А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Используя правила векторного исчисления, запишем го»[» Х Н[ = — (чд)Н+(НЧ)» — Н с))ч ч+ ч й»Н, аао Учтем, что з)гтН=-!1, н выразим пз урапвгппп неразрывности (1.14) б!чч: ~!!ч ч = — — ~ — + (чу) Р1. ! Гор р (оз Подставляя все зто в (1,17), получим уравнеппо нпдукцнп в виде оз~ )+( )! ) ( ) (1.22) (1.23) еа, та, Ро, Ты Масштабы намерения остальных величин вьдю;казотся через параметры (1.23) следу~ощип образом: -1 з з з ° '-' з — з = !'опо = Роз'о! ° 'о = ' = 'ого цо = р ро = ео!о Ро 1зо = ' 'гоК ' 'з'о!о Ро' 'и = сКг,иа гЗа'Ра' (1 24) , — з з — 3 по = 'о,'г'-о = с «о го~ Чо = еодо = гаго з з — з о -з Iо — з'о!о ° !1'о — Роно = лого Ро ха = 'и!! и'То = — з'ога РоТа С учетом сдолаииого выбора мнсштаооп гпгтгма уравнений магнитной гпдродппампкп преобразуотся и безразморному виду (тильда — сиююл безразмерной функции — опущена) дп,, ач — -';- о!ч Рч —.— !!, — + (чч) ч = — — ' га<! р + ! И ' ' от Р ! = — го! Н 4л 1 = (1;з( Н)/р, з = оЕ, — = юб[ч 'зс Н) — го! Е, дН аз (!!чН = !), (1.
25) 1 — ! е + —, ! ! (чЧ) ! е + —, ! = — — <! !ч рч + д + (1ч) — — рйч чч, д= —, %= — хигао!Т, р = р(Р, Т), (!е) Р е = е (р, Т), х = х (Р, Т), о = о (р, Т)о 299 5. Уравнения магнитной гндродииамики и безразмерной форме. Выше, в гл. 1У, отмечалось, что прп численном ращении конкретных задач соотвотствузощую систему уравнений удобно привести к безразмерному виду, выбрав и качестве основных размерных масштабов кокоторые характсрпыо параметры.:!юбзп функция прп этом представляотсп в видо г'=ГаР, где р и Т вЂ” соответственно размерная и бозраззгерпая величины, !'а — масштаб измерения.
Обезразмерпи систему уравнений магнитной пгдродпнамнпи (1.14) — (1,21), приняв за основпыо размерные параметры вели- чины Как ввдпо, за исключенном рагмгр ого мпо»пптгля е в уравненпях поля и в выра;панин для электромагнитной силы, Система (1.25) совпадает с системой (1.14) — (1.21). В дальнейшем мы будем использовать уравнения магнитной гидродипамики в форме (1.25), предполагая, что обезразмериванпе выполнено. Основные масштабы (1.23) выбираются в соответствии с конкретными особенностями рассматриваомой задачи. Если величины этих парамотров ваять в виде хо = 10" см, /а = 10" сек, ро = 10'г/ел', То = 10" гв, где вг, п, /г, р — некоторые числа, то остальные масштабы будут иметь значения по=10" " сл/сек, ро 10г'" "'+" дп/слг св 10н" "'+" г агм, го=10г'* "' грг/г, Но=10 "+"" г, Ео= 10г'" 'с+»~-' г в/гм, /о == 10»~-' "+' а/см', по =10'+" '-"' 1/ол.
ел= 9. 10"+" '" 1/егк, оо = 10г'" г" орг/г . еек, /о = 10»' г" дп/" Иго —.— 10го"-"'+" орг/еек гаго, мо = 10' г"+» " грг/сек сл эв. й 2. Уравнения одномерного нестационарпого магнитогидродинамического течения 1» ~В (г"Н,) ==- О, (о $) где г — эйлерова координата (радпус), Н, — компонента вектора папряжвнности магнитного поля вдоль радиального направлепия; значения параметра и О, 1, 2 отвечают соответственно плоской, цилиндрической и сферической симметрии задачи. Для плоского случая (и =0) из (2,1) следует П„= „= сопвС, (2.2) причем, используя уравнение индукции, можно убедиться, что постоянная И, пе зависят н от вромепи.
о Для случая цилиндрической симметрии (я = 1) уравнение (2Л) дает Н, А/г, (2.3) 1. Ос»»бенности одномерных задач в магнитной гидродппампке. Прежде чем формулировать спстему уравнений для одеон~ рных магпитогпдродппампчсскпх течспш1, когда все функции зависят лишь от одной прострапственноп координаты, проапалозпруги структуру, которую имеет в этом случае магнптное поло, Пбратимся к уравпепи»о йуН= О, Для одномерных задач ооо прп ~6- ретает вид где постоянная Л также пе зависит от времени. Заметим, что если в задаче область изменения пространственной переменной г включает ось симметрии г=О, то А О, и тем самым радиальиая компонента магнитного поля отсутствует: (2А) Н,=О.
В противном случае у оси системы напряженность магнитного поля принимает бескопечио большие значения, что лишено физического смысла. Аналогично в случае сферической симметрии (л = 2) получаем П, =А/г"-. (2.5) Однако остальные компоненты магнитного (а также и электрического) поля здесь оказываются тождественно равпымп пулю, Пояснить зто обстоятельство можяо с помощью следующих паглядлалаа .а пых рассуждений. Рассмотрим пекоторую сферу радиуса Ле, центр которой совпадает с центром симметрии задачи (рнс. 0.2). На этой //га сфере в силу симметрии задачи любая компонента магпнтпого поля прп всех значениях углов<ри 0 должна иметь одну и ту же велп- //~ чипу, например Н,(/хо, ~р, О) =//т,.
Очевидно, однако, что это возможно не иа всех шпротах О. //алка Исключение составля1от полю- // сы 0 = 0, и, где функция УХ, ста- Рис. 6,2 ловится мяогозпачпой. Поэтому необходимо положить //ч = О. Тек как радиус рассмотренной ь с4н ры произволен. го //,(г, /) =. О. Аналогично получим, что Нс(г, /) = — О. Если к тому же область изменения пространственной переменной содернсит центр системы (с=О), то в (2.5) А О, и, следопатольпо, в этом случае электромагнитное поле товсдествспно равно пулю.
Если же задача решается в области, пе содержащей точку с=О, то возможно радиальное магнитное поле, «епзмепкое но времени и спадающее по радиусу в соответствии с законом (2.5) е). Однако и в этом случае опо пе оказывает влияния яа депжение среды. Поэтому одномерные задачи мапштиой гпдроднпамэки имеет смысл рассматривать лишь для плоской и цплпядрпческой симметрия. *) Аналогичный флкг имеет ыесго н в газовой лннаннке: в задачах, облаве|ежах сферической снчыетрней, возножно лишь радиальное Ленженне. 201 2. Одномерный плоский случай. Пусть в« компоненты векторов скорости и напряженности магнитного поля отличны от пуля т= (о, и, и), Н= Ш., 1!о. П,) и зависят только от х и й Как отмечалось в предыдущем пункте (см.
(2.2)), продочьвая компонента магнитного полн постоянна П, = Н о = сопз$. (2.0) Из ($.25) следует, что вектор напряженности электрического по- ля и плотность электрического тока имеют лишь поперечные компоненты 1= (О, 1„, й), Е = (О, Е„, Е,), д11, < =пЕ, , он, (о —— — —— 4л дх 1< = аЕ,.
(2".1) Компоненты вектора плотности алсктромапштной = р ' [1Х Н[ вычисляются следующим образом: <<11х. 1х, (<о 11< '<Но) 1о = силы 1 = 'о11хо 1* = — ""' (2 й) Р Эти выражения с учетом (2.7) можно представить также в виде 1 д 111„'- 11о'1 П„о д11о 11хо дП р дх ~ зл !' о 4лр д.о' ' 4лр дх' Джоулсво тепло в уравнении ввергни представляется в нескольких формах и= ' ' = — (Е +Е)= о<о+ < < о о,о о+ (2.0) Р Р о * ер до до 1 др — +о — = — — —.+1, до дх Р дх 11хо д11 о 4лр дх ' 11. о оИ, 4чр дх ' ди ди — + о —. д< дх д<о д<о — + <' —.
= 1о д< дх Нх=Н о 11„о д 302 Принимал во внимание все сказанное, взявшем систему уравнений магнитной гидродинамики дпя одномерных плоских течений в переменных Эйлера др др до — — =ы, д< дх дх (2ЛО) д ~(Нг д (Нг) го диг Ф длц дЦ г — '* — 4л дл $ дНг =аЕ, = — — —. 4л дг д ( +и +и +» ) д ( +и" +и +иг) 4 д = — — —. (р ) + о + 1» + 1, + 1г'ю, р дг о = — (1цЕи + ~,Г;~, Р р=р(р, Т), е=е(р, Т), а=а(р, Т).
Уравнение индукции здесь записано в форме (1.22). Поток теп- ла в уравнении энергии для простоты опущен. Введя лагран- жевы массовые координаты г, 1 (см. $ 3 гл. 1), систему (2.10) мол~но переписать так (2.11) — = о, (2.12) ди дд — = — —. т 1»г Щ дг ~~„а дНч 4л дг дд — =и оС д» д~— (2.13) Н.»дН, 4ч дг' дм гн 1г (2Л4) (2.15) Нг Нгег д 1Нч~ ди гн(р1 "' дг д Р дН, Р ддпи (".18) 4Ч Ог Ф г г 4 д 1»е+» — -»:"1 д — ~е+ 1= — — (рг) -~.
д+ !,.г+ бн + 1.», ддр ( 2.10) (2Л6) (2.17) ( а = — (~у Ни + ~г ~.'г) р / р=р(Р„Т), е = е(р, Т), а=а(р, Т). (2.20) 3. Различные формы ураененгнг энергии. В $ 3 гл. 1, где рассматривались уравнения газодинамики, отмечалось, что уравнение знергии может быть представлено в нескольких формах, выражающих различные физические аспекты явления. В математическом отношении зти формы эквивалентны и сводятся друг к другу посредством равносильных преобразований. В дальней- ЯОЗ преобразований ) д Это н есть дивергептнак форма уравнения зпсргпи *), указывающая закон изменения полной энергии. Выражение для полной энергии, стоящей под знаком производной и левой части (2.25), складывается иэ тепловой, кинетической и магнитной энергии.
Напомним, что в приближении магнитной гкдродинамики апергией электрического поля пренебрегают (см. (1.7)). В правой части помимо члена — д(ри)/дг, связанного с работой газодинамических спл, присутствуют члены — — и —. ~ — (/1»и + П,и), дг ~ 8л ) дг~ 4л выражающие работу магнитных сил. Заметим, что первый из этих членов аналогичен работе сил газокинотического давления, в связи с чем нсллчпиу (1/опт Н,)/(Яп) называют магнитным давлением.
Выражение П„=(Ев/1, — Е,/1„)/(4л), входящее в правую часть (2.25), является кроекцией на радиальное направление вектора И =- [Е Х 1Ц /(4л), который имеет смысл плотности потока электромагнитной энергии (вектор Умова — Пойггтииеа). 4. Случай цилиндрической симметрии (Н, = 0). Рассмотрим сначала задачи такого типа, когда пространственная область содержит ось симметрии.