А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 66
Текст из файла (страница 66)
)!ыяспим, как в раэпостпой схеме (6.13) — (6.16) обстоит дело с закопан сохрапгппя электромагнитной энергии. Ум»го»ким уравнение (6.15») па У»о'» и преобразуем от;!е:сьные его члены. Первое слагаемое: С-одсд' ' =~о — — +, =0,5Е, (уо)с. (6,17) 3. Полностью консервативная рааностиая схема для уравнений цепи. Прп использовании метода раздглькыт прогопок задача (6.9) — (!».12) для уравпгпий хиптромагпптпого поля с впош»сей электротехнической цепью рюпастся и;пшироэаппо от динамических уравпонпй и уравнения эпгрпш.
!'азпостпые соотпопюпия, аппроксииируипцпе ураэпопня и юн (6.»!), (6.10), были построены вьппо,— опн входят в полностью копсерватпэзун» ра:псостпую схему (4.28) для задач магнитной гпдродипамппи с осовой симметрией и пи»пот впд Третье слагаемое с помощью формулы (1.19) гл. 11 представим в виде 1т(е,)Г(о,ь) = [р('ь) + (О, 0,5) трД [.Г(оо)+ (0,5 — О,) тГ(] =1(о".Г(е ) + 60, где Ы=т[(0,5 — Оо) г'(оы),+(Оо — 0,5)Роый,].
(6,18) Выразив У(~о> нз разностного уравнения (6.16), получим $(оо)Г(о,ь) Со$Р(о.юр 1 Я 0 5Со(рь)т + -5. (6 10) Проанализируем правую часть: гтз>(т~ Ь) — — '(т.тг)()ьЙ вЂ” ть — ")- г) ( гк 㻠— — .Г 1п= — Г 1п — + — Л7 1п= — 1п— (Г- Л И~ 1 Г И Л т т)т т '» г)о , „и,') г»т ь т)т Обратимся теперь к разностному уравнению движения в схеме (4.28), которое рассмотрим в последнем узле сетки (㻠— г»)/т= = и»' .
С его помощью получим, что (ол) 㻠㻠— чи)ю~) )т и)1'~)( 1п = =1п = 1п 1 — т= г» г» г» ) и(о,ю о Ги(о,ь)(,ь — — — — — + О (ть). (6.20) г„2 т Можпо получить и другое выражение г» ггт 1п = = — 1п — = г» г» ня,ь) и(о ь) ь н)иь) и»' ь [н = — 1 1+ — "1= — '— + — ~ — "1+О( )- г» ) г» 2 ( г» ) „~,ь) ь / (олР,о/ ~о,ю (-о +,'и '' .' ' +0(.)= г» 2 г» и(о,ь) ь )' и(о,ь) ~ о — + —,~ — '" ) +О("). (6.20') Взяв полусумму выражений (6.20) и (6.20'), окончательно имеем о)л~ ори "и 'и' "ь' 1п =' = — т + 0(т').
л глгл (6.21) Собирая все результаты (6Л9) — (6.21) и принимая во внимание соотношение(Ьч' )л =21 ', вытекающее из краевого условия (ол!т <ал! (6Л4), получим после суммирования по !' !ь у~+1, ..., уз разностный баланс энергии, аппрокспмврующий дифференциальное выражение (6.8) е'~ — е'! — 2л(Л -,'- !!) г-0+ Л. (6.22) Входящие сюда функции записываются так: ю = сдпг,, ~.».Ь ~ ОЧ ~абс,(гт, 12 ! д =,'т 1),У'"'.т!" !г, И = — '~ —,— !:!,,'! (1", (6.24) При этом условии в силу (6.18) дисбаланс энергии тождественно равен нулю.
"1тооы симметризовать выражение для джоулевых потерь па внешнем сопротивлении (! в (6.23), естественно положить такясе 6~ = 0,5. (6.25) Оставшийся пока свободным параметр 6э выберем из следующих соображений. Запишем интегральный баланс энергии плазмы (4.30) применительно к рассматриваемой здесь задаче об электрическом разряде в геометрии т-линча Ыт 1)!! = Я вЂ” А — П.
(6.26) )тт (С) 23) т, 6 тт А — ~ '""''""' ')'( ч ' й — ~ 30т 1~ "л'лгл '1 Вообще говоря, прп записи балапса (6.22) отброшены члены порядка 0(т'), входящие в (6.21). !!ссложный анализ показывает, что эти члены могут стать заметпымп липп врк условии ти„/г„-1, т. е. если сетка настолько груба, что граница плазмеяного шнура за одни шаг по врсмопи перемещается па расстояние, сравнимое с радиусом шнура. На практике подобная ситуация пе реализуется, так что отбро!ионными члепамп всегда можно пренобречь. Как видно, разпостпый закон сохранения электромагнитной энергии в общем случае нарушен за счет дисбаланса Л в правой части (6,22) .
Избежать этого можно, положив От = Оз = !),3. Учитывая, что в этом случае электрическое поле имеет лишь осевую, а магнитное — азимутальпую компоненты, и принимая во внимание граничное условие (Ь,)-! =О, перепишем выражения для А и П в (6.26) !» <»е») <»,»>( т)н с т)н, ь (ь) гн' вн' <! вяеяги <! ', р<В> Гь<»,»<1„ Заметим, что выражение для работы газодинамических сил Я в (6.26) равно пулю, так как па оси в силу условия симметрии равна пулю радиальная компонента скорости в«, а па границе плазменного шнура с вакуумом р; = 0; если же плазма заполняет разрядную камеру целиком, то пн = О.
Сопоставим соотношение (6.26) с балансом энергии цепи (6.22), отпормироваппт<м на азпмутальный угол в одни радиан: — (е'! — е'!) —.— Л вЂ”:, ! < — —, (6.28) 2я ' ' эл' Дисбаланс эпсргип Л отсутствуот, ибо мы считаем условия (6.24) иьин!лвсннымп. Члены Л и П и (6,20) и (6.28) выражают обмен эпергясй менсду цепью и плазмой. Поэтому при суммировании уравнений (6.26) и (6.28) о<ш должны взаимно уничтожиться. Следовательно, разпостпая запись работы магнитных сил А и потока энергии П в (6.23) и (6.27) должна быть одинакова. Зто имеет место, если выполнено условие е,- (). (6.29) В этом случае сумма соотношений (6.26) и (6.28) дает (Й л- е<(2я)) )'» = — О/(2я).
(6.30) Формула (6.30) показывает, что элшстиомагинтпая энергия цепи переходит в энергию газа И (тепловую, кинетическую и магнитную), а та<оке частично расходуется иа нагрев (л' сопротивления во вне!иней цепи, Если в задаче учесть процессы теплоперепоса, то в правую часть (6.30) войдут члены, связанные с потерями на излучение энергии. Е!евыполпение условия (6.29) ведет к тому, что в раэностной схеме энергия, ушед<ная из цени, не будет равна энергии, поступившей в плазму. Это, естественно, нарушает общий закон сохранения энергии. Условия (6.24), (6.25), (6.29) «отб<ирают» из семейства схем (6.13) — (6.16) полностью кансереатиену<о схему, которая правильно передает энергетические соотно<пення в дискретной модели. Эта схема имеет вид гл11 и,= У1олЧС, У =О, Ро=Р,.
где го+1 +1 ай =г (+1)= 1 1+1 111 'А + +1 — — ) (Лей.ь1 — 1: й), 1 "А (Ао)» 1 — з,я р;,„(.О р 21 (сй +ой 1) (Ай+»1 1) ро+1 ) от+1 1+1 1 АА А» т. Сз+' й Как видно, уравнения (6.33) с точностью до формул для вычислепия коэффициептов А„и Вй совпадают с уравнениями (5.7) и (5.8), метод решения которых с помощью потоковой прогопки был рассмотрен в предыдущем параграфе. Приведем граничные условия (6.32) к стандартной формо (5,22), (5.23). Очевидно, левое краевое условие (Ьо) 1= 0 следует пз общей формулы (11(1 ~В-1 Л(01с1-~-А (1) 'О) — 1 'О (6.34) при Лц1=0, ъп1=0.
Рассмотрим условие на правой грапице. Перепишем уравнения цепи (6 32) в виде о 2 2 Ь1-ь1 у1,11+1 + 21 — — у )в — — у) 2 / 1+1 Л.; Л,'1 1 ~ 1+1 ,.1 т 2С Выразив из второго уравпепия величину )11+1, подставим в первое и учтем, что о = 0,5(яо)я. Приведя подобпые члены, получим мбв (йе)1з~' + Л11 'Еп+' = Р', (6.35) 4.
Решепие разпостных уравнений поля совместно с электротехническим уравнением цели. Сформулировапная выше разностпая задача (6.31), (6.32) решается при использования метода раздельных прогонок в магкитпой частя. Перепишем эту задачу в индексной форме. Уравнепия (6.31) прииимают вид ~»+1 йй АА (йо)А = )7»~ 4+1 1+1 111 1+1 1 С';+'15 А+'1 (11,) А+'1 + (йо) А" = О, где (а> !~ба ~~о т 2> Л* ) >(М 2 ) г 2 ' 4С т,.>2>)' а к ( к Заметим, что хко )О, Лсн ~ О. Таним образом задача (6.31), (6.32) сведена к случаю, подробно рассмотренному в предыдущем параграфе. Решение ее строится методом потоковой прогон>ш. Следует отметить, что в силу линейности уравнений необходимости в итерационном процессе в этом случае не возникает.
5. Электрическая цепь в задаче о О-нипче. Выше рассмотрен случай задачи о з-пвнчо, когда плазма является одним из элементов электрической цепи, по которому протекает ра>- рядный ток. 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
