А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Запишем теперь ивтегральвое уравнение индукции $и) = — ф для контура, проходящего по витку (штриховая ливия А'ВА ва рис. 6А7) и далее по внешней цепи Ь вЂ” „+ Ш вЂ” У(с)~ + В, = — с)Ф,„(М. (6.39) Выражение в квадратных скобках — падение вапряжевия ва звешвей цепи, Вв — электрическое сопротивление единицы дли- вы витка, У(г) — текущее вапряжепие ва емкости, определяемое из ураввепия с(У(с(с = — 1/С. (6.40) лл Величина Фз = 2л ) Ы,(г,с) гссг — есть магпитвый поток через о ковтур А'ВА радиуса В .
Используя первое из ураввевий (6.36), представим производную от потока з виде с(Фз!ссс = — 2'сВлЕз (Вз с) (6.41) где Ф вЂ” поток магвитвого поля через поперечное сечевие плаа- менного шнура, М-масса плазмы, приходящаяся на единицу длины разряда и азимутальный угол в один радиан. Слошш 34а Запишем соотвошевие, аналогичное (6.4с), для замквутого контура, проходящего по позерхвости плазмеввого шнура радиуса В(с) (см. рис.
6А7): АФ~)г=-2 Л(г)Е,(К(г), г)=-2 Л(г)Е,(М, г), (6.42) ураввеиия (6.39) и (6.42) и учтем, что 1 оо. Получим Ео —, + (Ао+ Я,) 3 — )г(8) — 2ЯВ(1) Е~(М,3) = — — „(Ԅ— Ф). (6.43) ееей'ъ/ Яе ел~ е Я' еиееееее м.г — оеее /' .еело иере Рис. 637 что материал, иэ которого выполнены ставки раэрядпой камеры, является веэлектропроводным. Тогда магнитное поле эдесь постоянно по пространству, так что можпо записать следующую формулу для магнитного потока: Ф вЂ” Ф = я (Л' — Ло(Г)) Н,(М, Г) =- 4яо(Но — Н-'(г)) '(Г). Учитывая все сказанное, перепишем еще раэ соотвошепия, описывающие краевую задачу для уравнений электромагпптпого поля в геометрии 0-пивча: р и, э, .
р-эее* х~ (. ° ) /. -' е (6 бе) ш р ае оч ' т Ола ео Е,(0, Г) = О, П,(М, ~! =- 4лй 6о д, + (/7о -,'— //ь) г — Р(о) — 2Я/7 (О Еч (3/, г) = = — '. -' 4 [(//т — Ло (О) г[, (6.46) ! (0)=);. — — — !(0) = О, ир с м с' Кроме того, имеем НР/еИ = — г/Со, 4(0) О, )г(0) Ро, (6.44! где Ьо — И, его = В(, Са С/à — электротехвические параметры внешвей цепи, отнесенные к единице длины разряда, т'о — вачальвое вапряжение на емкости. В правой части соотношевия (6.43) стоит производвая от магнитного потока Фо — Ф, вычисленного по кольцевой области между плазмой и витком (см, рис. 6.17). Положим, что проводимость в этой области равна вулю, в частности, будем считать, е вееее жмяунее Заметим, что по аналогии с задачей о з-линче (см, (6.8)), из алектротехнических уравнении следует заков сохранения алектромагнитной энергии цепи: е (с) — е (0) — 2п (П + А)+ (3 = О, (6.47) где е (с) = О 5 1Е, + 4па (Х1,' — Х/с (с)) ] са + О 5Сагт (с) — электромагс нитнан энергии, сХ = ~(Х? + Ль) гас(с — энергии, попгедшая на а дисоулев нагрев внешнего сопротивления и витка, с СС, <41, с) и =1/1(с) Е (Л/,с) *, с(с а — энергия, поступившая в цепь н.си вышедшая яз иее в ниде потока Уъссгва — 11ойнтинга, и,'сзс, сг А-5'' Π— работа магнитных сил над плазмой.
Х/олиостыо консервативная разиостиая стелса дли задачи (6.45) — (6.46) строится аналогично разобранному выше случаю з-панча и выглидит следующим образом (л) стг, сг* / = ев ' р/г ' ' зло„ ее=О, Х/я=4пс, ХоСг + (Х/о+ /1ь) гюлг — 1'"С "г — 2гпеРг = — ггпз [(Х7" — г'.ч)с1г. (ОА8) 1' . - сгас /Сгг Са = О, 1'а = 1ссг. В схеме выполнен ра:шостпый аналог закона сохранения электромагнитной эперпси (6.47). 1'ешеине системы разпостпых уравнений (6.48) осущестассиется методом потоковой прогонки тап же, как это описано в предыдущем пункте, з 7. Расчет задач магнитной гидродинамики с учетом фазового игр<хода 1.
Постаиоакгг задачи об электромагнитном ускорении плазмы ири учете фазового перехода. 11еобхшсииость учета явления перехода весг[ества из одного фазового состояния в другое возникает ирн рени иаи многих прикладных задач газовой динамики и магнитной гндродппамики таких, кап, например, электрический взрыв проаолоче~;, взаитсодейстзие лазерного излучения с веществом, фазоаыо превращения в спсииииых средах и т. д. В настоящем параграфе осооепиости постановки задач такого сорта 350 и некоторые методы их численного решения рассмотрены на примере математического моделирования процессов в импульсных электромагнитных плазменных ускорителях эрозионного типа.
Схема такого устройства приведена на рис. 6.18. Электрический ток, возникающий при разряде батареи конденсаторов Со, течет по плазме и разогревает ее. а электромагнитная сила ускоряет плазму в направлении оси х. В результате воздействия потока тепла из горячей плазмы диэлектрик разрушается, переходя рис.
6.<ч из твердого состояний (кондеисирозаииая фаза) в газообразное. Этот процесс известен под иазваиигм эрозии или аоляцик диэлектрика. Возникшая в розчльтатг аб,<яник диэлектрика плазма вовлекаетсн в процесс злектромагиигиого ускорения. Оиисаикые зроэиопные ускорители могут ис! ольловаться как двигатели малой тяги, например длн управления космическим кораблем на орбите, В этом случае п><азу<ос>>разу<ои<ий диэлектрик является рабочим веществом двигателя.
Вольшинство работ по расчету ускорения плазмы в имиульсных электромагнитных ускорителях зрозионного типа выполнено при использовании либо различных иолуэмпкрических зависимостей величины ускоряемой массы от параметров разряда, либо данных эксперимента, на основании которых определяется масса испаренного вещества [15, 44, 7~)), Это делает соответствующую математическую задачу внутренне иесаиосогласованпой. Лккуратиое рассмотрение задачи доля<но проводиться в репках «замккутойз постановки.
в которои изтоматическог о<шсаиие процесса фазового пороки>да ди>ии ктрииа в плазму йкляетси частью об<пой системы уравнений )28, 2>!!). Гас. тр. проц сус<р ° ияи:>! <Цра <ахоло. р!.х иестациоиариых уравнений иагиитиой гилродииамики для случаи плоской симметрии, которые могут быть получены из общей системы (2.11) — (2.20): д /1( д>и ог до . >'Н д 11 — —.— — — + / / ==— д<(,р) д«' и< о« ' . р д«зи' д (11) дс .. р д1< д< ' дг(рl д«' ' 4л ю де до дИ' — = — р — + о д1 до до' (7Л) И у= — ', И" Р' р=р(р, Т), х=х(р, Т), дТ = — кр —. до е=е(Р, Т), а=а(Р, Т). р(0,1) = О, И'(О, 1) = О, ХХ(0,1) = — — Х(1), о ' (7 2) р(М, 1)=О, И1(М, 1)=О, Н(М, 1)=О.
Здесь Х(1) — ток, протекающий через единичный ускоритель, т. е. ускоритель с электродами единичной ширины и единичным рас- стоянием между ними. Величина Х(1) определяется из электро- технического уравнения для внешней цени (см. $ 6): Х,,'— ,", + П„Х= ХХ+Х:(0.1), ии (7.3) о 352 Система уравнений решается в области 1 ~ О, 0 < з < М = М„о + +М„, где М вЂ” масса вещества в ускорителе, отнесенная к единице площади поперечного сечения (так называемый единичный ускоритель). Величина массы М неизменна во времени, в то время нак составляющие ее масса конденсированной фазы (диэлектрика) ЛХ„з и масса плазмы М„изменяются в процессе фазового перехода. Указанное обстоятельство делает целесообразным использование в задаче лагранжевой массовой переменной з, ибо в этом случае границы пространственной области 0 < з < М оказываются неподвижными по массо.
Если же систему уравнений (7.1) решать лишь в области. занятой плазмой 0 =:; з < < М„(1), то возникает дополнительная задача определения на каждыи момент времени положения границы области М,„(1). Кроме того, лагранжевы массовые переменные удобны при анализе процессов вблизи границы плазмы с диэлектриком, где в узкой пространственной зоне происходит резкое (на несколько порядков) изменение плотности. Использование в этом случае эйлеровых переменных привело бы к значительным трудностям при выборе в этой зоне разностной сетки. Будем считать, что левая граница области 0 < з < М вЂ” точка з = 0 — соответствует левой границе диэлектрика, а координата з =М вЂ” границе плазмы с вакуумом. Подобласть 0< а < М„о(1) отвечает конденсированной фазе (диэлектрику), а М„,,(1) <г - М (М вЂ” Мол(1) = М„„) — зоне, занятой плазмой.
'Гочка з„(1) = М, ф(1) есть положение поверхности, где осуществляется фазовый переход. В процессе расчетов она явно не выделяется, благодаря использованию однородных разностных схем расчет осуществляется сквозным образом. При з 0 и з=М ставятся следующие краевые условия где Ьо, Во, Со, Уо — электротехнические параметры внешней цепи единичного ускорителя, соответственно индуктивность, активное сопротивление, емкость и начальное напряжение на ней. В начальный момент рассматриваемая система характеризуется следующими значениями величин: и(з, О) = О, Н(з, О) = О, р(з, О) = ро = совзо при 0 -- з < М, р(о, О) =(р„о) ро, Т(з, О) =(Т„о) о при 0 ( з < М„о(0), р(з, 0)=(р-)о, Т(з, 0)=(Т.
)о при М„о(0)~з~М. р ф с(р р), р(р, Т) =- » р „=рЛТ, г».ф = '».фб ° (оь Т) = г»„= с»» 1 й о*, (я».ф к((» Т)= [ хо 7 1 ~0, о(р Т) = ( ого ~оо7 (7.5) (7 6) (7.7) (7.8) 333 Ниже изложены два метода численного решения задачи с учетом фазового перехода, к разряду которых относится и сформулированная задача об эрозионном импульсном электромагнитном ускорителе плазмы. Оба метода основаны на применении однородных полностью консервативных разностных схем для уравнений магнитной гпдродинамики. Использование единого выражоняя длл уравнений состояния н других фивических свойств вещества в различных фазах ноэволяет явно не выделять границу раздела фаз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
