А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Если система оолада< т иоскозтииыш стсиезями сво;<оды, то прп использовании прииципа папиеиьип<го действии необходимо проводить варьироваииг ш зависимо ио иаж;и«< координате х,. Это даст с<<стет<у уравнении; ~! дй <Д (»< ду) д»„ Для простейшей замкнутой механической гост<мы, т, е. для системы <<< маториальших точек с массой ть вэ«имодействующих только друг с другом п ие взаимодгйству<оших ии с какими внешпнмп телами, функция Лагранжа имеет вид 1 =Е„„„— Г, (4.7) и л ьз чч ' А где Еиии = ~ шь —, = ° ть —.' — ш<иетичсск,<и энергия системы 2 .йи а'1 ь=< ь', х, н ь<' — ее потенциальная энергия, описывающая взаимодействие матерна:п,ных точек между сооой, 384 Ото<ода, учитывая произвольность вариации -, окончательно приходим и уравнению — — — — '=- <й (4.8) ~« <о д» Если для замкнутой системы функция Лагранжа явно не зависит от времени (однородность времени), энергия системы сохраняется.
Действительно, пусть А = 1.(х, х). Вычислим полную производную от функции х по времени: иг, а гзь и.- —,~~ ~ — хь ~- —,'хь ш ~>~а ь 1 ь д~а Заменим здесь производную д(/дх„в соответствии с уравнением (4.6'). Имеем '1'аким образом. можно записать (4.8) Из (4.8) с":дуст, что в рассматрпваомой механической системе величипа — 'хл — Х, (4 9) остается пеизмевной со временем, (Зтз воли пгиа называется энергией сисгсзсьь) Действительно, обращаясь и (4,7), видим, что — ха = ~~~ юахб = Зг'ело л=1дхь л=г и, следовательно, величина (4.9) и представллгг сээой полную эперппо системы, состоящую из кинетической и потенциальной.
В общем глу гзе, когда система пе яв ~потея замкыутой, ео эпоргпп мож т изменяться в результате взаимодействия с вношп ими телами. Заметим также, что одпородпость функции Лагранжа по пространственным координатам приводит и тому, что в замкнутой системе материальных точек выполпеп и запои сохранения и ипульса. 2. Вариациопиый принпип и уравнения гВВОВОЙ дВНЙММКП. рассмотрим, какие результаты даот применение описанпого вариационпого принципа в газовой динамике. В цепях большей наглядности ограничимся случаем одномерного плоского адиаба- тичесиого течения газа. Будем гагине использовать лагранжевы массовые координаты.
Функция Лаграинса для фиксированной массы газа может быть записана в видо (87! Е = Е„„„— Е„„, ~,,м ,у= $'~'~", г)сЬ,с,!!. (4.1!!) Прп движении рассиатрпваемой сроден иаи механической системы действие Ь' должно быть минимальным.,')ометим, что в случае сплошной среды варьировапие действнгг Я следуот проводить с учетом дополнительных соотношений — уравнений связи, в качестве которых в данном случае выступают заиоп сохранении объема (закон сохранения массы выполнен автоматически): дг (4.!!) р дх н порвое начало термодинамики: г(е = — рг(г! = —., ггр.
г г (4 1') Необходимо также принять во вниз!ание уравнение движения лагранясевых частиц: — = У. ив ж (4,1:з) Итак, принцип наименьшего дойствии в применении к (4.11) дает ~з М ЬЯ = ) ) (об~ — бг) охг!! = (4. 14) 1,о Рассмотрим первое слагаемое етого уравнения, используя (4.13) и правило интегрирования по частям: !., и — ) ) — бхс!хг1!.
Г нн ~.б.). 81=(~'! — 'б (а)! =~.б )х 1 ш юд о ~,о 38С зк и где Езз~ = ) —,, г(л — кинетическая зпергив, а 7:,.„= ~ е~!л — впуа о тронпяя топловая энергия газа. Мы воснользовалпсь, как и в прсды:!утцих главах, лзграшкгвымп изссовыип псреигпнымп, 1(ап обычно, з:ась М вЂ” масса газа в единичном параллелепипеде (си. гл. 1, 4 8). Функционал лействпя по Гамильтону в зтои случае принимает форму В силу того, что состояние газа в моменты В и г' фиксировано, имоем бх(й) = бх(гт) = О, и следовательно, первое слагаемое в послодпем выражении равно нулю.
Таким образом, для первого слагаемого в (4.14) имеем 'и ~г и ) ') гбо<йй = — ) ~ — „, бхгЬЙ. (4.15) 1,в М о Обратимся ко второму слагаемому, В соотвотствии с (4.12) писем бе =- —,, бр, в Р п варьирование уравнения связи (4.11) даст ! д — —.6Р = — бх. д» Сводя зги соотношения вместе, получим ~,м !з и ',и — ~ ~6~~а~~=- ~~ — ", бр.»«= ~~ р —,' [ а ) а и ю,м — ) ~ — "„.~ бх г[з й. (4.16) Здесь к интегралу по а Г>ыло прпмспопо правило интегрирования по частям. Считая для простоты, что движение границ области, занятой газом, задано для всех варьируемых траекторий х(г)+ бх(г) одинаковым образом: о(0, [)= о*([), о(М, [)= о**([) (как, например, в задаче о поршне), имеем в граштчпых точках бх(0, [) = бх(ХХ, [) =О. (4.17) В противном случае в (4.16) войдут граничные условия по давлению и зкстромальное значение функционала действия (4.10) будет достигаться на истинных траекториях двнягепия частиц среды, удовлетворяющих не только уравнениям гвдродипамннн, по и граничным условиям.
С учетом (4.17) подстановка (4.15) и (4.16) в (414) даст ~гм бб = ~ ~ ( —;," +,'г" ) бх б, б[ = [), йз откуда в силу произвольности варпацпп бх п[шходим к известному уравнению двюкеппя: ни дя гй дг (4.16) 387 Уравнение непрерывности следует из закова сохранении обтема (4Л2). Действительно, после дифференцирования (4Л1) ио времени с учетом (4.1:1) получим Изменение впутррии~ и зиергии определяется;.
гол пнем связи (4.11): ао; яр / т ! ю ш)р) й)ажио тякше показать, что отсутствие напои зависимости ляграижиаиа б от времени аналогично (4.8) актом тически обгсиг птварт выполнение закона сохраишшя зпсргик. 11 иеречислеииын уравнениям необходимо добавить еще замыкающее систему урависиио состояния. 3.
Построение полностью консервативной гхсны вариационнорачиостиым методом длн одномерного случая. 1)рнисинп вариацкоиный подход к пестро~ пню разиостиых схем. Обратимся вновь к одиомориому случаю. Будем рассматривать и~ которую дискретиую модель среды, задаваемую пространственной сеткой он=(ао 8, ~=а.+1Н, 1=0, 1, ..., Д), 1!ервое слагаемое есть кипетичоская зяергия системы (как обычно Ь ~ = йо — Π— фиктивные интервалы (см.
гл, 1, $4) ). второе — ее тепловая зиергия. В принципе, для построения уравпеиий, описывающих зво:иоцяю рассматривасмой системы, ну>кио определить разиостиый аналог д~ яствия ио Гамильтону бо. вычислить его первуто вариацию, приравнять ес иу.ио и т. д. Однако можно непосредственно воспользоваться общими формулами, полученными в и. 1, и в частности, уравнениями Лагранжа (4.6'): н о~'ь ~~'о — — — — = "ь а ~А ' о (4.20) как механическую систему, эволюция которой во времени происходит пспрерывшям образом, Система состоит из У огагсовых интервалов Ьь 1= [1, 1, ..., Л' — 1, кюкйый нз которых обладает удельной впутреииеи зиергяей е„а скорости коннов интервала — Ю и к,,ь координатами, определяющими полонгеиие системы, являются координаты узлов сотки .го 1= П. 1.....
М. Сеточяые функции, оиисыяюощие систему, зависят т дискретного аргумента г, и пеирерьишого б т. г. дискроти:ищия гряды выполнена лишь по пространству. Лагра~икиан такой системы моиопо записать в видо Х-1 ь, + а, , (4.19) '.=о '=о В качестве уравнений связи возьмем разностиыг аналоги закона сохранения объема (4.12): т»+г ~» — = 0» = и» (4.21) термодинамичгское соогооии иве (4.12), выра!па!ощсе первое начало термодинамики Лля интервалов сетки, и уравнение для траектории (4.'13).
записанное в узлах сетки. Вычислим перин слагаемое и уравнении (4.20): д!'»»! д ~» ' »! ' ° »!»» д»» — — — — й!.х = — й»„т; = я! — ' =- б! —. (4.22) д! .. — д! С вЂ” д! " — д! - ,и д»„ о'»~: о Обратимся ко второму члену в (4.20), имея в виду, что уравнение состояния для алиабатического случая ме»кот быть представлено с учетом (4.21) как сложная функция с!= — г(г!.(х„хы,)) ! к-1 !'гл ! ч, Г д!с» дп» де»- "Ч»- ) — — — — й» вЂ” — + !!- "» ЧЛ д'» дч» ! -'- » -1 дп» г = — й! Р» †,' + "»-! Р»-! д = — Р» †' Р»-г (4 23) '» ~» Сводя (4.22) к (4.23) в (4.20), получим во внутренних точках сетки разпосгио-дифференциальное уравнение движения: и»!, )г»,!! = — (Р» — !'» — г).
Заметим, что зто уравнение фактически выражсчт закон сохранения количества дани!ения для ооласти !»о составленной из половинок массовых интервалов сетки, ирямыка!о»цих к 1-му узлу. Суммирование (4.24) ио сетке дает иптегралгочый закон сохранения количества двия<! пия. Разделив (4.24) па Л„приведем ревностно-дифф" рснциальпое уравнение движения и форме д㻠—. = — (!'-.)» (1.24') "(*.
!'! — ! Напомним, р-= ' есть производная газад и» иеравпомер» х пой сетке. Здесь использованы соотношения, полученные дпффорепцнрованием (4.21): г!ч» ! д!» !, стоящее в (4.28) под знаком суммы так, как зто было сделано при вывод< соотиошею<я (4.8); < — ! ! — ! л ., ~~ ' ', (4<30) ! дх, ! В узлах й и '- соотпошеияя (4.29) ио вынолияютсн. Введем а рассмотрение вспомогательные лаграин<иаиы ( !.31) *»' ! '! 1 лх = )<! ! — <<! е<, (43< ) дб<»!'< " ай<<< . а да.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
