А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 70
Текст из файла (страница 70)
(2.13) Это уравнение аппроксинируст;(пвергентпое дифференциальное уранпепие (1.27) и вь<ра<ка<т разностный аналог закона сохранения полной зпергнп для рассматриваемой дискретной модели. Заметим еще, что нз (".7) и (2.8) оченпдным образом вытокает ранепство г<= — р ' ~ —,), (2.14) ан~рсксннпрую<цее нгдпнерг< отп<н< дифференциальное уравнение энергии (1.2(>).
Итак, в стоне 1 прострапствепныс н нренопньп. интерполяции отдельных ч:и нов разпостных ураннеппй подобраны так, что для этой схемы выполпя<отся законы сохранения импульса и полной энергии (закон совр«пгпня массы, как говорилось вынш, выполняется автоматически), а также баланс внутренней энергии в формулах (2.8), (2.11) и (2.14). Иак видно, схема 1 является несимметричной и пмеет первый порядок аппроксимации во времени и пространстну 0(т+<Ь.+ + Ь»), В частности, нрп опргде.и<пни полной энергии ралпостпой ячейки в этой схеме с+ и'«2 (см. (2.13)) кинетическая энергия вычнсляотся по скорости лишь одш<го пз ч«тырсх узлов (углов ячейки), а именно нижнего левого ((, «) (см. рпс. 7.1). Подоено схеме 1 мои<но построить егце трп схемы, пос:<вдов«- тел< но проворачивая шаблон на уго.< и 00, Псе зтн схемы такжо явллютсн песпнметрпчпымп, кинетическая:<пергия нчейкп сетки в ннх опргдол<п.тся по скорости одного из четырех угловых узлов.
Указали<<с схомы есть двумерные «налоги несимметричных одномерных схом, в которых точно также кинетическая ансргин одномерной ячейки сетки — массового интервала, опре"«б7 деляется по скорости одного из ого попцов (см. гл, 11, т 3, п. 2)'. Если предположить, что рассматриваемое течопие является ор; номерным, то несимметричные двумерные схемы дли этого случая вырождаи>тся в соотнстстну»оп(пс одпомгрпыо полностью консерватпвныс схемы. ;1 ЮЬ»«»»«»'» ",':Хм" рис.
»Л Выпишет! уиочвиутыс иесиммотрпчиыс схсиы, а также соотнетствуи»щис пм дивергситпые виды:»описи уравнения зпоргип, считая по-прожисиу дли простоты г == !). Схема 11 (см. п»аблоп ва рис. 7.3); ги( 1!) и! = 1г [Р Ч = Р ( — ".) Ч вЂ” Р Ча («,) («)! Г («) (а,) («,) (а ]1 [р~, (а ) г (« )» и!а! = — р ' Лт(и.у Ди!»оргситпы(! нид уравнения зп» р! ии: »и'(г + «)! =- [(Р ( 1!),и» и (+1.))» (Р Чй и )ь1' (чи ма 111 (см, »пю»лоп па рпс. 7Л): и»( — 1,, — 1!) и! = =Рч,(Р,Ч !) — ~р ( — 1.,)Ч-, — р„- ( 1!)»„ («) (а!) г («) (а) («) (а„)1 »ч( — !) = Л«(и, Ч('$)) = [и(вы(+1„) Гд — п1,0ы(+1,)Ч!'»~[, ,'р)! (а„) ! (ае т тие! = — Р»»«! и, Ч ), Дннергептпый нпд уравпсиип зип ргпп: и (+1и +1т)) Схема !Ч (см.
пгаблои па рис. 7.5): с( — !с) и = Ус (Р ' и ' ) = — ! Рб ' Уь ' — 71 ' ( — 1,) У„- ('с) ("а) ' (' ) (' ) ( ) - (ас) ! ~~„)— гпсс = — р ' Лс (и, у(эс)). Дявергептпый вид уравнения энергия: 2 (а ) = — ~(р 'д,, - и "),— (р ')( — 1,,)рс ')и "(д-1,))~~. Отметим, что лссп каждой иэ схем !! — !У имеет место запись ураниеиии днижеппя и энергия н бсорме, подобной (2 10) и '.1 с1 с с1 1, с с"1сс 'гс йгис'ссг сЗМюсс сгс Рис. 7.сс (2.11) длп схемы ! с дивсргсптиой правой частью, !(роые того, для всех этих сгпсм уравнение эиоргии записывается также в форыо (2.!4).
Укажем сссю, что в каждок пз схем ! — !У уранпеиие двиисеипя записано дпс скорости и в узло (б >). Поэтому иск' с-1 с'. 1 сэс 11Жлас зс с' "м с.ис. 7,5 величина ис, входящая н это уранпеиио, в каждой пз схем отиесепа к соответствующей ячейко, пркымкающей к узлу (с, !). 3. Анализ закона сохранения объема для несимметричных ехеы. В общем слу"гас прн наличии второй кохгпоненты скорости и Ф О семейство песиыхютрячиых ревностных схем для уравнений 369 газодинамики может быть записано стадуюи!им ооразом: ииь! = л „[р~ '), у( ')), тг, = — Т!(р ', х '), 101) (ов) ('!.10) (2.10) (2.17) юг!=.
— р ' ~Л„(!0 у ' ) — Лл(г, х ' )1, х и!ол! (о ь! у! = р=Я(р, Т), е=М'(р, Т), (2 18) (2.19) (2,20) п=1, 1= 1, о =-1, из=0 Лиалпз других схем проводится точка тагилов и г!рииодпт и аиалогичпоыу результату. Преобразуем дли выбранной схемы правую часть уравнения неразрывности, иоспользовавьчигь урнпиеииоы (2л,1!э) и краи!лом разпостпого дифференцирования и ! времени пропзнедоиия: (Й) ! = Й! + И! Иллеоы Л, (и, у) -- Ло(о, х) =- =1и~~ ' лрь (+ 1,) -- и'""'У„( 1-1 )1 — - ! ' л!(+ 1ь) гь — — (ол!(+ 1,) х 1 = = [х„!уь(+1!) — - хыуо (.81.,)) — [!й! (+1о) хь уьь( 1 1!) хо[ — ' = [х„уь( '-1,)--хьу,(+1ь))! = г(!, (2.21) где (222) ь( = х,уь(+1!) — хьу.(+1!). '1'аким образом, уравнение неразрывности (2Л7) при выбраниьгх значениях параыетров и, 1, ок ол преобразуется к виду т ~ — ) — !( (2.23) где и, ( = 1, 2, 3, 4, иринам допускаются произвольны! сочетания зио и иий ь! и б а 0 == о!, оо, по ~1 — параыетры слепы.
1(ри записи схемы (2 15) — (2.20) сделано предположение о равиоыорности сотки и!, = сопя!. И силу того, что н уравнения двикоиия, неразрывности и энергии члаиы с компонентами скорости и о плодят н нида от;!альных слагаемых, свойства сломы ири лк!- бых и и 1 аналогичны свойстнаы ст! и 1--1Ч. Так в этой стем ° гыполиопы закон сохранения полной энергии, а иодгпк ргеитига уравпоиие (2.18) можно привести к соответствуюгцои,[иаарп ит иой форма записи. Выясиилл, как обстоит дело н схеме (2,15) — (2.20) с закопан сохранения ооъома.
рассмотрим этот вопрос иа примере !зв!кр! тпай схемы: который нвлнется разкостпым аналогом диффорепцпальпого уравнения (1.24). Поэтому функция [1 должка аппроксимировать а[с, у) якобпнп Л= — '' . Нели пша пкобиапа преобразования, как ива [н, ь) ' вестпо, продставляет собой отношепио элементов площадей па плоскостях (х, у) п (е, Ь). Естественно треоовать, чтобы разпостпап аппроксимация акобиаиа равнялась отпошени[о площади ячейки Я(1) (см. рис, 7.0) к ее плоп[адп н начальный момент Л(0) = Ь.Ьь.
Рассматривая стороны ячейки ЛВСВ как вектора ьп) губ Л')ь';,0 а у- ",. Ю[" с['с,, Рнс. 7Я (пнпрпьн'р, ст))рону ЛН кнк вектор с щпк ш[)шмо ([)„.х„, Ь„д„), сторону 7)б как вектор с проекцпямп (Ь.х. (+1т), Ь.у. (+1з) п т. д.) и используя 4)орх[улы векторного апалеза, можно выразить площадь ячейки Ь' с помчщыо одно[у из с,п)дук)и[их формул (см, рис, 7.0): ь,у) ь Ь' = 5, + Ь', = — ",, 1(цсд),(+1,) --хь(+1,)дь) + + ( ' (+1.) у, -- 'ьу«(+1 )И (2 21) [)л))) Ь' =.
лз.) Я„= —,1(.г„у), — х,у,) -'- + (х,. (+1,)дь(+1,)-- хь(+1,) у„(+ 1е))[. (2.25) Еак видно вз сопоставлоппя (2.22) с этямп формулами, имеет место сооткошопие )1 ~ у(!) я д([') ь аь (') 20) озпачаюп[оо, что закон сохранении обьема в схеме (2.10) — (2.20) нарушен. '!'аким образом, для рассмотренного семейства носиммотрпчпыт слом с порядком аипрокснмации 0(т+ Ь. + Ьь) выполпопы основкыо законы сохранения (массы, импульса, энергии), а такжо соотношение, выражающое баланс внутренней энергии, по нарушен закон сохранении объема. 371 5 3. Полностью копссрвативпап разноетпан схема для двумерных задач газовой динамики 1.
Снмметричнап схема. Помимо проапалпопров>п>пых вышо несимметричных по пространству схем можно построить симметричные схемы, определенные с помо>ньх> сумм введенные вылив операторов 1.„и Л>, Обратимся в качестве примера и с;яду>о>пей схеме (по-п(яжпему сетка равпоморпо т = сояз$): тн>= —,[А (р ',у ')+)а(р >,у (а,) (а ) (а ) (вд (а) (в) (в) (а„] (в ) (а.,) >а ) (ад >> ( (( (а>) (ай (а>) ("в>( = — ))р-'хв в — р-".в ~)+ + (>>- ( — 1.,) х- — рв ' ( — 1,) - ((, (..") (а ) (а>) >а>) (вв) (~ .> ([Л>( 'у ) + 13(п' р )] [ (>(>' > ) Г Лз(>> ' )]!= — ([и, " ув ." (+ 1,) — и~мну„> ( '-1.,)] + — [ов"Л'ав ' (+1,) — »1 ' а„в (+1>)] + + [о>овы(+1,) "( 3) >(0>4>(+( )х( 'л)]), (3.3) п>е> =.
— —, р ' ([Л>(н, у - ") + Лв(н, у - )]— — [Л,(о,"')+ Л.(о х("')]) (3') х, — ц>вл> (3.3>) >>>Ов> (З.С)' р=Я(р, Т), с=8(р, Т). (3.7) Шаблон для этой системы указан на рнс. 7.7. Как видно, он является симметричным по пространству (оа равномерной сетке), и потому схема (3.1) — (3.7) имеет второй порядок аппроксимации 0(й,'+ л~в). 372 Проанализируем вопрос о выполпепии в схеме (3.1) — (3.7) закона сохракеппя объема, например при конкретных значениях параметров аз = 1, аз = О. у-х ь+У з-1 ь ~-7 Рвс.
7.7 б( ('1),("ь)) !пу~ = — — Ь(р, л ) (а) (ь) — =Л(и,у ') — Л(е,л ь), ! ~ () 9) .,= — (">Г. С«, ('-)) — Л(,'(")И, ~0.5~ р! =- ь'к р=У(р, Т), в=В'(р, Т), где Е= — Уэ Г„, Л = — ~ Ль я -ь ! ! (У«10) 373 Преооразуя с помощью (3.6) правую часть уравнения неразрывности (3.3) аналогично (2.21), получки — ((Лд(«, у) + Л,(«., у)] — (Л,(«, х) + Л,(«, л)]) = = — ((л Чь(ч- (ь) — хь (+1 ) рь] — (х, ( ]-1.,) рь — льр,(+1з)])ь = = (, Я ), (3.8) где Я вЂ” площадь ячейкьь сетки, которая определяется формулой (2.24). Полученное равепство свидетельствует о том, что в рассматриваемой сыььметрпчной схеме закон сохранения объема выполнен.
Для этой схемы выполпепы тагоке закон сохранения импульса и различные формы баланса ввутреппой энергии. Заметим, что используя вместо полусумм операторов ~/з(С~+Аз) и !з(Л~+Лз) выражения «д(ьз+ьч) и '/з(Лз+Л4), можно построить еще одну симметричную схему, которая будет «мать свойства зквивалептвостп, аналогичные схеме (3.1) — (3.7). Приведем еще одну симметричную разностпую схему. Опа спределяется с помощью суммы всех чотырех разпостпых операторов д.„и Л: С иомощыо ш посредственной проверки можно уоеднться в сэраводливостн слодующих онораторных равенств: 7»+Аз=Ее+Ь«, Л~+Л«=Л +Л«, (311) в силу которых все трн приведенных выше симметрнчныо схемы совпадают. 3»мепгхг, впрочем, по с точки зрешлн реализации ка кракгцш одна из форм занксн симметричной схемы мо кот оказаться нродэочтнтельнее.
Итак, фактически существует единствок»ое трехи»р»метрическое семойстно снмметрнчиых схем, где гцюстр»исти<нные отношения фиксированы. а О~пи пз. пз=. 1, кш; и в од»отн роом слу чае, «регулируют«ш1гериол»цин~ но времени сеточных функций в правых частях уравнений схемы. Отхштим, что если»ар»метр п~ — ирен»волен, т» нвразн.тры пт и пз связаны между собой. ~[ействительно. ен»лн.шруя закон соти»- нонна объема н преобразуя нравую часть уравнении неразрывности (3.3) в симметричной схеме (3.1) — (3.7), мы выбрали следунпцке зка ~енин параметров: пз = 1, пз = О. Лшьтогк шо мы поступили и ирн ананнве носнмметричной гхгны (2.!5) — (2.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
