А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 74
Текст из файла (страница 74)
дс! дх. <! дх <! Ч М! д! ! 1 д ! 1 ! ! дп<2! дь< с<, Ь д», г<Е- л " л — х< + —, х! — —,, и! — + <'<! — ь'< = О. <! дх< <! 2 !! и! <! дх. <! дх. 2 ! ! Так как в узлах <! и <х также справедливы уравнения Лагран<ко (4.20), то моя<но свернуть в по<<учакицемся равенстве члены, отве'<а!ощип дифференцировано!о ио х,,х<, х:,, х, по формулам, аналогичным (4.30). После несложных прео<<разовапий получим ~! д(~» < 4» 4» ) д х.
~< Зд<'сь использованы уже встречавшиеся ранее формулы: де< дп< «< — — =- + ~<<, д<<! дх! де: )<!— дх дс. 1« — ' ' ох!е1 дс! дв! ' дти Охов 391 11етрудио видеть, что для лаграип<иаиа Х» + х.» + х:» свог<<! <<о н<яиеиия (4.20) выполняются и в узлах <<, <!. Добавим в праву<о часть (4.28) тождества, полученные дифференцированием (4.31) и (4.31'): гт — 1 и — г а + ., яг„с,, '- о г.=о ггг„иь г — а,'-О (4.35) Здесь тч — пасса основной ячейки сеггаг, Игг — — (т!г +т; хг + ты, + гп; ...) — масса вспомогательной нчгйкк, постросяиой вокруг узла (й /).
Мы опускаем подробиости, связаииые с рассмотрением граничпых узлов сетки, введепием фиктивных слоев ячеек вдоль границ и т. д. Эти вопросы обстждавгтся в !20, 22) . В качестве доиолпительиых соотпошсггггй (уравнений связи) рассмотрим заков сохранения объема: Яи р, ж..
'г (4 Дй) где Юга= Я(хь хг,гь хы,г, хгаг г г, уь у г г „у,, г, у,~гг,г) — площадь ячейки сетки. Для ее оиределеиия аюжио воспользоваться формулами (2.24) или (2.25). Кроме того, считаем, что в каждой ячейке выиолпоио соотпо- Р игеггие, выражающее второе качало герагоднпааигки: с/е = —, с1р, о а в узлах сетки справедливы дииамические уравиоипя Их 0 г!Уй (4Л7) 26 х.
х. самарская. кз. и. Паваа 383 которая совпадает с полпостьго коисервативпой схемой, построеииой в гл. П, Мы подробно остановились иа одпомериом случае, чтобы иа простом примере паглядпо продсмоистрировать особепиости примеиония вариациопио-разяостпого метода для построеиыя полиостгло копсерватявных схем. Однако следуст указать, что в одиомериом случае достоииства вариацкоиного подхода пе проявились в полной мере.
йг. Двумерный случай. При яспользоваиип варыациоппого подхода д:гя построегьчя полностью коисарвативпых схем отправиым иуггктом яв.гнются построение разностной фушщии Лаграпжа и формулировка донол и нтслькы х сооти онюиии — у развея ий связи. !!осло этого гтострог ниг системы диффереыциальпо-разиостпых г рависияй. а затем и пгг.гностьнг копсервативиой стгмьг сводятся к выяолиеннго формнлнзоваггпых процедур. !'ассмотрии двумерное плоское течг ние газа н области Л: (О -а — 1„0 -(г =-1,); а=х(!)).
6 =у(0) — лаграижевы координаты. !! В ввс;и и сетку так, как эго было ояясяяо в а 2. Тогда по аналогии с одиомерпыы с,гучаем фуикцгио Лаграпка можно заяпсатг, в следуюгцсм вкдг Вамотим также, что внутреяняя энергия якикн ео является сложной фупкцпе~ координат узлов ячейки е„= е (ц, (х,, х„~ „х;„ь .т;,:, „у„, й„, „р„.,ь уил злы)]. (4,38) Принцип на11меныиего действия в случае двух независимых пространственных переменяют ириводнт к системе уравнений Лагранжа: 11 г1 (»1» ') д1 ( ' / ду.- (,ду. ! и (4 хйй) Подставляя сюда лагранжиан (4.33), имеем для внутренних уз- лов сетки: М1;У д51 д51 — М- 11 д51 = Рнд 41 Ыд.; с11 зз50 -(- Р11 з „н т.
д. ду1 (1.11) д5», ечз д51 1-1 = Рн д, Р1-зт д, + Р— зз-з 'уи ду1 д51 дии д5;,; д5; Входящие сю;1а производные — ',—, '.. и т. д. д И' д«11' дхи ддн вычYсля1отсн для площади ячейки (см. (4.24), (4,23) ). Подставив значение зтнх нроизводных в (4.10), (4.41) и проведя громоздкпо, но несложные выкладк1ц можно ноказать, что иравые части дифференциально-разиостных уравнений (4.40), (4.41) совнадают с правымо частями уравнений симметричной схемы (см. (3.1), (3.2) ). диалогично одномерному случюо строятся н другис дифференциально-разностныо двумерные уравнения, к которым потом применяется операция дискретизации по времени. В результате иолучим двухмерную полностью консервативпун> схему, которая сони»дзот с симметричной схемой из 9 3. С номощью вариационно-разностпого нодхода в (16, 17, 19) ностроены нолностью консервативные разностные схемы для уравнений магнитной гидродинамнки и вынолнеиы расчеты ряда ирактичесжг важных задач, связанных с исследованием устойчивости процесса сжатия лазерных термоядерных мпшен и, «схлонывания» тяжелого лайнера, Ревой — Тейлоровской неустойчи- 394 вости и т.
д. Результаты этих расчетов подтвердили высокую эффективность полпосттло консервативных схем. Касаясь сравнения двух методов построения двумерных полностью консервативных схем, следует отметить, что вариационно-разяостный подход имеет более формаливованную структуру.
В то же время метод, использованный в т$ 2, 3, обладает большей наглядностью п легко обобщается на случай учета диссицатквпых факторов, таких как теплопроводпость, конечная проволимость и т. л. На яаш взгляд, яа практике при построении полностью консервативных схем следует разумно сочетать оба метода.
26» ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИМЕРЫ ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ !. Взаимодействие плазмы с магнитным полем в канале рельсотроиа *) 1. Они<ание эксперимента. В работах [37, 108) описан эксперичент по горио кепи~о плзэчокгэко сгустка чегвнтпыч погкгч э канал рельсотрока. Схеча экгпгрпмеитазькой усгаповкп представлена па ркс. 1, б. Плаамеиный сгусток, полученный путем сжатия газа (водорода) з й-пияче, инжектироватгя э рельсотрон, предстаелюощий собой деа парэллольпых элснтрода, иодклгоченных к батаэсе конденсаторов.
В начальный момент пространство между электродами однородно заполнено холодным нспроводящим водородом при давлекоп 0,3 гбр. Б пекоторып момент времени электрическая цепь Ис(печник пплзмбг г9 — жчгч1 Ютггб; У Рис. 1 вамыкаетси через горн жй плаамеппый сгусток, вошедшг31 в межэлектродпый промежуток.
Бознпкагощее чагопгоое поле, капрааленное перпендикулярно к плоскостэ рисунка, тормозит дни;ж иие сгустка. В эксперизгепто изучались особепносги динамики торчо:кения сгустка, в частности зависимость от начального напряжения иа батарее кокденса- ') Вта рабо~а выполнена авторамп совместно с Г. В. Даннловой, В. А.
Дорочкнцыным, С, П Нурдгомовым н .!. С. Дареной. Г!одробное ев налоигекие содержится в [3гь 8э[. 396 торов. Фикси(ювались СФР-граммы (пространственно-временные диаграммы) движения плазмы в мсжрельсовоч проллежутке (рис, 2), а также регистрировалось пространственное распределенно температуры в плазме вдоль электродов на последовательные мамонты времени. При определенных значениях параметров в э«спорил~готе ваблюда.тся сложная сколотая струнтура, возникающая в плазме зз фропюлг ударной волны (рис.
2). Лпалнэ распргдолепнн тем« "р,муры по«лзынзгт, что эта структура образована чнролун~щнинся зоннчн срннщыслыюго горячего (температура Т вЂ” 2 . 5 эв) и хо:юдного (Т вЂ” 0.2 —:0,5 эв) ~аэа, Светки)неся ,. гн Рис. 2 слои, отделе«лыс от фронта ударной волны тсмпыи прочежутком, двн:кутая в обратном напровлснан, кэл нос~но послгдоннгелько рождаю«)нхся слоев, наблюдаемых в экспсричснте, около десяти (па рис 2 — жесть). При этом одновременно п капал~ ргльсатропа ннхо,клтгл ке более одного —;)вух слоев, Важной особгнносыно слоистой нартнны тсы пня явля«топ пороговый характер условий ео появления: она гн~ «подастся ллгщь при достал ~оно больплолг па ~зльном папряв'енин яа батарее конденсаторов, превышающем величину 1'н = 400 — 50о в. 2. Постановка задачи.
В численном эксп рплк нте аадзча о тормолншии плазменного сгустка лгзлпптным полом рзсгчотровзгтся в рамках урнвпсннй магниткой гндродиналпн'и в однол«рноч (плосноч) нгстационарном приближении в лаграпжсвых массовых пгргчгпных. Рагчст начпвагтся с л~очепта, когда нчазмгнный сгусток входит в чоя:рельсовое пространство и замыкает нпгп~нюю элю, гри ~ескую цгпь (рлс. 1, 6). Плазменный г: устав мадстнрустся ударноп волной, распростраплющс)1ся по покоящемуся холодному газу, заполняющему рельсотрон. Снорогть лннжопяя фронта ударнов волны, размер сгустка. т. е. донна нплоэмонноб щ об«лн за фрон гом вол. ны и другие параметры энднчи согласованы с и;гнорнвоотнльлынн данными.
В эксш римепте плззмсвный сгусток, доигалсь от источника плалчы к элеятродам, увлсвоет зн собой газ, так что ..а пич образуется рнзргз.ечпое пространство, где давленно ннло. В оосчгтзх зто обстоятельство чодслиро. взнос«с полющ«ло левого «рясного условна яо гн юликами«гс«им функциям: на левой гранипе во все время процесса полдгрлщлвалось пулегоо давление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
