение с)!»Н — О. Как уже отмечалось, это соотношение пе является пезависнмым (см. и. 1), но иногда ис- нользуетсн вместо одной из проекций ураинш>нн инду>щии. Со- отношения (1.21) выражают физические свойства среды — тепло- и злектропроиодность. Построение этих зависимостей длн конкрет- ных веществ и широком диапазоне изменения термодинами юскнх параметрои р и Т нродставляет самостонтольиу>о серьозиу>о проблему. Уравнение индукции (1Л7) можно нреобразовать к несколько иному виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
