А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Приращение т( в (3.27), а также нроизводяая Ит(/с("„- положительны (см. рис. 6.6), поэтому К~ (О, что возможно, если выполнено одно из двух условии: са т(Ыт(с., л, Я, (с Выше отмечалось, что разность Р»тт — Н о((~п) не обратпается в нуль, следовательно, ни в одной точке структуры волны относительная скорость фронта не совпадает с местной альфвеновской скоростью (Рт()»~с~в П,'. т(т(бя). Учитывая это обстоятельство, можно сделать вывод, что неравенства (3.26) и (3.28) одповременно могут выполняться лишь в следутощих двух сочетаниях: ,ег и'и ииь ууечак Фчч.' зволюцкоппости магпито) гидродииамических ударных нолп (см.
[5(1) Сопоставлял неравепства (3.29), (3.30) с фор- Р пулей (3.22) для магпитпого колл 1Х, можпо сделать вывод, что в быстрых ударпых волпах сжатии паприжеппость поли возрастает, а в медленных — падает (рис. 6.7). В случае, осли продольпан компопента магшппого полнотсутсгвуот(тт»,=0), то с-=О, ел=О и созможпы лишь быстрые 4-. у -'с у ~~., з Гис.
С.С и те ,"с1ивак Му лет ° Рис. 8.7 магпитогидродипамическио ударпые волны, удовлетворнющие у словию .'Юе >с+а ге+ лч Чо Ыг(г т=г~+ г Ч~ 818 Условия (3.29), (3.30) выделяют два возможных тина ударпых волн — соответствепно быстрые и медленные магнитогидродина- ,Щ мпческпе ударные волпы быплрьи игл сжатия (рис. 6.6). Этот факт аналогичен ,1 результату, который дает теорема Цемплепа в слу/ чае газовой дипамики.
Отмотим, что обычпо условии (3.29), (3.30) получают па оспове анализа ОбРатимсЯ тепеРь к слУчаю, когДа Разность 1!от! — Н„'о/(бл) в (3.22) равна пулго, т. е. скорость двингепия волны отпосительпо газа пв фооге совпадает с альфвеновскои: 1)о = алл. При этом 2 оказываетгя, что соотношения (3,19) и (3.20) совместны лишь при условии (ЗЛ1) Формулы (;~.17), (3.!8) с учетом (3.31) дагот и = ио, ь'= — ьо Из уравпепня энергии (3.21) следует Т = — То. Таким образом, все термодинамические параметры в потоке постоянны, Неизменна п продольная компонента скорости и, так ьто вязкость тождественно равна пулю (ю — = О).
Для магнитного полн и поперечной составлягощей скорости получаем 11' = Но. и = ио — )~до!(!я)(Н вЂ” 11о). Отбрасывая тривиальное решение Н = Нж и = ио, имеем Н~ = — Но, и~ = ив+ 2НоУдоl(бл) (3.32) 1)оо = ал,о — алл = 1)г Напомним, что мы рассматриваом случай, когда вектор напряженности магнитного поля все время остается в одной плоскости. -де т е о и, 'о1смоесво ,чзом Го При этом оказалось, что па разрыве этот вектор повер- Гво.
6.8 пулся па угол 180 (рис. 6.8). В общем случае угол поворота вектора 11, может быть лгобым. Разрывы указанного типа называют вращательными, па рис. 6.6 им соответствует точка Л, Рассмотренные вьппе решения разрывного типа персмепгаготся по массе. Наряду с ними в магнитной гидродинамике существугот разрывы, через которые поток вещества отсутствует. Если при этом компонента вгагпитпого поля в направлении, псрпепдпкулнрпом поверхности разрыва, не равна пулго, то па таком разрыве скорость, давление и папряжегпгосп магнитного поля непрерывны, скачк~г могу~ претерпевать плотность и температура. !(о аналогии с газодппамикой этп разрывы пазывагот контактными.
Если же векторы папряжегшостп магнитого поля но обе стороны от разрыва параллельны поверкпости разрыва, то вдесь могут измениться скачком касательная составляющая ско- Построенное решение является разрывным (функции Н и и— изменяются скачком, остальные параметры — непрерывпьг) и представляет собой волну, раснрострапяющуюсн со ско- й ростью дльфвепа: рости и втагпнтпоа поле. Иснытыиатот скачок и термодинамические функции, причем величина перепада газокипетического давлепил такова, что полное давление р+Нт/(Яп) остается непрерывным, Разрывы этого типа называютсп тангенциальными.
й 4. Полностью консервативные разностпые схемы для уравнений магнитной гидродннамикн Электромагпатпгл сала действует в продольном направлении: (=(/, О, 0), /= — >Н/р, тгпт что дои>кение срады происходит лишь в направлении осп хс т= Ин О, 0). Уравнения, аа псываюшие магпптогидродипамические точепип такого типа в лат рапжевых массовых координатах, получаютсп пз систамы (2.4!) — (2.20): —,', ( —,') = —; да/дт = — др/дг + /, / = — !П/р, (4>Л) дх/дг = и, (4.2) (4>.3) тт ем т = оЕ = — —, 4>з ов ' (4 4) дг,/д> = — рдо/да+ а, 9 = >Е/р.
(4.5) Уравнение знсрпнт (4.5) записано в кеднвергентпой форме. Пак отмечалось и ~ 2, оно может быть преобразовано к полу- Ззо Вводные замечаннп. Особенность полностью консервативных разнастот,>х стем (см. гл. 11) состоит и там, что такие схемы адноаргкапко апнроксимирутот различные виды записи систамы дифференциальных ураапанпй, кшкдый пз кото!>>ах отражает определенный физический аспект пвлепип. Благо;терл этому такие схемы правильно переда>от, например, соотношения в>ежду разными формами энергитт (в газадипамике между внутренней и штпетической), в та ерема как схемы другах типов наро>кдают фиктивные источники знаргии, которые па грубых сетках могут заметно исказить решение. В этом параграфе мы получим полностью консервативные схемы для системы одномерных настациопарпых уравнений магпитпоп гпдродипампки [69).
Обратимсл к случаю плоской симметрии и длл простоты положим сначала, жа продальпан компонента магнитного полн отсутствует. Тогда можно выбрать систему координат так, чтобы ноперочное магнитное поле имело .>ишь одну состаалятощую, например, Н = (О, Н, 0). Электрический ток и электрическое поле также будут иметь ао одной компоненте: т = (О, О, т').
Е = (От, О, Е), т =- оЕ =- где УУ, = т ( (оо — о,) УУ~о "Е, -1- (оо — 0,5) УУи Е ' ]. Обратимся тснсрь к уравнению нпчукннн (4,11). Используя формулу для разностного дифференцирования нроизвсдсния (4.16) ~а) --'" -"% (4Л7) которая слсчуст иэ (1.21) гл. 11, а чякжс тряянснис неразрывности (4.9), можно преобразовать (4.11) к виду /У~,'р =- — /)оо " -(. Ео (о,и (оч) Умнояоиог нолучопнос выражение ня П/(8я), я уравнение индукции (4.11) на ///(8л) и возьмем их полусумму. Вновь нрименяя формулу (Уь(7), где у=-Н/(8л), а 1/с=П/р, приходим к результату ~ о)- УУо 1 УЯ УУчоза (1.18) 8яр /о 8я ' 4я Это равенство яннроксимируст дифференциальное уравнение (4.7). Сложим его с (4.14), где джоулево тепло прсобразовано в соответствии с формулой (Уь15): + ( Е ' П " ( — В ) + /„(о о) УУУУ г(о,м +,1 Прсднослсднес слагаемое в т~равой части этого равенства с помощью формулы (1.21) гл.
П можно представить в виде УУУУ (о,о) /УУ( — ()и ( — 1) „(о,о)~ (о,м(УУУУЧ Таким образом окончательно получим (. + -",-+,— '„",), = [~ ом ( 1) П( — и П( — (ч) <о,оз~ ~ Е ' УУ~~'и ( — (ч ) + о (4.20) (4.21) ,1,1 + 1,1 Г/+ (/1Д/(8 )) ~ (о,о) 2(о Полученное соотношение аччнроксимирует дивергентное уравнение энергии (4.8). 1(ак видим, в общем случае на изменение полной энергии п гтемс оказывают влияние фиктивные источсшки ((.
Бак и в газодинамике, онн воаникают из-за рассогласованности отдельных рааностных уравнений схемы, и на грубых сет- ках могут достигать значительной кслнчнны, искажая картину исследуемого явления. Если положить а, а, р, а, 0,5, / = — (УУУ)'/[Зп))-, (1 22) то дисбаланс энергии о о') + А будет тождественно ранен нул)о (см (4) 16), (4.21)).
Получающаяся прн этом нз (4.9) — (Уь(З) схема является полностью консервативной,— уравнение опер)ои в ней с помощью алгебраических преобразований сводится от нсднвергептного вада к полудивергентпому и дивергсптпому. Заметим, что условия полной конссрватнвности (4.22) )стапанлква)от для электромагнитной силы / днзсргснтпук) форму, обеснсчввэьчп)ую выполнение разпостного аналога закона сохранения импульса. Однако, используя уравнение (4.12), ей можно прядать и нсдивергептный внд / = — 0,5 ~ УН«/р + )УУ«/р«1 (4.2З) аггпрокснлгируюп)нй соответству)о)цсе дифференциальное вьгражспне. !!остроевное семейство полностью консервативных схем содержит два свободных параметра: вес у газокнпстнчесцо)о давления а, и р — вес (в уравнениях индукции и энергия) у напряженности электрического поля Е. Как говорилось выше, член, опвсывающнй Лжоулев )ы) ров д, в уравнение энергии входит несимметричным образом, ло в свою очередь порождает песиммстрию дивергептпого уравнении энергия (4.20) и дает первый порядок аппроксимации 0(й).
От этои) можно избавиться, если использовать симметричное выражение для «у в (4.13): У - 0 5 ГСУР.))»л)Е'а) + ('(+ 1)УР. (+ 1))'» з)й'Э) ( '-1)1 В этом случае псдивергентное уравнение энергии приводится к следующему дивергонтному виду: ( +» г и (+ !) УУ ) ~( ьа) (УУУУ)«) <»,»)~ Заметам ещо, что заков «сохранения объема» 1/р = х, в рассматриваемой схеме выполнен.
Это соотношение зависит лишь от способа разностной записи газодинамических членов, а они ваяты из гл. 11, где построены полностью консерватнепь)с схемы для газодинамики, обладающие таким свойством. Мы построили полностью консерватнзпыс разнос)пью сломы длн системы уравнений магнитной гидродппз))п)цг на основе семейства схем с неднвергевтным уравнением эпсрпш. Естественно, что аналогичные построения можно повторить, исходя нв Зйй семейства с полудивергентныи или дивергентвыи уравнениеи энергии. В последнем случае исходное семейство схем будет консервативныи. Анализ показывает, что получающиеся нри этом схемы тож- дественны полностью консервативной схеме, построенной выше. Напомним, что аналогичный факт имел место и в обычной газо- динамике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
