Главная » Просмотр файлов » А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики

А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 59

Файл №1161630 А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики) 59 страницаА.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630) страница 592019-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Используя правила векторного исчисления, запишем го»[» Х Н[ = — (чд)Н+(НЧ)» — Н с))ч ч+ ч й»Н, аао Учтем, что з)гтН=-!1, н выразим пз урапвгппп неразрывности (1.14) б!чч: ~!!ч ч = — — ~ — + (чу) Р1. ! Гор р (оз Подставляя все зто в (1,17), получим уравнеппо нпдукцнп в виде оз~ )+( )! ) ( ) (1.22) (1.23) еа, та, Ро, Ты Масштабы намерения остальных величин вьдю;казотся через параметры (1.23) следу~ощип образом: -1 з з з ° '-' з — з = !'опо = Роз'о! ° 'о = ' = 'ого цо = р ро = ео!о Ро 1зо = ' 'гоК ' 'з'о!о Ро' 'и = сКг,иа гЗа'Ра' (1 24) , — з з — 3 по = 'о,'г'-о = с «о го~ Чо = еодо = гаго з з — з о -з Iо — з'о!о ° !1'о — Роно = лого Ро ха = 'и!! и'То = — з'ога РоТа С учетом сдолаииого выбора мнсштаооп гпгтгма уравнений магнитной гпдродппампкп преобразуотся и безразморному виду (тильда — сиююл безразмерной функции — опущена) дп,, ач — -';- о!ч Рч —.— !!, — + (чч) ч = — — ' га<! р + ! И ' ' от Р ! = — го! Н 4л 1 = (1;з( Н)/р, з = оЕ, — = юб[ч 'зс Н) — го! Е, дН аз (!!чН = !), (1.

25) 1 — ! е + —, ! ! (чЧ) ! е + —, ! = — — <! !ч рч + д + (1ч) — — рйч чч, д= —, %= — хигао!Т, р = р(Р, Т), (!е) Р е = е (р, Т), х = х (Р, Т), о = о (р, Т)о 299 5. Уравнения магнитной гндродииамики и безразмерной форме. Выше, в гл. 1У, отмечалось, что прп численном ращении конкретных задач соотвотствузощую систему уравнений удобно привести к безразмерному виду, выбрав и качестве основных размерных масштабов кокоторые характсрпыо параметры.:!юбзп функция прп этом представляотсп в видо г'=ГаР, где р и Т вЂ” соответственно размерная и бозраззгерпая величины, !'а — масштаб измерения.

Обезразмерпи систему уравнений магнитной пгдродпнамнпи (1.14) — (1,21), приняв за основпыо размерные параметры вели- чины Как ввдпо, за исключенном рагмгр ого мпо»пптгля е в уравненпях поля и в выра;панин для электромагнитной силы, Система (1.25) совпадает с системой (1.14) — (1.21). В дальнейшем мы будем использовать уравнения магнитной гидродипамики в форме (1.25), предполагая, что обезразмериванпе выполнено. Основные масштабы (1.23) выбираются в соответствии с конкретными особенностями рассматриваомой задачи. Если величины этих парамотров ваять в виде хо = 10" см, /а = 10" сек, ро = 10'г/ел', То = 10" гв, где вг, п, /г, р — некоторые числа, то остальные масштабы будут иметь значения по=10" " сл/сек, ро 10г'" "'+" дп/слг св 10н" "'+" г агм, го=10г'* "' грг/г, Но=10 "+"" г, Ео= 10г'" 'с+»~-' г в/гм, /о == 10»~-' "+' а/см', по =10'+" '-"' 1/ол.

ел= 9. 10"+" '" 1/егк, оо = 10г'" г" орг/г . еек, /о = 10»' г" дп/" Иго —.— 10го"-"'+" орг/еек гаго, мо = 10' г"+» " грг/сек сл эв. й 2. Уравнения одномерного нестационарпого магнитогидродинамического течения 1» ~В (г"Н,) ==- О, (о $) где г — эйлерова координата (радпус), Н, — компонента вектора папряжвнности магнитного поля вдоль радиального направлепия; значения параметра и О, 1, 2 отвечают соответственно плоской, цилиндрической и сферической симметрии задачи. Для плоского случая (и =0) из (2,1) следует П„= „= сопвС, (2.2) причем, используя уравнение индукции, можно убедиться, что постоянная И, пе зависят н от вромепи.

о Для случая цилиндрической симметрии (я = 1) уравнение (2Л) дает Н, А/г, (2.3) 1. Ос»»бенности одномерных задач в магнитной гидродппампке. Прежде чем формулировать спстему уравнений для одеон~ рных магпитогпдродппампчсскпх течспш1, когда все функции зависят лишь от одной прострапственноп координаты, проапалозпруги структуру, которую имеет в этом случае магнптное поло, Пбратимся к уравпепи»о йуН= О, Для одномерных задач ооо прп ~6- ретает вид где постоянная Л также пе зависит от времени. Заметим, что если в задаче область изменения пространственной переменной г включает ось симметрии г=О, то А О, и тем самым радиальиая компонента магнитного поля отсутствует: (2А) Н,=О.

В противном случае у оси системы напряженность магнитного поля принимает бескопечио большие значения, что лишено физического смысла. Аналогично в случае сферической симметрии (л = 2) получаем П, =А/г"-. (2.5) Однако остальные компоненты магнитного (а также и электрического) поля здесь оказываются тождественно равпымп пулю, Пояснить зто обстоятельство можяо с помощью следующих паглядлалаа .а пых рассуждений. Рассмотрим пекоторую сферу радиуса Ле, центр которой совпадает с центром симметрии задачи (рнс. 0.2). На этой //га сфере в силу симметрии задачи любая компонента магпнтпого поля прп всех значениях углов<ри 0 должна иметь одну и ту же велп- //~ чипу, например Н,(/хо, ~р, О) =//т,.

Очевидно, однако, что это возможно не иа всех шпротах О. //алка Исключение составля1от полю- // сы 0 = 0, и, где функция УХ, ста- Рис. 6,2 ловится мяогозпачпой. Поэтому необходимо положить //ч = О. Тек как радиус рассмотренной ь с4н ры произволен. го //,(г, /) =. О. Аналогично получим, что Нс(г, /) = — О. Если к тому же область изменения пространственной переменной содернсит центр системы (с=О), то в (2.5) А О, и, следопатольпо, в этом случае электромагнитное поле товсдествспно равно пулю.

Если же задача решается в области, пе содержащей точку с=О, то возможно радиальное магнитное поле, «епзмепкое но времени и спадающее по радиусу в соответствии с законом (2.5) е). Однако и в этом случае опо пе оказывает влияния яа депжение среды. Поэтому одномерные задачи мапштиой гпдроднпамэки имеет смысл рассматривать лишь для плоской и цплпядрпческой симметрия. *) Аналогичный флкг имеет ыесго н в газовой лннаннке: в задачах, облаве|ежах сферической снчыетрней, возножно лишь радиальное Ленженне. 201 2. Одномерный плоский случай. Пусть в« компоненты векторов скорости и напряженности магнитного поля отличны от пуля т= (о, и, и), Н= Ш., 1!о. П,) и зависят только от х и й Как отмечалось в предыдущем пункте (см.

(2.2)), продочьвая компонента магнитного полн постоянна П, = Н о = сопз$. (2.0) Из ($.25) следует, что вектор напряженности электрического по- ля и плотность электрического тока имеют лишь поперечные компоненты 1= (О, 1„, й), Е = (О, Е„, Е,), д11, < =пЕ, , он, (о —— — —— 4л дх 1< = аЕ,.

(2".1) Компоненты вектора плотности алсктромапштной = р ' [1Х Н[ вычисляются следующим образом: <<11х. 1х, (<о 11< '<Но) 1о = силы 1 = 'о11хо 1* = — ""' (2 й) Р Эти выражения с учетом (2.7) можно представить также в виде 1 д 111„'- 11о'1 П„о д11о 11хо дП р дх ~ зл !' о 4лр д.о' ' 4лр дх' Джоулсво тепло в уравнении ввергни представляется в нескольких формах и= ' ' = — (Е +Е)= о<о+ < < о о,о о+ (2.0) Р Р о * ер до до 1 др — +о — = — — —.+1, до дх Р дх 11хо д11 о 4лр дх ' 11. о оИ, 4чр дх ' ди ди — + о —. д< дх д<о д<о — + <' —.

= 1о д< дх Нх=Н о 11„о д 302 Принимал во внимание все сказанное, взявшем систему уравнений магнитной гидродинамики дпя одномерных плоских течений в переменных Эйлера др др до — — =ы, д< дх дх (2ЛО) д ~(Нг д (Нг) го диг Ф длц дЦ г — '* — 4л дл $ дНг =аЕ, = — — —. 4л дг д ( +и +и +» ) д ( +и" +и +иг) 4 д = — — —. (р ) + о + 1» + 1, + 1г'ю, р дг о = — (1цЕи + ~,Г;~, Р р=р(р, Т), е=е(р, Т), а=а(р, Т).

Уравнение индукции здесь записано в форме (1.22). Поток теп- ла в уравнении энергии для простоты опущен. Введя лагран- жевы массовые координаты г, 1 (см. $ 3 гл. 1), систему (2.10) мол~но переписать так (2.11) — = о, (2.12) ди дд — = — —. т 1»г Щ дг ~~„а дНч 4л дг дд — =и оС д» д~— (2.13) Н.»дН, 4ч дг' дм гн 1г (2Л4) (2.15) Нг Нгег д 1Нч~ ди гн(р1 "' дг д Р дН, Р ддпи (".18) 4Ч Ог Ф г г 4 д 1»е+» — -»:"1 д — ~е+ 1= — — (рг) -~.

д+ !,.г+ бн + 1.», ддр ( 2.10) (2Л6) (2.17) ( а = — (~у Ни + ~г ~.'г) р / р=р(Р„Т), е = е(р, Т), а=а(р, Т). (2.20) 3. Различные формы ураененгнг энергии. В $ 3 гл. 1, где рассматривались уравнения газодинамики, отмечалось, что уравнение знергии может быть представлено в нескольких формах, выражающих различные физические аспекты явления. В математическом отношении зти формы эквивалентны и сводятся друг к другу посредством равносильных преобразований. В дальней- ЯОЗ преобразований ) д Это н есть дивергептнак форма уравнения зпсргпи *), указывающая закон изменения полной энергии. Выражение для полной энергии, стоящей под знаком производной и левой части (2.25), складывается иэ тепловой, кинетической и магнитной энергии.

Напомним, что в приближении магнитной гкдродинамики апергией электрического поля пренебрегают (см. (1.7)). В правой части помимо члена — д(ри)/дг, связанного с работой газодинамических спл, присутствуют члены — — и —. ~ — (/1»и + П,и), дг ~ 8л ) дг~ 4л выражающие работу магнитных сил. Заметим, что первый из этих членов аналогичен работе сил газокинотического давления, в связи с чем нсллчпиу (1/опт Н,)/(Яп) называют магнитным давлением.

Выражение П„=(Ев/1, — Е,/1„)/(4л), входящее в правую часть (2.25), является кроекцией на радиальное направление вектора И =- [Е Х 1Ц /(4л), который имеет смысл плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова — Пойггтииеа). 4. Случай цилиндрической симметрии (Н, = 0). Рассмотрим сначала задачи такого типа, когда пространственная область содержит ось симметрии.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
4,28 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6447
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее