А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Это было сдолано для того, чтобы н проц се~ выкладок (3.8) и (2.21) воспользоваться формулой р»зностн»го диффовенцироеы яня произведения (!ь".) — '7а + а7 где роль ! н я нгр»лн соответственно функции у я х. г!тормулу (3,12) можно з»ннсвть в болго оощгм виде. !1( ренишом еще раз (3.12), поменяв местами ! н д: ((я) =й + я)'. (3.12') !!росунмнру(н тшк рь (3.12) и (3.12'). н!»д»»рнтелько умноишв (3.12) на сс, а (3.12) на (1 — и), Нолучнм ((б), =(™а, + я' -" ),. (3.13) Иснользуя фюрмулу (3.13) вместо (3.!2) и ирагйрелоеанкнх тки» (3.3) н (2.21), можно убоднтьстц что и ~р»хг~ тры пз и пз должкы ныть свил»кы соотношет1иом пт+ пз 1.
(3.14) Таким обр».юм, сети йство схем (3.10) ф»ктэчески является двухнарамотрическнм. Для этого семойства справедливы р»зносткые аналоги законов сохранения объема, кмиульса, а такжо различиыо формы баланса внутренней энергии и, кроме того, имеют место диворгонтныо и иедивергонтные виды занксн правых частей в уравнониях движении и неразрывности. Рассмотрим т~ перь вопрос о выиолнонкн в этой схеме закона сохранения энергии. 2. Аналогия с одномерным случаем. Напомним предварительно некоторые сведения относительно свойств нолностью консервативных разиостных схем для одномерного случая (см.
гл. !1, 374 <'+Г и Вели <ппь> (р )< и (р )«.< есть шп< рполяцпп д <клепик в узлы и <+ 1, кв<ш>оьцпеск границами интервала )<,. Однако возиожен и другой подход к анализу закона сохрак< ппя полней энергии в полностью консервативной схеме. Ваппшем уравнение для внут- реши й энергии (3.15) длп (<' — 1)-го интервала (3.15') С«ежик теперь (3.10) с полусуммой уравнений (3.15) и (3.15'), получим — —;~,— ( ' »т! Г <,> <У'">+ь" ',. <<! —,, (г-ье( — !))+ —,, ~ = — ~1> ., / (3 19) для рпкпоиерпой се>ки.,")то соотпоп>еппг тзкж мошко рассмасривать как выра,"кение зако<ш сохранения полной энергии длп ооластп, яп.<пв>щ<йся полусуммой соседних м <ссовых интервалов.
!>олег паглядпь>л< этот факт пр«,ставлкется. <ели (3.19) перенесат<, на неравномерной с< тип в киде (см. рпс. ".', б) <Ол> <Озо .<О,ы >!Ои> л )<аи вп;<по, пОлпкп ЭнсрГпп ОГ><и<сто 7<5 Опрг:и ЛГЕтен СуММой внутренних энергий составля<оьцпх ге полупш<рвэлов 0,5)<, и 0.5Ь, < и кинетической энергии 0,5)<,(п<)', вычисленной но скорости >-го узла. 3. Особенности вычисления балаигных соотношений в двумерном случае.
Построив симметричную схему (3.10). мы пзбавилпсь от основного к<достатка, которым обладали шспмметрпчные схемы ! — !Ч',— парупи пня закона сохранения обэп ма. Однако для симметричных с>п и остался пока певыпспеппыи вопрос о выпол- нении закона сохранения эперпш. "> е> !!ь<к.шдкп, про«гневные к [57), которые мы здесь не воспроизводим пз-за их громоздкости, показывают, что для двумерной лаграпжевой ячейки сетки закон сохрапеппп полной энергии в симметрпчпой схеме пе выполнен. Дисб>эванс полной энергии имеет дпвергентпую структуру и не зависит от шага сетки по времени т, па гладких решениях его порядок Г) (7<', -'- йь).
Используем другой способ вычисления баланса энергии, подобный тому, который был описан выше для одномерного случая. С этой целью разобьем каждую основную лаграпжеву ячейку массы М на четыре части, массы которых одинаковы; М, = 37В = 0,25 М, и = 1, 2, 3, 4 (см. рис. 7.9), а зшсчоссия удольпой виутреипои энергии с„, вообще говоря, различны. (; каждой та- кой «малой» ячейкой свяжем некоторую скорость, в качестве которой выберем скорость и„того узла, который является общим у малой и основной ячеек (па рис, 7,9 эти узлы отмочепы круж- ком). Эволюцию каждой малой ячейки будем описывать с по- мощью соответствующей несимметричной схомы из 1 2.
Напри- мер, па равномерной сетке будем иметь слодусопспе уравкопия движения и виутроппей эпорсзпс: ся(и„), — А„(р ',у ' ), (3.20) си(ем)с = — р ' дсс(~с, у -' ). (3.21). Здесь давлоние р предполагается одинаковым во всех частях ос- новной ячейки и для простоты вторая компокопта скорости от- сутствует (и = И).
Нотрудспс впдетт» что суммирование уравне- ния (3.21) по всем четырем частям осповстой ячейки приводит к разпостному уравпешпо симметркчпой схемы (3,10), выражаю- щему баланс внутренней энергии этой ячейки: ссстс = — р ' — ~„дсс (сс. у с ) = — р ' Л (сс. у и 1 где е = — и е„. 4 м 1 Суммировапио уравнения (3.20) по малым ячс йкам, приле- гающим к узлу (с, )) (см. рпс, 7.10).
дает разкостпое уравнение движспшс симметричной схемы (3.10) п с= 4 )' 7.„,(1 ' у ') =7.6 '.у "), описывающее запои сохранения импульса для вспомогательной лагранжовой ячейкп, сконструированной пз малых ячеек так, как показано па рнс. 7.10. Просуммссруем теперь по четырем малым ссчессссссхс,составляю- щим вспомогательную ячейку, уравнения (3.21) и уравнения (3.20), умноженные предварительно на сса' .
После довольно с»,»с громоздссих выкладок мошко преобразовать результат к соот- ношению ьч(0,25(с -р с ( — 1») + тз( — 1с, — 1») -: — с«( 1с)) + и сс2)с = 1 (( («с)( 1 ) ис«,»С, »«с)) (р(~с)иСсс»С(+.1 ),(«а)) ( 1 1 )+ (Р~ с)иС»»СУ а )а( — 1с) -' (У с ( "с)и ' (+1«) У» са( 1») — ()с ')( — 1,)и' у, ')» — (р и ' (ли 1с) уа )»( — 1» 1«) — (р~ »~и~~ су~ »~)»( — 1,) — (р~ ')( — 1,)и ' (+ 1»)у„"')»( — 1с)), (3.22) 277 25 А. л Самарский, Ю п. Пзаоа которое является выражением закона сохраиеиия зиергии дзя вспомогательной лаграижевой ячейки сетки.
))ярочем, уравиеиие (3.22) можно получить и без громоздких выкладок, ведь оио иредставляет собой сумму законов сохраиоиия зпергии для четырех частей вспомогательной я ~ейки, а зти заковы, как иоказаио з, в т 2, справедливы для всех четырех несимметричных схем. Таким образом, иа лагрании ной плоскости можно рассматривать две системы разиос~иых ячеек (осаовных и всиомогательиых), сдвииутых отиесительии друг друга ио каждому направлению иа половину шага. !(ри использова- г-7 ) у+т г-/ иии для построения дискретРвс, 7ЛО иой модели среды сямметркчиой схемы, для системы основиых ячеек выпи ии пы закоп сохранения обзина и различные формы балаиса ннутргиией энергии, а для системы вспомогаыльиых ячеек — зикоиы сохранении импульса и колкой зиергии.
)5 етом смысле сиииетричиан стока является иолностшо коисерввтивиой. зт ет~) з д (-1,! 1'ис. 7.т! (зсе рассуждения, которые были проведены для равномериых сеток, очевидиым образом переносятся и ин случай неравномерных сеток (см. рис. 7.х1). 4. Результаты тестовых расчетов. Разиостная схема, аиироксииируюиган двумерные дифференциальные уравнения газовой динамики, представляет собои нелинейную систему алгебраических уравнений высокого порядка отиосительио зиачеиий сеточных фуикций иа верхнем времоииом слое. Для простоты рассмотрим вопросы, связанные с реализацией таких стем иа примере уравнении газовой динамики в изотермическом приближении. В этом случае схема может быть ззнисана следующим образом ти, Л (р('1), у('з)), зниз = — 1.
(р('з), з("з)). р =,11!Я. (Х2;() х, = и'з", у, = и'"", р = у'(р) = сзр Здесь,для нахождении и.тотностп вместо уравнения неразрывности использовано соотношение (зЯ=М, являюн(веси с:шдствием закона сохранения обьсма, который нызголш и в схеме н силу свойства полной консервативности. Семейство схем (3.23) является двухиараметрическ ззз (О .- оь оь оз - 1, аз+ оз = 1). 1!рн о~ = оз = (й аз = ! имеем тнк называемую лняую полностью киисереагиииую схеззу. Здесь аналогично одномерному слу шю значения с~то шыт функций на вервием слое определяются без каких-либо алгоритмических сложностей.
Действительно, персики~ем дтя этого случая уравнения сы иы (3.23) в следуюи(ем виде наб =Л(р, у), х, =и"'", ти, = — й(р, х), у, = и'сз', (3.24) з( у р = сзр. 1'ошан уравнения схемы (3.2() н указаиизй( иоследиентельиости, получим явный алгоритм построения репи иия иа верхнем (й+ !)-и временном слое: нз иерного уранисишц в правую часть которого входят сеточные функции лишь с /;-го слон, находим значение комиоиеиты скорости и. из второго, используя полученное значение и, вьизисляем х и т. д. ()дзюдо нетрудно показать, что кнк и и идиомерп>м случае схема (3.24) обладает плохой устойчивостью, что порождает довольно жосткие ограничения па шаг т и де.иет приме~ение этой схемы в ирактнчоских расчетах сравнительно мало эффоктивным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
