А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 64
Текст из файла (страница 64)
$2 гл. 1Ч). Однако такой алгоритм становится неприемлемым в случае, когда электропроводяость среды становится малой (а О). Коэффициенты уравнения (5.4) при этом неогравнчеппо возрастают, и в процессе вычисления решения происходит потеря точности. Большие трудности возникают при определении напряженности электрического поля (5.5) Когда проводимость о становится малой, производная от напряженности магнитного поля также стремится к нулю: Н, -— ~ О В то же время электрическое поле Е, как следует из фиаических соображений, должно оставаться конечным.
Определение его значения в численном расчете по формуле (5.5) фактически приводит к вычислению отношения двух малых величин, что и дает плохие результаты. 3. Потоковый вариант метода прогонки. Избежать трудпостей, возникающих при расчете уравнений электромагнитного поля в случае малой проводимости среды, позволяет предложенный в (35, 36) потоковый вариант метода прогонки. Изложим содержание этого метода в применении к уравнениям (5.1) . Исключив плотность тока 1, перепишем (5.1) в виде двух рааностных уравнений где 1+а 1 аа Аь = В,р,+" В)+ь — 1 аа 1 + 1 ь'(Е3 ЕЦ, т~ от+а с, т+ 2л (а~а+а+ оь+ьь) (аь+ аь ) о1+ь+ р1+ь Равенство (5.8), соответствующее второму из уравнений (5.8)', записано в (Й + 1)-м узле.
Для решения системы разностных уравнений (5.7), (5.8) вве- дем линейную свяаь между сеточными функциями напряжен- ности электрического и магнитного полей: пьВ~~ь~ + ОьЕа~ь Уь (5.9) Коэффициенты а„5ь, 7ь пока неизвестны. Выразим иэ последнего соотношения при аьч'О Н'„и' ( уь — ()ьЕ(ь~)/гьь (5АО) и подставим в (5.7), (5.8).
В результате получим (верхние ин- дексы у Н~ь', Е(ь', А~ь"', С',ь~, Вьт здесь и далее опущены) "а в рь4ь , таАь Еь+1 — Еь — — + Вь = О, аь аь рь уь (5.11) С+ Е+ — — Š— Иь~,+ — =О. аь аь Заметим, что коэффициенты аь, рь, 7ь в формуле (5.9) определены с точностью до множителя, тэк что можно ввести некоторую нормировку этих коэффициентов. Сделаем зто с помощью соотношения (5.12) аь — р,Аь = 1. Исключая теперь из (5.11) величину Е„имеем Лью +(рь — Сн.~)Ем-~ = уь — рьВь (5.13)' Сопоставляя получеыное выражение с исходным равенством (5.9), записанным в (й+1)-й точке, можно сделать вывод о пропорциональности коэффициентов: 1/сьь~~ = (5ь С~~~)ать~ = ( 1ь ))~Вь)/7ь+ь (5 14)' Зто равенство позволяет построить рекурревтные формулы для вычисления коэффициентов прогонки.
При этом в зависи. мости от характера краевых условий можно использовать одну из двух возможностей: либо проводить прямую прогонку (т. е. вычисление коэффициентов а„ Рь, 7ь) слева напРаво в поРЯдке возрастания номера узла сетки л, а обратную (вычисвонии. функч ций Е„, В,) справа налево, либо наоборот. Остановимся адесь на первом варианте. Из (5.14) следует, что 11, ~ = а, ~(Р,— Сты)), 7,.„~ = аж(7,— (1В).
(515) (5Л2), переписанное для (й+ 1)-й Условие нормировки точки: а„ц — ~,~~А~~~ = 1. (5.16) дает воэможность. вычислить а„,. 11осле подстановки первого иа соотношений (5.15) в (5.16) получаем аьы = [1+(С,~~ — ~,)Аьы) (5Л7)' Окончательный вид рекуррептпых формул для вычисления остальных коэффициентов прогонки таков: и„,— 6, 1т(п„., — бх).4„„' тх — рзпх, (5.18) у„„-,+(С 6)Л й=16 1... ьу — 1 1(остроим теперь формулы для определенны сеточных функций Е„, И, по найденным значениям коэффициентов.
Первое из соотношений (5.11) с учетом условия пормэровкк (5.12) дает Е, =(1+ ~зА„) (Е,а+В„) 7„г1„, (5Л9) Для вычисления 1!„воспользуехгся равенством (5.10), которое с учетом (5Л2) и (5.19) ъгояпго переписать в виде Н,=7,— 6„(Е„„+В,), й=,у-1, Х вЂ” 2, „1, 0. (5.20) Заметим, что с помощью услошгя пормпрозкп (5.12) мы исключили пз нсох формул коэффициент прогонки и„. Таким образом, в процессе расчетов этот коэффпцпепт можно вообще не вычислять, умепьшие т<м самым объем ппформации, которую нужно держать в оператпвпой памяти ЗВМ.
Вычислительпый процесс, описываемый рекуррептпыми формулами (5.18) — (5.20), представляет собой алгоритм решения разпостпых уравнений электромагпитпого поля (5.6) с помощью потокового варианта метода прогоыки. Для реализации этого алгоритма необходимо аадать зпачепия коэффициентов прогопки слева Рэ, 7э и значепкс фУпкции Е; спРава.
Эти величины опРеделяются па осповапии грапичпых условий задачи. 4. Граничные условия. В магнитной части решается краевая задача для дифференциальных уравнений электромагпитыого поля и облаапс.О(л~М, 1~0. Граничные условия, описывающие достаточно широкий класс физических задач, формулируются в виде х"'Н(0, 1) — Х<оЕ(0, 1)=т<", х'"Н(М, 1)+3<а)Е(М, 1)=т<т), 1~0, (5.21) хоо>О, Х< '>О, х' )+Х"'чьО, а=1, 2.
Коэффициенты х"', х'", Х<", Л<т), т<о, т<з) могут являться функциями времени. При постановке разностной задачи граничные условия аппроксимируются следующим образом х«)Й)' ' — ),«)Е)+< = т<') — — о х<з)Й)~д+' + ),м)Е~~' т<м. (5.22) (5.23) Р-44 л ~~~-~-)» — о — )» — о- л(- "н=лл -с~ — У»э — т» с- д л,=л л' л и-1 л' У+1 Рис. 6.12 Преобразуем несколько левое краевое условие (5.22). Воспользуемся для етого разностным уравнением (5.8) в точке л= — 1 СоЕо — 17о+ Н-) = О, где Со= 2лоо)<о/ро, так как естественно считать, что в фиктивпом интервале о, = 0 и р < = О. Выразим отсюда Н-< и подставим в (5.21): <оу — (Л<')+ 'оС )Е = «).
(5.24) Сравним это равенство с линейной связью (5.9), записанной п и к=О аойо+ РоЕо = То. (5.25) Принимая во внимание условно нормировки (5.12), согласно ко- торому 1/'и 1 и р о а„= 1+()„А„ получим, что ).<') + х<')С з Рз х(1)+Р(И+х(1)с)А ' хм).» ()„<1) (. Х(1)с ) А ' л (5.26) 333 Здесь учтено, что ревностная задача рассматривается на расширенной сетке (см. $ 4 гл. Н), где в силу условий й ~ = О, Й„=О имеет место: Н < =Н<ь Ни=На (рис.
6 12). Значения этих коэффициентов позволяют начать прямую прогонку (5.18). Правое краевое условие (5.23) в сочетании с соотношениями а»1т»+ б»Е» (», а» = 1+ б»А» = 1 (А» = 0 в силу условия )»» = 0), дает (т> (т) ' » (»> <»> й — х бл ), — х Определив Е», мы имеем возможность совершить ооратную прогонку (5.19), (5.20). 5.
Замечание об устойчивости потоковой прогонки. Для коэффициентов исходных рааностных уравнений (5.7), (5.8) в точке Й=О справедливы неравенства -1»>0, Со~о. Кроме того, по условию (5.21) х' " > 0 и ),' " ~ О. 1! оэтому ноэффициент прогонки рэ, который вычисляется по формуле (5,26), неполо>кителен ро = О, причем знак равенства здесь имеет место линн прн ). " = О, С. = О (о. = О) . Отрултура коэффиционтоэ Л», С„э формулах (5.7), (л.й) таково, что нри л>обои )т = О, 1, ...
А„>О, С»=О. Это обстоятельство с учетом условна.ро == 0 ноэволяет закл>очить на основании рекуррентной формулы (5.18), по коэффициент прогонки б» воюду ноноло>т>ителэн:,3,--= О, 5 =0, 1, ..., М. Но тогда в силу (5Л7) имеем 0(а»<1, й= 1, 2, ..., )'т'. Полученное неравенство и формулы для коэффициентов прогонки (5.15) гарантируют устойчивость описанного вычислительного процессы по отношению к случайной ошибке. Неположительность коэффициента р» н условия (5.21) обеспечивают необращение в нуль знаменателя в формулах (5.27). Непосредственный анализ формул потоковой прогонки (5.18) — (5.20), (5.26), (5.27) показывает, что построенный алгоритм решения разностных уравнений электромагнитного поля применим н для задач, где проводимость малы пли равна нулю.
Если в неноторых точках сетки проводимость обран»ается в нуль, то в соответствующих узлах коэффициент С, также равен нулю (см. формулы (5.7), (5.8)). Однако это не препятствует использованию указанных формул. Более того, алгоритм легко переносится и на другой предельный случай,' когда проводимость среды приближается к идеальной н — . Здесь вместо коэффициента С„ который неограниченно возрастает, следует вычислять обратную величину р +р йл (о» + о»,) (Ь» + Ь» >') ' озс Коэффициенты прогонки теперь будут вычисляться по формулам, следующим из (5.18) после умножения числителя и знаменателя на .0,э~..
1 — р„ц,+, гэ„+, (т„— р,в,) гэ,,, + (1 — б„гэ„,,) л,,' ™ = 0,~, + (1 — 6„0„э,) А,, (5.28) ра+э Соответствующие видоизменения претерпевают и соотношепия (5.26) для коэффициентов ро, (э. Таким образом, сочетание формул (5.18) и (5.28) дает однородную ревностную схему, позволяющую осуществлять расчет уравнений электромагнитного поля при любых значениях электропроводпости среды о без явного выделения границ непроводящих и идеально проводящих областей. Описанный потоковый вариант метода прогонки применим и для расчета раэноствого урэвш ооэ энергии в тепловой группо уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
