А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Однако здесь существуют и некоторые различии. В консервативных газодинамических схемах дисбаланс внутрен- ней энергии имеет дивергеньный нид, так что фиктивные источ- ники носят поверхностный характер. В магнитной гидродинамике дисбаланс внутренней энергии произвольной консервативной схе- мы содержит, вообще говоря, фиктинные источники объемного характера. В заключение этого пункта выпишем полученное семейство полностью консервативных развостных схем для системы одно- мерных плоских уравнений магнитной гидродинамики в случае, когда продольная компонента ь(агвитного поля отсутствует: (1/Р)(< ва ' и<= о ' "(= Е), +/ <а,ь) <а,ь) (а) / — — (ЕЕЕЕ/(Ял))Г = — 0,5 [ ЛЕа/ра -(- (Й,/рД, (4.25) (ЕЕ/р)( — Е®, < = о Е = р.
ЕЕ;/(бя), г<= — р н,' +д, (а) <а,ь) й = 0 5 ~(е/Ра)(а ые (з) (((+ 1)/Ра ( ( Ц)(а,ь>е(Р)(+ 1)1 Уравнение энергии, представленное здесь в недивергентной форме, с помощью ранпоснльных алгебраических преобразований приводится к одному из трсь нядоа: с~ . /> (1/р) ~ = <Е, —, = — ( ).+ .>- (+ (>1 / <а>г<ал»' 4 + ~ ~/с +/(+1)> ' (+1)~+д, а +аь(+() ЕЕ (+' ' + — '= 4 элр <а>+ (пм)а) <ьь>~ (я'™,'и) При значениях свободных параметров а =-5 = 0,5 получается единственная полностью консервативная схема второго порядка аппроксимации.
В остальных случаях порядок аппроксимации равен 0(т+ Ь'). Ыы рассмотрели простейший вариант, когда вектор папряжоппости магннтного поля ортогопалеп осн х. Все сказаш>оо без труда обобщается я ва случай отличной от нуля продольной компоненты магнитного поля. Система соответствующих дифференциальных уравнений приведена в 2 2 (см. фор 22 А. А оамьракна, ю. и. Паааь 325 мулы (2.11) — (2.20)). Полностью консервативная разностная схема здесь выглядит так ь= — 'ТТ-=и Е, 4я ь Для нростоть) мы ограничились случаем, когда магнитное поле и скорость имеют лыи)ь но одной иоиерсчиой составл)кощей: Н = И1о, Д, 0), т = (с, и, 0).
Учет г-комноиеит полн и скорости проводится точно так же. Уравнение энергии в схеме (4.20) алгебраггческиль путем можно свести к дивергентному виду (- ' ' .') о + ь(+1), иь+ кь(-', 1), иь') 4 4 Ззр ь — г ь )а))ро,ь), ьг аь), ())Н):в (о,ь), ь о г )о,мТТ(ол)) (4. 27) 3. Результаты численных расчетов. Численные расчеты под- твер)кда|от выводы, полученные в результате теоретического ана- лиза разностных схем для уравнений магнитной гидродинами- ки [58). П качествс тоста рассмотрим задачу о поршне, который вдви- гаетсн в газ с настоянной скоростью н порождает в нем быструю магиитогидродинами )закую ударную волну.
! аз идеально проводящая (о — °, К=О), истенлоироводный, подчиняется ураннсьн)нм состояния) р=ЛрТ, е =ЯТ)(7 — 1) (Л= 1, 7 =5/3), и в начальный момент покоится (и(г, 0) — О, и(ь, 0)=0). Остальные иараистры ири с=О имеют следу)ощие значения р(г, 0) = 1, Т(г, 0) = О. )! = ",507, Н(г, 0) = 1.401. Скорость поршня за;ииа, сс коьгиоис)пы раииь) с(0, ь) = О,чй, и(0, ))= — 0,2)735.
Значении иарамстрои точения, которые устаизьлижпогсн за фрон гом возиикжощсй волны, вычисли)отса по соитии)иеииям Г)огоиио: и = О,Б, и = — 0,2)735, Т = 0,0117, р =1,3:), П вЂ” ',Х(Г'. Па рис. 6.9 приведены результаты расчета описанной задачи о пори)нс на чисто неявной разностной схеме с нсдивсргеитиыи 326 уравнением энергии. Штриховой линией указаны профили температуры в некоторый момент времепи, полученные для двух значений шага сетки по времени тг = 24т», тх = 4,2т», где т»вЂ” вЕличина, вычисленная по критерию Куранта для параметров потока за фронтом волны, причем в качестве скорости звука в этом критерия ггсггользоггапа скорость бгзстрого магнитного звука.
Сплошной лппией здесь папесепо точное решение. Как видно, Гяс. 69 погрешность в определении гсяггературы значительна (до 70 а(о). Прп уменьшении шага т погрешность убывает. На этом же рисунке нанесены резулыаты (штрихпупктярпая линия), полученные для тех же зпачешгй т по полностью копсервативпой схеме пораого порядка аппроксимации,— свободные параметры а и (г в (4.25) разны одпнпцг. На рвс. 610 предста»э< пы результаты расчота той же задачи по чисто неявпой консервативной схеме (штриховая линия) и полностью консервативной схеме первого порядка аппроксимации (штрихпунктирпая линия) при т= 1,6т». Б первом случае отклонение численного рсшопвя от точного составляет около 20%, полностью консервативная схема хорошо воспроизводит точное решение.
Таким образом, в магнитной гидродинамике дефекты классических консервативных схем, связанпые с дисбалансом внутренней энергии, проявляются даяге на простейшей тестовой задаче, где граничные условия не изменяются во времени. Это происходит иа-за того, что указанный дисбаланс содержит фиктивные источники энергии объемного характера. Приведенные выше примеры расчетов свидетельствуют, что и в магнитной гидродинамике полностью консервативные схемы 22* 327 обладают определенными количественными преимуществами по сравнению с прочими схемами того же порядка аппроксимации.
4. Случай цилиндрической симметрии. Не останавливаясь на подробностях вывода, который аналогичен плоскому случаю, приведем некоторые результаты, касающиеся разностных схем для рвс. Еде случая цилиндрической симметрия. Пусть продольная компонента магнитного полн отсутствует: Н, = — О. Система соответствую- а щвт дв~(н(1ереппвзгп пыл уравнений и лагранжевых массовых координатах приведена и и. 4 З 2 (2.26) ). Аппроксимирующее ее семейство полностью консервативных разкостных схем выглядит следующем образом: (,~о.ч зо,м) ., ь о,м г гоьм~ во ~ у ( — '),— (4 2й) ~1ю (р.м,.егози) — работа внешних магнитных сил; оо 1-1, '" — Ее" (6~ "),)~'т1 — электромагнитная энергия, поступившая в область, занятую газом, через границу в виде потока Умова — Пойптяпга.
Заметим, что интегральный баланс (4.30), так же как и дифференциальные уравнения (4.28), (4.29), записав для массы газа, приходящейсн яа единицу высоты и одяп радиан азямутального угла. й 5. Реглепие раэпостиых уравпеиий электромагнитного поля 1. Метод раздельных прогонок для разиосткых схем магниткой гидродииамики. По сравпеппю с газовой динамикой система уравиений магниткой гидродинамики с теплопроводпостью является более сложной,— здесь появляются дополнительные уравнения, Иноаноо ооеиоат оо !~о-~.' о ооо Лоотом ~+ лго оооо Ряс.
6.И описывающие электромагпктпое поле; кроме того, в прежних уравиеяиях появляются дополпительиые члены. Поэтому для решения разиостиых схем в магяитпой гидродинамике целесообразио использовать метод раздельных прогояок, изложенный в 3 4 гл. 1У. Естественно выделить уравнения электромагнитного поля в отдельную группу (магпятвую часть) я рассматривать ее наряду с динамической и тепловой группами уравнений. 330 Схема метода раздельных прогоиок для этого случая пред» ставлена яа рис. 6Л1. Кроме внутренних итераций, в каждой иа отдельпых групп — динамической, магпитпой и тепловойз а также впешпих итераций, предусмотрены промежуточные итерации между группами уравнений (па рис.
6.11 такие проме жуточные итерации указаны между магпитпой и тепловой группами). Комбилируя в зависимости от характера задачи число впутреппих, промежуточных и впешппх итераций, можно достичь заданной точности за мипимальпое время. Электромагпитпая сила, входящая в уравпепие движения, и джоулев пагрев в уравкепии зпергии вычисляются в магпитпой части и во впутрелних итерациях в группах 1 к 1П пе участвуют. Точно так же скорость, плотпость и злектропроводпость (зависящая от температуры и плотности), фигурирующие в уравпевпях злектромагкптпого полн, во впутреппих итерациях в части П считаются пеизмекпыми. Заметим, что уравпепия злектромагнитпого поля лвпейпы.
Поэтому при ях числеппом решепии необходимость в итерациоппом процессе может возпкклуть лишь в случае, когда злектропроиодность зависят от канряжснпости магнитного поля, моделируя эзизотроппю среды, яля грэппчпые условия имеют какой-либо специальный (неликейпый) вид. 2. Особенности расчета уравнений электромагнитного поли при малых значениях злектропроводности. 1'азкостпые урзвлспия злектромагкитпого поля, которые решаются в магпитпой группе 11, в простом случае плоской симметрии при отсутствии продольной компоненты магнитного поля выглядят следующим об разом (см, 4.25) ): ( ' ' » 4* (5Л) Опя записаны для ссточпых фупкций Н, Е, 1, параметры р, о„считаются известпымв.
Исключая из (5.!) фупкции 1 и Е, приходим и уравиепкю для напряжеппости магпитпого поля Н: (5.2) Это разпостпое уравпснке второго порядка апалогичпо уравне ппю теплопроводпостп (см. (6,11) гл. П); роль коэффициента тсплопроводпостп играет выражение 1/(4ло~) (так пазываемая магпитная вязкость). 11рк 6 =0 уравпепие (5.2) стапоэится яэпым, его устойчивость имеет место лишь при ограяичепии па шаги сетки (см. $6 гл. П1): (5.3) В задачах пизкотемпературпой плазмы, где проводимость среды мала, а на отдельпых участках может даже обращаться в нуль, условие (5.3) приводит к слишком жесткому ограничению ма шаг сетки т. Использование явных схем для практических расчетов оказывается в атом случае неэффективным.
Обратимся к неявным схемам, которые, как отмечалось в 4 6 гл. 111, являются формально безусловпо устойчивыми. При 5 ) О соотношение (5.2) может быть переписапо в виде трехточечного уравнения относительно зпачепий магпитпого поля Н па (1+ 1)-м слое: А»Н»"', — С»Н»~' + В»Нф',, = — Е», (5.4) гдо А» 1 В =А „, В ==+А +В„ М» Р» — — ~ — +(1 — )1) т~ — 'Н-) ~, ~ р ~4ла~ й = 1, 2, ..., )Ч вЂ” 1. (5 6) В индексной форме зти соотношения выглядят так: Е»+т — Е» — А» Н» = — В», 1+» 1+» 1+г 1+» С(»+,Е»+, — Н»+, + Н» О, '+» 1+» 1+» 1+1 (5.7) (5.8) Величины р, р» и о» считаются здесь известными. Уравнение (5.4) при добавлении краевых условий (например, первого рода) легко решается с помощью метода прогонки (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
