А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 72
Текст из файла (страница 72)
!!ри а~ ~ (),й нолностшо коисервитивнзн сзсзза (3.23) становится безусловно устойчивой, ио для ое решения приходится привлекать какие-,ииш итерационные процессы. Использование простейшего явного итерационного процессы, кик и в одномерном случае, приводит к ограничсияям иа шаг сетки по времени, которые яилнются даже более жесткими, чем условно 1(урантз.
Лиалнз иоказываот, что весьма эффективным итерационным методом решения неявных ревностных схем газодинамики является метод Ньютона. Мьз опустим здесь достнточио громоздкие выкладки, связанные с применением метода 11ыотона и схеме (3.23), которые моягио найти и (57], и ограничимся излив<сияем сообрахзеиий общего характера. Б одномориом случае исиользованио метода 11ьютона приводит на каждой итерации к системе линейных алгебраических уравнений с трехднагоиальпой матрнцей, которая легко решается с помощью прогонки (см.
гл. 1Ч). В двумерном случае соответствующая система линейных уравнений имеет существенно 25з 370 более сложную структуру и гс реи>гонг»ре:>стаязягт знэчитгльиыо трудности. Здесь возникает необм>димость в гнн одном итерационном процессе д,>я рекшиня собствс>шо системы линейных уравнений, и от ка яства этого»внутреннего» итерационного нроцосса в болыной степени зависит эффективность всего алгоритма в целом. 15 примере числеппого расчета тестовой задачи, описанном ниже, для решения линейной системы испол1 зован метод блою>ых итерац>п! [43>, 37!. Этот метод в нашем случае Гг а а» та Рис.
7.!3 Ркс. 7.!2 сходится, клк меж>п> показят>ь нрн:>к>бом значении величины шага по вр> мгоо, однако число ит> раций оыстро нарастает с увеличением г. Для тестовых расч> тов в >и> ястве примера выберем классическую задачу о нор>ни>, который вдвигается в газ и порождает в нем ударную волну. 1'ассмотрнм язо>срмнческнй вариант этой задачи, описание которого укладывается в схему (3,23). В качестве исходной пространственной оГк>асти кремом квадрат ЛВСВ: (О =' а = Г., О ..
Ь = В), стороны которого со времопем могут перез!>чпят>,си в плоскости (х, р), играя роль поршней (рнс. 732). 11 печальном состоянии глз однороден и покоится: р(а, Ь, 0) = рэ = 1, и (а, Ь, 0) = О, а(а, Ь, О) = О. Скорость звука В первых вариантах расчета в ка>естве граничного режима задавалось движение одной пз сторон квадрата внутрь оГ>ласти с постоянной с»простые: лиоо л> вой и(0, Ь, !)= бГ», и(О, Ь, !)= О. Го ) О, (3,2,>) либо нижней и(а, О, !)=О, о(а, О, !)=Рь 1>)0.
(3,20) На остальных частях границы обе компоненты скорости задавались пулевы»ш. При ука.ыниых краевых условиях возникает одномерное течение газа с ударной волной, распространяю>цейся от стенки— поршня вдоль одного нз координатных направлешш. Тапио варианты задачи позволяют сопоставить описанный выше алгоритм решения двумерных уравнений газодиш>мики с аналогичной одномерной методикой, Расчеты показали, что результаты, иолучеииые ио обеим методикам, со»падшот как и отношеигги ирофилей сеточвых фуикций, так и в отиошекии количества итераций в ньютоновском процессе, а такая ширины размавываиия фроита волиы в зависимости от шага т и другит мотодических иараметров счета.
В качестве примера существеиио двузнриого течения рассматривался в»риаит задачи, когда уд»рная волив распростраияется вдоль диагонали ЛС квадрата ЛИСА (см, рис, 7.12), Чтобы реализовать еказаииоо течение. иа стирок»т квадр»те ЛВ и Лг» .шдввался грзкнчиый режим сисциальиого типа д.гя компоиеит скорости, кипр»»лониых внутрь области. Этот режим иргдставлиет собои «развил»иную стушчи.ку» (см.
рис. 7.13). котораи со временем ш ргмгщается вдоль стороны шшгдшт» со скоростью 12Д, где l> — гкоростг фроита ударной »пины. 11 расчетах принималось 1»« = и.75 и г» = 1. 11родольи»н кпмиои~ ига скорости па стороиат Лгг и .10 задавалась равной пулю. 11а рис. 7.14 и 7.15 иредставлеиы реззльт»ты расчета распространения т»кой «косой» ударной но ~ны. Рис. 7.11 дгмоистрирует вид разиоствой сетки в исрсмг»кит Нйлгр» п и»ч»льный хв; д«ив вг хв Ркс, тдч момент (:шгр»пжгва сепш) и иа шаг ио нрсмгии й=6. Расчет проведен для значения т =0,215, иревыи~ающего величину гю следующую из условии Куранта. в 4 — 5 раз.
Число итераций ио Ньютону равно семи. На рис. 7.15 и» шаг й = 0 даиы ликии уровня давлеиия. Расчеты выполнены по неявной схеме и, = 1, и. = из = 0,5 на сетке 20Х 20. Расчеты покааалы, что решение тестовой аада- чи об ударной воли! воспроизводится удои.!етворительио дая;о при крупных шагах т. значительно превышающих тх. Лнализ проведенных в настоящей главе теоретических рассмотрений и численных расчетов позволяет по;!твердить для двумерных уравнений га:юной динамики тот >ко вывод, который был 1'ас. 7.!5 сделан для одномерного случая: со !етаиие пеявпыь полпостшо коисервативпыь схси и пн!рапиопиого мето,!а Ньютона дает во.!- можпость построить эффективный алгоритм.
доиускагощий испо!!ьзовзппе грубы.ь с!ток по времени. Двумориые расчеты. приведенные выше. п<юят пл:постратпзиый .ъарактер. В работах [6, 16. 1г3, 2!О. 23[ иолпостшо копсер!штивиые схемы пыли применены для расчета с,!ожиых задач магниткой ги,!ро,ппп!!!яки, имеющих практический ппт!'рос, и так!пи продемонстрировали свою эффективность. ь й!. Вариационно-раююстпый подход к построению полностью нопсерватившях схем Принцип наименьшего действия. Варпацпоппыо нрипцниы являются одним пз папоолее общих способов описания и исследования физичоскпх явлений и процессов.
В [23, 97[ предложоно использовать вариациопный подход для построения по:шосю ю !юпсориатиапых ралпостпых схем двумерной газодинамики и мапштиой гпдродпиамики. В настоящем параграфе па примере газодинамики кратко описаны особенности применопия этого подхода, а розу:!ьтаты, полученные с его помощью, сопоставлены с полностью консервативными схемами, построенными выше в ~ 3. 382 Напев!пик! п)п.(верительно ос~овныг понятия, свя:ыипьи. сиаапациоипыми ириицпиамп, Бак известно, каждан механическая система может быль ох»ракторизовапз пгш|торой фуп(сцией. иааываомой ф(/пк(/кеп Лагранжа: й(Х!.
Хг...., Хх Х!. Х2..... Хт, Г), (, л = ~ /.(г, гх..г, гл,/)Й ( !.1) ны!'1 ийп(|('||! |||!'!' н! ля|и|с||ее |спич('и||с. 1)рпицив (шнмгиыиего действия позно.(|ит нывьсти уравнения дннж! ния х(ехаипческо(1 системы. 1)родсмоистрпруем:|то нз иростейшги примера, (согда хс! ха(ишеская сис(ьгма характеризушси ан|п|, п,(иой стенанью своеоды: /ч .= 1. 1!ус! ь .! (!) .
'! рагкторня д(шжеипя системы, для которой 5 ии(чм' ми|и(нуч Л вЂ” ''(в Это о|пачагт, чго д.и! л(о|и|6 другой траектории х(!)+ 6х(г) (4.2) дгиств|и ии(ч т значение, превышающее Бе (6г(!) — вариация .| (!) ). 1рескольку все сравниваемые траектории (4.2) до..(2(спы в моменты време(ш !! и /2 прови|дить и*роз фиксированные по:и|- щения х'!' и х'2', имеем (йьй) 6х(/!) = 6Х(/2) '= О. Истинная траектория х(/), точнее уравпгппе, (е описывающее, определяотся из условия минимальности Я, т. г, пз условия равенства нулю первой вариации денствия: 65 = 6 ~ Е (х, х, 1) (11 = (!.
|1 (4!.4() где х!..... з, — ебобщопиые координаты сист(мы, полиостт(о оиредечя(ощие !'! по.иикгпис, д/ — |псла стоиепой с(и|йоды системы, ! — время. х, = (/г(/(/! — о((о(именная с((орест(. (12уп(с(спн ,(1аграп(ка сод( ржет только х„и т„ / = 1, ..., /(/, п ие завис(гг от производных более нысоког(| порядка, и:|то отражает то обстоятельство, что мгхапическ(н спето|пни сост(ны пелнш|м перед(— ляется задаши'и координат и опоросы и. !1уст! и сн(|ех! движении систгпо и м(|х(опты нретюпи /! и !! проходит и('которые фикспронапвьи иолнже|шя, задаеаемые найорнмп:шачсипй з,, ..., хк их,, ..., хч. Тот,(ансоотнетствин (|! ,(|! (2| (2| с принципом наименьшего действия Гамильт(ни! днпяп пш систеиь! между зтпмп положш(ними ирои! ы|лит таш(и ш|ра||оч. чтобы интеграл (с/в((ггвив по Гамильтону) Производя оиерапиа< взрьировии<и по ой«тз< и правилам, приходим и равенству 1 ) — 'йх+ —,йх <7< = О, О.» д Х (»<.й<) <! Учт<т« ваи, что ©х = — ' й<, »и левой части (4.5) по частям: проинтегрируем вть-<.е слагаемое в /д/.
д, дь — ' — й» <й = — 'йх и »з» дх '< В силу (4<,Д<) первьш шги в этом выршкопии реы ч пуз<о. Таким образом, (4<.5) даст равенство д.с дх < д» 1 которое в;и ж<ипио:<азы<жется уроапет<»<и»уо р»<иэга. Если функция Лаграпя<а для рассматриваемой метаиич<ской системы известпа, то уравнение (4,6), устаиаилисаюшы связь меи<ду ускорением, скоростью и коорд<гиат<ий представляет сойотг диффорепциальиое ураипеяпс диижсипя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
