А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 69
Текст из файла (страница 69)
')та м< годики йылз использоваиа для числеппого моделирования процесса з.и кгромагиитиого ускорения плазмы в зрозиопиом ускорителе и показала свою высокую зффективиость. ГЛАВА ЧП ПОЛНОСТЬЮ КОНСЕРВАТИВНЫЕ РАЗНОСТПЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ а 1. Система дифференциальных уравнений в лаграпя евых переменных; ес свойства 1. Исходный вид системы уравнений. 1)олученпая в гл. 1 общая система уравнений газодяпамвкп в отсутствии диссипативных ярок«есов, внеигянх свл и источников может оыть записана в виде — р<))т х О, др (1.1) р — = — йгаб р, (1.2) р —, = — <> <))< у, де (1.5) р =..'г>(р, Т), е = <с (р, Т), (1.4) Г> уравнениях (1.1) — (1.4) производная по времеви лаграпжева. В настоящей главе мы ограничимся рассмотрением двумернь<х плоских течений в декартовых переменных х, у.
Ьудем также считать, что воктор скорости имеет две компоненты и и е. В этом случае уравнения (1.1) — (1.3) перепишутся следующим образом (1.5) дв э<р р д< де' (1.6) В главе обобщается принцип полной консервативности на случай двумерных уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа. В 1 1 нз общих уравнений выводятся уравнения двумерной газодинамики в переменных Лагранжа и подробно анализируются соотпо<псния эквивалентности, которым они удовлетворяют 1 2 посвящен апзлкзу семейства четырех разпостпь<х схем, определенных па несимметричных пространственных шаоловах. В 1 3 с помощью;>тих несимметричных схем строится симметричная схема. Показано, что опа обладает свойством полной консервативности. т 4 посвящен краткому опвсани<о вариационно-разпостпого подхода к построению полностью консервативны:< схем, (1.7) (1.8) Ка>» н в прсдыду>цнх главах, полностью консервативные разностные схемы для двумерного случая будем строить н лагранжевых переменных.
Однако в отличие от одномерного случая здесь ввести лагранжевы массовые координаты уже пе удается (см. гл. 1, т 3), поэтому н качестве лагран>кеных переменных выберем зплероны координаты начального по:южанин частиц при 1= 0: где использовано ооозначенпе д(!,у) д/ду д! ду д ($, >0 дй дч д>) д"- ' (1 12) а Л вЂ” якоби, и преобразования прострапстнсипыт переменных х, у к а, Ь: Л д(х у) дхду д' 'у (1.1 9) С учетом сназаииого система (1л) — (1.8) приобретает с:>едуюгцую форму: ди р — = а> ( д(р, у) Л д(а,Ь) ' д (а, д) Л д (а, Ь) ' Л )д(а, Ь) а (а, Ь) (1.1б>) да (1 15) (1.10) де р — =— де (1.17) 2.
Свойства эквивалентности системы дифференциальных уравнений. Выше д:>н одномерного случаи было показано, что полностью коиссрватпвпыс схемы формально удовлетворяют преобразованиям экннвалентностп, аналогичным тем, которые имеют место для дифференциального случая. Поэте>гу предварительно изучим, какие соотношения эквивалентности имен>т место н днузшрном случ<>е:(ля системы уравнений (1,14) — (1.17).
зт л, А, санарааа>. Ю и. попав зо! а = х(0), 6 = у(0). (1.9)' Чтобы записать систему уравнений (1.0>) — (1.8) н лагранженых переменных, необходимо ныразпть производные д/дх и д/ду через д/да п д/дЬ. Р)го делается по стандартным формулам д1 д(1, у) ( д(1, у) (1.10) да д (а, у) Л д (а, Ь)' д( !) ( д( *!) (1.11) ду д(е,у) Л д(а,Ь) ' 11гпосредствсниой проверкой можно убглиться в справедливости раненства д (и, у) д(а, а) да (1 13) д (а, Ь) д (а.Ь) д(' соноставтепш которого с уравнением неразрывности (1.16) даст ( др (да (1.1!)) и д) Л д» ' откуда следует равенство рй = рзгто = сова(, (1.2И) д(у, у) (д)р ду й (а, Ь) '(да дь д (.т, у) (др д.
д(а, Ь) (да дЬ у) д (аз а)1 Ь) д (а, Ь)) 221 да (1.2() аа ра(( а,»( (1.2') — р [„,. дс " т( +~,— „,— „, — — „,=6(123) 1(роме запись частил того. дли зтпх жс уран~и нии гуи(сстнугт диворггитини выражений, стоящих н нна;(рат|изх с.:инках в праны т (1,21) — (1.23): р.˄— „, = — [„— „(р — '-1 — — „~(р,—,,",)1, (1 21') „.
„'— ,", = ~„— '. ( Р) — —,"„( —,",„')~. (1. 2) = — р Я вЂ” ' (и — ") — —.' (и — '' )~+ ~ — ( и — '' ) — — '' (с '~ )Д. (1.22л) ('и ~»,,~ Интегрирование уравнений двяжсиик ио заграижсным перемснигам а, б и~посредств~ нно приводит к интегральному закону сохранении импульса. Комбинируя соотионпиии (1.19) н (1.20), можно переписать уравнение неразрывности н форме (1 21) 1(ан изид ство, яиооиан пргооразоваипя Л имеет смысл собтно)пенни элементов площадей па плоскостях, сннзаннык этим преобразованием.
Поэтому уравнение (1.24) можно рассматривать как обобщение »закона изменении объема» (см. гл, 1, $ 3, и. 7) дтп 362 где ра. с»а — зиа и.иия вжтчии р п й в начальный момент вргме|ш ( = О. 1(рииимая но внимание полученный результат, поясно переписать уравнения движения (1.14), (1,13) н энергии (1.17) в виде случал двух иеремоииых, После интегрирования по Ь и переменным а, Ь (1.24) дает интегральное выражение этого закона. Заметим также, что, сопоставляя (1.17), (1.18), (1.20) и (1.24), можно переписать уравнение энергии в одной из форм: Роно ьо = — Р— „ ьо (1.25) оо или (1.2(!) 1(роме того, иедивергеитиое уравнение энергии (1.23), выриисаоощее баланс внутренней энергии, после суммирования с уравнениями дани<ения (1.21'), (1.22'), предварительно умноженными иа состанлшоип1е гкорогти и и э соответгтвеиио, может быть вриведепо к виду Ро'-го ьо '(е + = — [[а — '~~'"Ть) — 7(('и~ — ")3+ [оь (р'й) — -'~~" Ть'3 ("') Это диворгентнос уравнение представляет собой запись закона сохранения полис!о энергии.
Н системе уравнений двпжшшя, неразрывности и энергии, в какой бы форме каждое из иих ис было записано, следуетприсоединить также уравнения, оиродсляющие траектории частиц, ьо ди — =и, — '=У. (1.28) а! ' эг Приведенные воине ра:шичиыо формы записи двумерных дифференциальных уравнений газодинамики щовпвалентны и сводятся друг к другу с помощью простых равносильных преобразований, точно так;ке, как зто ина ла место в одномерном случае. Наша цоль состоит в определении класса ревностных схем для двумерных иестацпоиариых уравнений газовой динамики в лаграпжсвых пероиепиых, дли которых бы выполнялись аналогичные соотиошеиии эквивалентности. Очевидно это обеспечит цля искомого класса схем выполнение свойства полной консервативности. 3 2. Семейство несимметричных схем 1.
Рввностнвя сетка н некоторые обозначения. Будем рассматривать решсиш сформулированной вьиие системы уравнений в прямоугольной пространственной области д: (О ".= а =(., О - Ь ( - Ц ири с ) О. Введем в 0 сетку,;!ля простоты равномериуьч ио каждому направлг и1ио: гоо = ((а„Ь,); а, = а, ~ + Ь„ао — — О, 1= 1..., Т„, Ья= Ь,, + Ьо, Ьо =О, у =1,, Уо). лез Сетку по временной переменной ! определим обычиым образом: ,=(1„; Г,,=1,+т, !»=О, й=О, 1...,). Систему дифференциальных урависшш газо;и!папики будем аппроксимировать иа пространственно-времеииой сеткою = ы„Х ы,. Сеточные фувкцип компонент скорости и зйлеровыт переменных й й й й будем относить к узлам сетки (г, !). х!р уп, ип, а«;.а сеточпые термодинамические функции к «иос!уцелых!» точкам (г+ 'Гп 7+ '!«), иредставлятощи»! собой иеросеч! иие диагоналей прямоутольиых ячеек иа плоскости (и, 6)! 7й «!«!«ы» Р'е!ы,ч!лс "!!»!«!! и» 7'й„,!»! „, (см.
рис. 7.1, а). Отметим, что разиостиая сетка ы введепа в илосиостилаграяжевых переменных а, Ь (начальных положений частиц). Со времеием из-за псромсп)! ипя частиц среды картина расположепяп "Ф! »'-т а ['ис, !.! узлов сстж! в зйлсроноч (физическом) прострси!стае искажается (рис. 7.1, б). Однако в переменных Лагранжа, где строится разиостная схема, сетка ие изменяет сво!о иоифигурацию. )) дальиейшем подобно одиомериому' случаю будем использопят!. лля сеточиы! фуиюигй компактные бета«и;в ксиые обозначения: у (и!, !б, Гй) —. у„= у, й й р(а;,!».ь,,,, Г!)=и+ ~.,;+ „=!г, й.! ! !/ (с!и )о !й !.!) У!! ч (2.1) р (а, !! й! , „!й) = !!!, „, = у (-!- 1, + 1.), у"! = оу+(1 — о)п.
364 пс~ — ) = Л,)сс. У '-' ) =1сс„'" Уь (+ 1,) — и,'ну„-" (+ 1)~, (27) псес =- — р ' Лс )и, у ' ). (чс) С (а ) ( ЛЗ) Шаблоны длп разностиыт оиераторон /,с и Лс указаны на рнс. 7.2. Величины О~оп от ~ 1 — иарахпстры схемы. 11ак упазьсвалось выше, для одномерных те ~еиий, когда всг функции зависит лишь от одной пространственной переменной х (тогда сч-т с' — с с' с' с с с 1 с сис и)аассасс с'с хаааасс лс Рис. 7.2 у = Ь) или у (тогда х — = а) разпостнан схехсв (2.))) — -(2Я) должна вырождатьси в одшсмериую полностюо консервативную схему (3.17) гл.
11. Б соотвотствнн с этим вес пс у давления р в уравнениях (2.6) и (2.8) взят одинаковым, а вес у скорости и н операторе Л~ взят равным 0,5. !)ос от у сеточной функции у пока оставлен свобсодпым. !)елссчсссса т аипрокспмирует ~с!ксссзиедссисссс рвЛи Зта величстив имоот смысл массы разпостиой я инки, отис.'сс иной к ео плотдади в начальный шсмеит. !! соотвстстипи с (1.20) мы считаом, что масса рсссс~ссссстссссх ячеек сотки со временем пс измепяетсн.
!(потому запои сохраис иин массы в дискретной модели, опнсыпас мой равиостпой схемой 1, ссыисс,иснетссс автомати ~есксс. Заметим, что величина ьч в случае неравномерной сетки зависит от иоиера узла и„. ()роводем пекоторьи выкладки с целью убедиться и том, что уравнения схемы 1 удовлетворяют определениыи соотноисс сспссхс эквивалентности, о которых говорилось вьишс.
(ч ) (и„) Добавляя и вычитая нз праной части (2.6) слагаемое р ' у,;с и ссосссользссвав~сспсь одной из формул разиостиосо дифференцировании произведения (/У)„= )(+1,)У„+ У/„, (/У) = )( 1,)У- Р У)и (ч,9) мсикпо преобраювать зто уравнение к дивссргептснб! форме ьчис = — ~((с ' уь ' (+1,))- — ~р 'у„" (+ ! ));~ (2!0) Полученное соотношение янлнется рязиостным анаспсгом (1.21') и обеспечивает выполнение в схеме 1 закона сохранения импуль- са (в проекции иа ось х). Нетрудно убедиться н тол<, что уравнение энергии (2.8) также приводится к виду н<г, = — ( 'д ~(и<"л<<(» 'И) — <(и' ' <у( <«< 1, (2 11) являюще»<уел разностпын аналогом ((.23') при и = О.
Аналогичное преобразона~пе можно сонершпть и в праной части уравлепия неразрывности (2.7). Умпожнм теперь уранпеппе движения (2.6) на и'»з' = 0,3<(и+ и). 1[олучпм разш<стлый апа:<ог баланса кнпотической энергии <и (и 72)< = ~ и('мр('<«<('<«ии» '~р'»<('"«~. (2.12) Суммируя полученное равенство с уравнением энергии (2.8) н используя формулы раз<шстного диффорснциронанин произведения (2.<«), приходим и уравпепп<о т(с+и-;2)<= — ~(р ( — 1,)и 'у, ' <,— 2.9 ( ( (н<«<о,м (О<)« — (Р '«( — 1«) и("зор, '«)» ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
