А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Это целесообразно делать для задач, где коэффициент теплопроводности велик и течение газа имеет изотермический характер. 6. Пример численного расчета. Убедпться в преимуществе потоповопэ варианта метода прогонки по сравнению с обычной лг аг мэ д аг дг д,—. и' а Рвс.
6.13 прогонкой позволяет пример, приведенный в [36]. Рассматрива- ется задача дН дЕ дН вЂ” Г й(х), 0<х<03. г= О, 1, 0<х<0,1, у,.() ~ Л.„, 0,1<х<0,2, [ О, 0,2<х<0,3, Н(0, 1) = 5, Н(0,3, г) = 10, 5, 0 <х<0,1, Н (х, о) 1,0, 0,1 < х «- 0,2, 10, 0,2 < х < 0,3. В терминах электродинамики третья область (0,2<х<0,3) является идеально проводящей, так как и-1/й. На рис. 6 13 азу указаны (на два момента времени 8~ = 0,005 и юг= 0,015) решения сформулированной задачи, полученные методом потоковой прогонки (сплошные линии) и с помощью обычной прогонки (штриховые линии). 1'ис.
6.13, а соответствует значению й« = = 10», рис. 6ЛЗ, б — значению у»= 10«. Такие значения й отвечают малой проводимости среды. На рис. 6Л4, а и б приведены соответствующие графики для величины Е. Е »у Ю' б р дю аг э »»=юг е Рис. 634 Рис.
6.13 и 0Л4 показывают, что увеличение коэффициента йэ (уменьшение проводимости) при больших значениях й«не влияет на результаты, полученные методом потоковой прогонки. В то же время обычная прогонка приводит в этом случае к полной потере точности. 11ри атом более «чувствительной» функцией является Е. 5 6. Расчет электрических цепей в задачах магнитной гидродипамики 1. Постановка задачи о л-линче. При решении различных задач магнитной гидродинамики (течеиия в МГД-каналах, электродипамическое ускорепие плазмы, сильноточные разряды и т. д.) одшюм иэ существенных элементов является учет внешних электрических цепей. Например, в электрических разрядах практически вся энергия в начальный момент заключена в батарее конденсаторов внешней цепи.
С математической точки зрения учет цепи означает введение в систему уравнений магнитпой гядродинамики дополнительного соотношения — электротехнического уравнения цепи, — которое играет роль граничного условия для электромагнитнои части задачи. Конкретный вид этого соотношения зависит от конструктивных особеппостей элементов цепи в той или иной задаче. Однако принципиальные моменты, связанные с постановкой задачи и построением разностной схемы для ее решения в одномерном случае являются общими для цепей различных типов. Они могут Э38 быть достаточно подробно проиллюстрированы на примере задачи об электрическом разряде в геометрии з-линча (63).
(.хема такого разряда представлена на рис. 6.15. Батарея конденсаторов С с начальным напряжением ь>» разряжается через формирующийся в разрядной камере нлазменный шнур цилиндрической формы. Радиус шнура г>(1) изменяется со временем. А и Š— параметры внешней цепи,— активное сопротивление и индуктивность. Элементом конст- ю рукцим цени являются так называе- 2 мыс «обратные провода», замыкаю- "'~~Я~. щие цепь. Они могут быть выполне- «аиг>»>» и >у ны как в виде системы отдельных проводников — шлн, так и в форме сплошного металлического цилиндра, ось которого совпадает с осью плазменного шнура, 11 последнои -Г~ --' ° и ф» случае «ооратные провода» онгсно- > чилают осевую сямиетрию граннч- ч»- ных условий задачи но:>лектроиаг- ,,УО»ь й нитному полю. 11роиебрегая краевыми эффектами на торцах плазменного шнура, можно рассматривать задачу в одномерном нриб>ли>к> ннн, считая, что все параметры нла:>мы А у зависят от единственной нространствонной нероменной — радиуса.
Разрядньш ток, текущий по плазме, разогревает ео, во»ника»инно Рис, 6.>5 электромагнитные силы вызынают движение ила»мы и оси. так что в результате газ, норвояачально занолняюшяй разрядную камеру, может «оторваться» от ео стенок. Электротехнические нарамотры плазмы резко нзиош>ются со временем. Нее зто порождает сложное магпитогидродинамическое течение, сопровождающееся нереходои онергии из внешней цени в плазму н»б>рати». Учитывая осевую симметрию, а так>не то, что злоктркческое и мап>ятине ноля нм>чот здесь линн, но одной комноненте (Е« и Л«), нежно нз абщон системы (2,211) выделить следу>ощие уравнепия, оннсыоающне электромагнитную часть задачи: (6.1) Плотность среды р н ее элгнтронроводность н онредоляются в процессе рен>они» остальных уравнений магнитной гидро- динамики.
Уравнения (6>Л) рассматрива«нсн в области О-=-э-=-М, г) О, где М вЂ” масса, приходящаяся на единицу длины разряда и аэимутальный угол в один радиан. Краевые условия формулируются 339 так: в центре при а О (г = О) — условие симметрии н,(о, ц-о. (6.2) Справа на границе плазменного шнура при г =М (г=Н(/) ) Н,(М, «) = 21(«)/Л(/). (6.3) Здесь 1(8) — полный раарядный ток, В(й) — радиус плазменного цилиндра, его аначение определяется при решении уравнений движения. Закон иаменения раарядного тока со временем, вообще говоря, неизвестен. Правда, если расчет проводится для конкретного эксперимнта, то этот аакон можно задать, исходя из экспериментальных данных. Однако расчеты покааывают, что такой способ не всегда является удовлетворительным, так как при этом теряет смысл баланс энергии системы, искажается динамика процесса.
Действительно, при нарастающем со временем разрядном токе плазменный шнур сжимается, площадь его поперечного сечения уменьшается, электрическое сопротивление растет. Реально ато сраау же должно сказаться на раарядном токе — характер его роста должен соответственно иамениться. В расчетах же с заданным законом /(~) этого не происходит. Из-за отсутствия указанной обратной свяаи, раарядный ток продолжает расти, увеличивается сжатие плазмы, ее температура, что уже противоречит реально наблюдаемой картине рааряда. Таким обрааом, закон 1(~), зависящий от характера раавивающихся процессов, нельзя «навязывать» системе, его следует определять с помощью уравнения для внешней электрической цепи, которое должно решаться совместно с остальными уравнениями магнитной гндродинамнки.
2. Электротехническое уравнение цепи. Обратимся к одному из уравнений Максвелла, уравнению индукции (Е2), которое запишем в пптегральпой форме: ~~ Е Й1 = — ЫФ/Ац (6А) с где Ф = ~(Нп) «/Х вЂ” поток магнитного поля через поверхность з', натлнутую на замкнутый контур С. Для рассматриваемой задачи о з-линче выберем в качестве контура С контур АА'В'В (рпс. 6А5), проходящий по поверхности плазменного цилиндра АА', далее по внешней цепи и образующей В'В цилиндра, играющего роль «обратных проводовв. Учитывая, что магнитное поле вне плазменного шнура с током 1(«) на расстоянии г от оси определяется формулой н«(г, 1) 2У($)/г, и(/) <г<л« („— радиус «обратного проводаэ), вычислим магнитный поток Ф через контур АА'В'В: я« Ф = ( ~ — дг = 2У (~) )п —,' .
( 27 («) Л« Я(«) ' ло) Таким образом, уравнение (6.4) для выбранного контура дает Ь вЂ” + В1 — (7(С)~+ СЕа(М>С) = — 21 —, (1(С)1п — '). (6.5) Выражение в квадратных скобках в левой части этого соотношения есть падение напряжения во внешней цепи, Е,(М, С) — напряженность электрического поля ва границе плазменного шнура, (/(С) — текущее значение напряжения ва емкости С, которое вычисляется с помощью уравнения НП 1 (С) (6.6) В начальный момент напряжение на емкости задано (С/(0) С/о), ток в цепи отсутствует (1(0) = 0). Поделив уравнения (6.5), (6.6) на 1, перепишем их в ввде Ьо — + Во1 — р(С)+ Е,(М, С) — 2 — (1(С)1п — а), (6.7) АКР/АС = — 1/Со Р(0) = Ъ'о, 1(0) = О, где Ьо=Ы, Во=В/1, Со=С(, Р=(//С, Ро (/о/С вЂ” параметры цепи, отнесенные к единице длины плазменного шнура.
Электротехнические соотношения (6.7) определяют заков изменения разрядного тока 1(С) в граничном условии (6.3) и тем самым замыкают электромагнитную группу уравнений. С физической точки зрения первое уравнение (6.7) выражает закон Кирхгофа, который гласит, что сумма падений напряжений в замкнутом контуре электрической цепи равна действующей в контуре электродви>кущей силе, в данном случае индукционного происхождения.
Гели умножить первое соотношение (6.7) на 1, т. е. на заряд, протекающий по цепи з единицу времени, и проинтегрировать затем полученное равенство по С, то получим уравнение е(С) — е(0) — 2п(А+ П)+ >1 О. (6.8) Здесь е(С) = 0,5(ба+ 2 1и (Во/В(С)) 1'(С) + 0,5Со$" (С) — текущее значение электромагнитной энергии, заключенной в емкости и индуктиввости (з пересчете ва единицу длины плазменного шнура), ~1- )Во1>оС вЂ” потери энергии на джоулев нагрев сопротизо левия внешней цепи, П вЂ” ) (В(С) Е,(М, С) Но(М, С)/(4п))АС— о электромагнитная энергия, поступившая в цепь или вышедшая из нее в виде потока Умова — Пойнтинга, А = > Во (М,) ') В(С) г(М, С) о „Й- работа магнитных сил над плазмой, о 33 л.
А. Саказоввз, ю, и. попов 34С ее знак зависит от направления двиясення границы плазменпого шнура; так, например, при и(М, !) ( 0 цепь совершает работу над плаамой и в результате теряет энергию. Таким образом, равенство (6.8) вырансает закон сохранения электромагнитной энергии цепи. Сведем вместе все соотпоспения, описывающие краевусо задачу о г-пинче для уравнений электромагнитного поля: »! !»гт ! ге,, э ! (6.9) д» ~Е»! д»' '* 4ла д» Н,(0, С)=0, !1(с)Н,(М, !)=27(!), (6.10) Хо д + Вод — С»(!) + Е,(»!С, Е) = — 2 — (Х(!) !и~в ), (0.11) — — У(О) =У, д!» Х о о У(0) = )о" (6.12) (»о~ 7»ю »,»»е) — с (!»~с)о Н=: — '* (!»,)-, 4ла 'с» (6.13) (! )» ьс (! )Ис 2»! ы (6 1») Здесь Фссгурссрусот сгточпьн функции; !»т= — -(»'Н»с)»ч.»со Е = (Нс)» а == го (+ !) =: (г + г(+ !)),'2, парата тр,! произволен. Сфориулпруси теперь разиост»»ьсй апа.»ог уравнений цепи (6,11), (6.12) в»»пде слодуюсцих соптпоппсппй, годер кащпх ч»."- тыре параметра 7'о~с + Но~ ' ~ ~ ' = - ~ !и (!'!5) )» ! 3(о,! уо с! !»о 1» Неизвестные пока значения параметров О, л»=-1, 2, 3, 4, определим с помощьсо принципа полной консервативности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
