А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Согласно (2,4) в этом случае радиальная компонента магнитного полн отсутствует: 11 = (О, Н„г7,1. Электрическое поле и ток также имекгт лишь азнмутальные и осевые составляющие: В = (О, Е„Е,), 1 = (О, (в, 1.1, , д11, 1» — — — —, —.' — — оЕ, 1, = — — (т/Ув) = и1:",. 4Л дт мю ' 4ит дт Электромагнитная сила направлена вдоль радиуса: д /11,'~, д (,11,)з /в= — (1 11 — 111 )= — — — ( — ' Р ' ' Р дт (,8л) Ртгдт 8л Движение газа из-за отсутствия компонент силы /в и /, имеет чисто радиальный характер: т = (и, О, 01. *) Ура»ковке (2Л91 называют иногда ногудивеугентной формой уравнения ввергая,— газодввамкческне члекы в (229) входят дявергектаым образом, электрона»нитные — иет.
20 о. ю свмвронв», ю. и. попов Соответствующая система уравнеппй и чагранжеаых массовых координатах может быть приведена к киду о/1Х д дг — — = — (и!), —. = о, о> ~ р / ог ' о> , ~нз, о (.ы„)з даря гда аз В=-" ' р д(гп ) !' = — . =о>т. 'и Ф р = (р, Т), о=а(р, Т). ди >р — — — -'. /. /. = дС о! д Лт Нки д>>г (2.26>) — ~ — )= — +г— рг он, Ос д >г!!) — — р — + р гн !>.! р = р(;>, Т), с =- е Уравпепио ивчукцнн для азпмутал!.пой состааля>ощей магнитного поля И~ и 1".'0) поело нсслож>н>х выкладок можно нро!бр!жонать Уравнение ввергни в системе (2.26) записано и недпаергентпой форме. Используя уравнение движении, можно представить это уравнение в полудивергентной форме: — 1 с 1- —,1 = — —.
(ргп) + /,о + р ОГ ( ' а / да 11ыразиы с помощью уравнения индукции закон изменения со ароменем энергии магнитного полн, перейдем далее и дивергент- пому уравнении> энергии, аналогичному (2,25): 306 0»о поназывает, что полная энергия газа изменяется в результате работы сил газокинетического и магпитпого давления, а также потока алсктромагнитной энергии. 5. Случай цилиндрической симметрии (Н, ~ 0)* 1'.сг>п область изменения пространственной переменной пе содерхп>т точку г= = 0 (например, задача решается вне некоторого цилиндра, ось которого совпадает с осью симметрии), то радиальная компонента магнитного поля может быть отличка от пуля (см. п. 1 х 2).
В этом случае электромагнитная сила, помимо радиальной, имеет и другие составля>ощие. Движение перестает быть чисто радиальным, появляются осевая и угловая компоненты скорости. Вь>пишем систему уравнений для магнптогидродинампческих те- формам д —,(в+ —:, )= — — „. (Ргк)+)', -', /ч + !. д !»»+о« у,р ) и з.о! = — — ~ ( р + — ) гг1 + — — *+ — Л вЂ”. (У п), (ч Зп) (" з31) Аналогично формулируются уравнения для случая, когда магнитное поле имеет и осевую компоненту.
и 3. Некоторые особенности магнитной гидродипамики 1. Явление «виорожеппости». 1'а«смотром глу !ой, когда проводимость вещества близка к идеально!й т. с. а --, Обращаясь к вь»ражснпю длн джоулона тепла (1.13') () = 1'/а = аЕ-", которое при нее с услонияк должно оставаться копочпылц можно сделать вывод о том, что электрическое поле и идеальном про- воднике отсутствует (3.3) 6х' = бх+ Лг — Ль Предполагая, что бх и Л1 малы, запишем о(х) Л~ Лг о(х + 6х) Л1 = ~" (х) » 6х] Л( Е О.
(3.1) Плотность токов при этом можег быть отлична ог пуля. Е учетом (3.1) уравнение индукции (1.32) упрощается л ~!!) ~»! :)десь И!»1! =д/дг+(».У) — полная производная по нрсмснп (см. ыь 1). Сформулируем теперь уравнение, которос определяет эволюцшо «жидкой лпппп», т. е. липин, образованной в ка;кдый момент времени одними и теми . =ии:.:::ыв~: жс »астицами среды.
Пусть г~ ~ г дх х 6! = (6х, бу, 6в) — элемент вг длины этой линии в момент — — --«н- — -»! нрсмспи д (х, у, з) и (х+ + бх, у+ бу, з+ бз) — поордх' .'=г дг дипаты концов этого элемента. Рассмотрим тот жс элемент жидкой липни спустя Рвс. 6.3 промежуток времени Лг в момент Г = Г+ ЛГ. Вычислим, как изменилась его длина. Б проекции на огь х имеем (рис. 6.3) Подставляя эти соотношения в (З,З), получим Бх — Бх б де ЛГ дх' откуда при Ь1 — 0 следует соотношение д дд — бх = бх —.
дГ дх Аналогичные уравнения справедливы и вдоль направлений у и з. Переходя к векторной форме записи, получаем уравнение, описывающее изменение во времени элемента жидкой лпппп: , †", 51 = (б)Ч) .. (3 ~) — ~ — ) ='( — Ч) т — — гогЕ (3 5) о1личен от пуля. Чтобы выяснить его физнческпп смысл, рассмотрим случай, когда среда покоится (т = 0). Нсрвоо слагаемоо справа при этом обращается в нуль, а субстанциональная производная слева совпадает с зйлеровой производной по времени (о/дг = и/гй). 1!спользуя закон Ома ((.И) и первое нз уравнений Максвелла (! 10), преобразуем (3.5) к виду — ~ — ) = — — гог ~ — го! Е11. (3.5') Для простоты положим, что проводимость среды постоянка о = пе.
Плотность среды р в силу отсутствия движения ке зависит от времени, так что обе части уравнения (3.5') можно сократить 309 1(о структуре зго уравнение в точности совпадает с уравненном индукции для идеально проводянюй среды (3.2). Это даст возможность утверждать, что если векторы Б1 и Н/р в некоторый момент времена соыпадалп по направлению, 1о опи будут иметь одинаковое папраялещю н я любой другой момент времени. а пх длины будут изменяться пропорционально. Другими словами, частицы, находившиеся в начальный момент на некоторой магпптнои силовой линии (т.
е. пз:ппщп, касательная и которой в каждой точке совпадает с иапраялеппем вектора Н), я даяьпешпем будут перемещаться вместе с этой линией. Маг~нтпью силовые линии оказываются накреш;о связанными с воществом, как бы «вморожеппымпа в него. Зффект вмороя енпости магнитных силовых линий обуслоялпнаст один пз механизмов генерации магнитного полн. Пусть жпдкио линии идеально проводящей среды растягиваются со временем, например, вследствие турбулентности. Тогда соответственно должна уяюп~чиваться длина вектора Н/р, а это (н несжимаемой среде) и означает рост напряженности маги1ю ного поля.
2. Диффузия магнитного полн. Кслп проводимость среды конечна, то второй член в правой части уравнения индукции на мпоя»итель 1/р. Тогда формулы вс«торного исчисления в сочетании с уравнен«еи У(а«снелла <йт Н= 0 позволяют записать (3.5') в виде — АН, (3 «0) » где А — оператор Лапласа. Соотпошеиие (3.6) ужазыаает, что для каждой компопеппа магнитного поля справен»же уравнение параболичесвого типа, описывающее процесс диффузии полн через проводящую среду. Коэффициент лиффузпи, равный 1/(бпе»), обратно пропорционален электропроаоцпости. Это озпачаот, что проникновение магнитного поля в сравнительно холоцпую, слабо проаолящую срелу происходит весьма интенсивно, и напротив, проводники, близкпс к идсальпыы, запер кивают поле.
И общем случае, когда среда йвижется и проводимость ее конечна, имеют место оба рассмотренных выше копкурнругощпх процесса; магнитное поле увлекаотся веществом и в то же время как бы «просачиаастса» сквозь него. Связь поля и вещества це является столь жесткой, как в случае амороженности.
3. Гиперболичиость уравнений магнитной гпдродинамики для случая илеальпо проволящей среды. Обрат«»н и «системе уравнений магнитной гпдродипампкп для одномерного плоского случая (2.11) — (2.20). Нак отмечалось вьппе, п идеально проводящей среде (о = ) электрическое поле отсутствует, и джоулеао тепло тождественно равно пулю. Неливергснтпое уравнение энергии здесь имеет аид (для плоского случая) да дд = — Р= дС дя который пичем не отличается от соотастству>ощего уравнения энергии в обычноп газойипамике. Поэтому опо может быть приведено к энтропийному пилу дЯ/д/= О, покаэыва»ощему, что течение идеально нроволящей среды являетси адиабатическим.
Выберем и качестве независимых термодипамических функций удсльиьш объем 1/р н эптрошно 3. Тогда производную от давлопия е уравнении движения (2.12) можно преобразовать точно так же, как это было сделано с (4.20) гл. 1: др » д Р 1 ~ дл д» д» ~ р / ' д» ' гло с = у(др/др), — газодпнамическая скорость звука, а = =(др/33) .
Производную по времени в уравнении индукции (2 16)' раскроем с помощью уравнения неразрывности (2.11) д «Г„) 1 Нра д» /Р'= +И» д» (р/ р д» "дг Аналогично поступим с уравнением (217). Учитывая все скааан- 310 ное, перепишем систему уравнений (2А1) — (2.20) а следующем виде дд о д (() Подпо П7 д( до '>р ) 4л дз 4л ди 70 дПО ам П вЂ” — — — "=О, д( 4п до ' д( дП до ди — а+ РП вЂ” — РП„,— = О, а( у д, *о — „,— (3.7) дП, — + дс РП,' РН„,'- = (>, до ' " до дд — = О. д( Это система семи квазилипейных уравнений первого порядка содержит сема непзвестпык функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
