А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Введя вектор-функцию Ю = (1!р, г, и, и7, Н„Н„, Я и матрицу О 11>7)(4. ) — П7о/(ои) 0 О 117 (4-) о Π— ! 7оро О о о И О о о о о — П7.0/(лл) О О О О О 7О перепишем систему (3.7) в стандартном виде дВ/д(+ А д1)/до = О. Рассмотрим уравнение ()о((А — ХЕ)= — Х Х'-' — — р) ~ Х~ — (с'ро+ 4 р) )7+сор( р = О. Но = П"',О + Н„'+ П,' (см. $4 гл. 1). Решая его, найдем собственные числа П„ ).7 = О. ).Од — — ~ = р = ~ ал.
(/74 яр = йсае, О Р "1о — РП,-О О О РП, Π— РПо О О О О ан, ау — 7+а — =О, до до П7О дП вЂ” — =(> 4и дг Пртт Н ч'-О зтп значения Х вещественны и различны, что овидетельствует о гнперболичности рассматриваемой системы магнитогидродинамическпх уравнений ( эт.с). На плоскости (в, 1) существуют семейства характеристик четырех типов: дв/сИ = О, с/в/Ж = ~а„ (Рь8) (3.9) с/в/с/1 = .'-аэ, с/в/с/1= ~а . (3.10) (3Л() ст. Скорости звука в магнитной гидродинамике. Характеристика (3.8), отвечатощая собственному значспщо ). == О, как и в случае обычной газовой динамики, является сзптроиийнойа и совпадает с траекторией частиц.
Наклон остальных характеристик в каждой сачке плоскости (в, 1) оиределнется величинами а,. а+, а . косорьсе являются зсагнитаеидродитсатстсческиаи скарастялси варка (массовыми). Лэталпз линейного приближения уравнений мапиппой птдродипамикп. аналогичный топу, который был выполнен дчя акустики в х 4 гл. В показывает, что палые возмущения рлспространятотся в среде с одной пз скоростей а„, а,, а в ззгьчцчосттт от харютера изменения в щтх параметров течения, Величина ал = рП*ь/Ч~тр 2 Зэ( ' 4ар называются быстрои и лседлеииой лсагкитиыьчл скоростями звука, а соответствующие им малые возмущения — быстрой и медленной магннтозвуковыми волнами, В волнах атого типа наряду с поперечными компонентами поля и скорости изменение претерпевают также плотность, давление и продольная компонента нэзывастся ась//тветтаттскай скараетьиэ, а эиисые ьозмутцеоия, распрострапяюпвтеся с зтотт скоростью и виде вьлц,— альт(этттэтттэвскттми.
В звутсовых волнах такого титта давление, и:тотность и продольная компонента скорости остаются неизиеикыип, а возмущение претерпеватот поперечные состастляюттЭио скорости и напряженности магпктпого полн. Таким образом, альфвоиовские звуковыс волны ялляютгя несторе*этсьтъттт,— чти тицьс таза в них испытывают сметцсппя в направлении, перпендикулярном к направленито распространения волны. Замстттэт, что звуковые волны в газодинамике являтотся продольными. Величины скорости.
Продольная же составляющая вектора напряженности магнитного поля постоянна в силу предположения об одномерности течения. Можно показать, что магнитные скорости звука находятся в следующем соотношении (ЗЛ2) а- -а, -а,, ( Указаппгае скорости являются массовыии, Соответствующие скорости распространения малых возмущений в физическом пространстве вычисляются так с =аз/р = //.с/у4лр, сг =аз /р= ~ — '(»з + Нз/(члр) ~ )»»(гз + Нз/(блр))з — сзП„-",/(лр)].
Если коипопсптз поля в направлении распространения волны ранна пу:по (Н„= — <1), то скорости а (с ) и а„(с ) также равны пулзо. В этом азучэо в среде могут существовать лишь быстрые магнитные звукоаыс волны, скорость которых равна с = Уса+ Нз/(4лр) Г>. Магиитогидродпиамические ударные волны. Вращательный разрыв. В магнитной гидродинамике без учета диссипативных пропессов (в частности, о = ), как и в обтичпой газодинамике, возможны решения разрывного типа. Их строгий ана- .
'/ лиз следует проводить па ос- »ы»ь:.,О." позе интегральных уравнепий магнитной гидродинами- »Гсг;.ъйк» кп. Мы преследуем иллюст- г' 1 ративныо пели и поэтому ~рй Ж воспользуемся другим приемом. Наиболыпий интерес представляют разрывные решения типа ударных волн, Рвс. 6Л перемещающиеся по массе. 1(ак мы видели, и чистой газодппачпкс зшжпо получить достаточпо полное представление об ударных волнах, анализируя пх структуру в диссипативной среде.
1'ешепне в этом случае является непрерывным и гладко соодипяот значения параметров течения перед фронтом волны п аа пим (рис. 6.4), причем сами эти значения остазотся теми же, что и в разрывном решении. Гладкое решение уже можно анализировать с помощью дифференциальных уравнений. Удобно использовать при этом автомодельпость типа чбегущей волны». т, е. искать решение 3!3 «размазанной» ударной вол>ты в вттят> /(а, !) = /Д), = — /)г, (3 13) где 0 = сопя! — массовая скорость фронта волны *). Обратимся к системе уравнений магнитной гидродинамит>п для одномерного плоского случая (2.11) — (2.20), предположив для простоты, что векторы скорости и папряжеппостн магнитного поля пметот лишь по две компоненты: ч =- (с, я, 0), 11 =-- ( г1„ю //, О).
Таким образом, мы рассматриваем течения частного типа, кот;>>т векторы напряженности магнитного ш>ля перел фронтом вопиет и за ним лежат в одной плоскости. Запишем систему уравнений в виде ятт ~7» 3» зд ил и„. >>П и' ис Чл ог' т >«ш дл,, и — (!!!)=И„,—., „-=--р+ от о« ' ал ' г!.о 'т (3.!4) и, и ач ) а« ' 1 4л р = г>Т/т!, с = ЛТ/(! — 1). Из (3 13) следуот связь между производными дт/дл = д///д», д//д! = — 1)(д//Н"), с помо>пью которот! система в частных производных сводится к системе обыкновенных днффореициалт,ньтт уравнений т>Ч ло ттт> ~тл тт тт„- я- ~! . яо г! е гг! т!"- «л тте 1 (3.!П) я (»«а-л и ч1 я П тт! П (с .> .! — 1 = —.
( по) — — —, (//и). т!с 'т и ,1 *! Полробво постановка задачи о сцуктуре фронта ударной волны вал»г»л»сь л $6 гл.!. Для улобство дальнейших «ыкладок здесь ттведен удельный объем т) = 1/р. По аналогии со случаем чистой газодипаатиктт в уравнения двтпкешш и энергии вводит>а вязкость ы, так что полное Лавление я складттттаотся из газокипетичоского, магнитного и вязкого. Вязкость ы является в (3.14) тем самым диссипативным механизмом, который обеспечивает «разгла>кивание» разрывньтх решении.
Далее мы иснользуе»т линейную вязкость ы =- — тр (ди,тдз) . (3.15) Проинтегрируем эти уравнения по о от фона (г = о, $ = ), где все параметры имеют невозмущеппыс зпачепия Чо, во, ио, Но, ео, ро и т. д. Получим (3.17) (3.18) — Е)(Ч вЂ” Чо) = у — уо ЕЕ(о — оо) = а — ао Н„о Е) (и по) = 4- (И ЕЕаЭ вЂ” ЕЕ(Нт) — ЕЕот)о) = Нос(и — ио), (ЗЛО) (3.20) ЕЕхо = )в — ко~о) 4т (Нв ЕЕоио). (3,21) Заметки, что еслл в (ЗЛ7) — (3.21) вязкость отсутствует (ы = О), т. е, д= р+ Но/(Ял), то этл уравнения мо.кпо рассматривать как соотнотпепия на поверхпостп спль|юго разрыва, другими словами, как обобщение соотпогпепий Гюгоппо па случай магнитной гидродппамикп.
Будем считать, что газ перед ударной волной покоится: по = = по= О. Бстествеппо также положить, что во =О. Выразим из (ЗЛ7) — (3.20) все функции через удельный объем Ч: о = — Е)(Ч вЂ” Чо), а = ао — ЕЕ'(Ч вЂ” Чо) 0 Чо Егхо/(4я) И Ио о Е)оЧ вЂ” П„'о/(4: ) (3.22) ЕЕ,.„И о пт. д. 4. Иоо — НО О/(4. ) —,.т -~оао — О[[п — [,, о<-,+, й)1— еео ч( о '~)' (т )(" "о) [ 3оЗ 4л )т+ т) ам Д=Е)оЧ вЂ” — ", Л =ий — — ".
4я' " 4л' Это уравнение описывает структуру фронта магнитогидроди- намической ударной волны в вязкой среде. Определив нз (3.23) 304 Заметим, что формулы для Н и и нмщот смьосл, если зпаменатель ЕЕоЧ вЂ” Ноо/(4п) пе обращается л пуль. Подставляя (3,22) в уравпепнс энергии (3.21), учитывая впд уравнений состояния и выражение для вязкости (ЗЛ5), придем к дифференциальному уравнению т1(") и подставив згу функцию в (3.22), можно найти характер изменения поперек фронта волны и других функций. Правая часть (3.23), а следоватольно, и производная, стонщая в левой части, обращаются в нуль на фоне перед волной прп 11 = Ча, Другое значение удельного объема Ч = Чь при котором производная равна пулю, отвечает течению, устанавливающомуся за фронтом ударной волны.
Величина Ч~ определнетсн яз кубического ураепоннн, котороо получается в результате прправннвапия к пулю ныражения н фигурных сносках в правой части (3.23). Й общем случае прп П оь О нронптегрнровать уравнение (3.23) не столь просто, как в газодппампке. Однако определенную инФормзцпю можно нолучнть, и но проводи шпегрнронание, а лишь анализируя поведение решения в окрестности переднего и заднего фронтов волны прн т( = г1о п т1 = т(ь которые при использования линейной внзкости (3.15) находятсн в бесконечно удаленных точках (при '- = ~ ). Прн етом дажо не обязательно знать точное значопно т(ь достаточно того <)а1кто, что НЧ/Н$ О прп Ч Рассмотрног спа шла окрестность пореднего <)Шолта волны Ч = = Чо.
Положим Ч=Ча+ Ч (3.26) где Ч вЂ” малая величина, (т()/Чо <( 1. После подстановки (3.24) в (3.23) с точностью до малых порвого парилка получаем лч Ий тчо (3.25) где постоянная Ло ложат быть преобразована к виду ~о ( о с+.0) ( У1о г — о)/( ~'о сА о) Велпчины со о, с о — соответственно быстрая н медленная магнитные скорости звука, с,,а — скорость Лльфзепа, вычисленные по значениям параметров перед фронтом ударной волны; .'Йа— зйлерова скорость фронта ударной волны относительно газа пе- РеД волнои: Ыо = ЙЧа Рассмотриог ударные волны сжатия, для которых Ч < О (рнс.
6.5). Производная с(Ч/нв положительна. поэтому постоянная Ло в (3.25) должна быть больше нуля, что с учетом неравенства (3.12) с о =.= сосо =. сь,а возможно лишь в двух случаях: либо с+ о < Ы'„либо с' ю< йРо'< ооз,о. (3.25) Для того чтобы проанализировать поветепее решения вблнзп заднего фронта волны, следует положить в (3.23) Ч= Ч~+ Ч, где Ч~ — есть корепь правой части этого уравнения, а Ч вЂ” малое 316 приращение. В результате получится соотношение, аналогичное (3.25).
Однако это соотношение можно построить и более простым путем. Воспользуемся следующими соображениями. Уравнения (3.17) — (3.21) и все дальнейшие формулы, включая (3.25), получены в результате интегрнроваттия обыкновенных дифференциальпых уравнений (3.16). ! При этом интегрирование ве- ~Ь лось от значений параметров перед волной тто, ио, иа ро, 77« и т, д. Очевидно, проинтегрировать уравнения (3,16) можно и в обратном направлении от значений т(ь вь иь рп Н~ и т.
д., которые достигаются в потоке аа фронтом ударной волны. Результат такого интегрирования в точности совпадает с соотношениями (3.17) — (3.20), если только нижний индекс «О» здесь заменить на «1». Все последующие выкладки такяте сохраняют силу, тат» что аналогично (3.25) будем иметь вблизи заднего фронта т(~ Гас. 6.5 яч — — т( я"- тч, (3.27) » »,2 с»о(ЫО ст 1(~1(с»1 с-,о ( с)о ( са,о и) т ( с —,т. з о о з о (3.29) (З.ЗО) 317 где Ет = (Ыт' — с+,т) ттЫ," — с',т)тт(Ыт' — сд л) Здесь с, ь со ~— магнитные скорости звука в потоке за фронтом ударной волпы, Ы~ =Р«1~ — эйлерова скорость волны относительно газа за ее фронтом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
