А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Методы отличаются формой записи уравнений состояяяч. Отметим, что описываемая методика продолжает идеи, содержащиеся, например, в [26, 27, 52, 61], которые связаны с ясвользованием уравнений состояния для описания фазовых переходов. 2. Описание метода Е В более простом методе 1 в интервалах разностной сетки, соответствующих диэлектрику, вещество описывается уравнением состояния кондепсяроваппоя фазы. Если в ходе расчета значение температуры в каком-либо из интервалов достигает критического Т*, известного из эксперимента, то в этом интервале осуществллется переход и уравнениям состояния газообразной фазы, которые сохраняются ло конца расчета. Втот способ описания фазового перехода является весьма наглядным и отражает тот факт, что обычно использзгмые плззмообразующие диэлектрики (например, фторопласты) интенсивно разлагаются при достижении некоторой температуры Т* я этот процесс носит необратимый характер.
Уравяешгя состояния и выражения для транспортных коэффициентов в этом случае записываются, яояример, в ниде где верхняя строчка в каждой формуле отпосится к конденсированной фазе, а нижняя — к плазме. В (7.5) — (7.8) с есть адиабатическая скорость звука в конденсированной фазе, рз — плотность конденсированной фазы, Л вЂ” газовая постояннач, сюм с,„— теплоемкости, с~ — константа, учитывающая изменение внутренней знсргии при переходе из одного фазового состояния в другое.
остальные обозпаченпя те же, что и в предыдущих главах. В (7.5) — (7.8) использованы простейшие аависимости (например, уравнения состояния идеального газа в (7.5), закон Спитцера в (7.8) и т. д,), однако лспо, что они без какого-либо принципвальпого влияния па метод расчета могут быть заменены формулами, более реальпо отражающими физику явления, В разностной схеме, построенной с крпвлечепям соотношений (7.5) — (7.8) и явллющейся дискретным апалогои среды, веществ<> может находиться плп в конденсированном, пли в газообразном состояппп, При зтои переход пз кондекспропанпой фазы в газовую осуществляется копечпыпп порцияии, равными по величине интервалам сетки.
3. Описание метода !1. В истом ) С кроме чисто конденсированной и газоооразной фаз, рассматривается также зона смеси фаз. В втой зоне будем различать плотности конденсированной и газовой фаз. Об>означим их через Р„а(», 1) и р„„(», 1) соответственно. Общая плотность среды р(», 1), очевидно, вычисляется следующии образом Р(., 1)=с»рав(», ~)+(1 — <»)Р..(», ~), (7.9) где г<(», <) — о<и емное содерясание копденскрованной фазы, ((1 — <х) — соответственно объемное годержаяие газовой фазы). Величина я определяется из условия, что обе фазы имеют одинаковое давление [61): Р = Род(р~л, 7 ) - Р:»(Рам 7 ), (7.10) где для р..а к <>„,, используются такое же выражепия, как в формуле (7.5).
Плотности газа и конденсированной фазы находятся из уравнений, описывающих закон сохранения массы для среды, в которой происходит химическая реакция. Эти уравнения в одномерном случае в лагранжевых массовых переменных ииеют вид д з<> ш ( > а'й) ) ( 1»'и) 1 Й (7 11) з <((1 — <») Рва) + ((1 — а) Ра») Рз = г, где» вЂ” масса вещества, перешедшая из конденсированной фазы в газову>о в единице объема в единицу времени. Сумма уравнений (7.11) дает уравнение неразрывности в обычной форме, используя которое можно преобразовать первое из соотношений 354 (7.11) к виду д /вй«.ф( Х (7 Л2) Величину / можно определить, обратившись к уравнению Аррениуса, описыва<ощего кинетику пиролиза диэлектрика = — Яехр~ — — /, ярое / и ( р (, т(т/' (7.13) где Š— знсргви активизации, Л вЂ” газовая постоянная, Я вЂ” множитель, характеризующий материал.
Подставив (7.13) в (7.12), приходим к уравнению д / Г ( — 1п <р = — Я ехр ~ — —,) ш = — ' ~ лг~ (7.14) где В отличие от ив~ода 1, где каждый интервал массовой сетки соответствует либо конденсированной, лиоо газовой фазе, в ме- зб < <р(г, () = с<р„,<,/р, 0 -= <р < 1, (7Л5) — относительное содержание копдевсировапной фазы. Исключив а, р„ы р„„пз уравнений (7.9), (7.10) и (7.15), получим квад- ратное уравнение длл давления: р — (со(р<р — ро)+ ЛОТ(1 — <р) ] р — горо(1 — <р) ИрТ = О. Так как в газовой фазе давление псотрпцательно, то согласно (7.10) давление смеси фаз также пеотрппатсльно, и потому дли р выбираем лишь одно значение корня р = 0,5 (со (р<р — ро) + (1 — <р) ЛрТ + +)<(сс(рр — ра)+(1 — <р)т<рТ)о+4стро(1 — <р)т<рТ) "о).
(7Л6) Заметим, что при <р = 1 уравнение (7.16) переходит в уравнение состоянии кондеисироваппвой фазы, а прп <р = 0 — в уравнение состояпин пдеальпого газа, т. е. прп крайних зпачениях <р (7.16) соответствуот формуле (7.5). Учитывал, что впутрепнлл зпергил ввтлетсп аддитивной функцией массы, для удельной энергии имеем вырзжсвпс с(р, Т)= <рсоа+(1 — <(.)с„„ (7.17) где е„ы с„, те же, что и в (7.6). Сооюивпсппя (7.15) — (7.17) да(от уравнения состояния, использусмьк в методе 11. ((озффв- пвевты тепло- и злектропроводпости в мстоде П вычисля<отея по формулам типа (7Л7), либо по упрона иным формулам: < ч ( х„е прв <( ' 0.5, к(р Т)= и / при (О.,<, (7.18) 0 ври <()05, и(«, Т) —.= по 7'"' при <( ( О.,ь тоде 11 интервал сетки может содержать одновременно обе фазы.
Границей фаз (это принято, например, в (7.18) ) условно можно считать точку, где ф = 0,5. Расчеты показывают, что зона, в которой осуществляется переход от ~р = 0 к еэ = 1, оказывается весьма узкой в массовых координатах. Таким образом, учет испарения диэлектрика в методе !! не носит дискретного характера, а граница фазового перехода «размазана» з пространстне термодинамических переменных.
4. Сопоставление двух методов при расчете реальной задачи. Опишем результаты некоторых методических расчетов, выполненных по методам 1 и !1, которые позволяют выяснить качество этих методов, а также сопоставить их друг с другом. Сравнение проведем на примере сформулированной в начале параграфа задачи (7.1) — (7.4]. Бзк отмечалось выше. в методе ! переход вещества из конденсированной фазы в газовую происходит порциями, коэорые нс могут быть по нелишне меньше массового бэР д; «э'Уч.«.
у «Р а ем««ел Рис, 6.20 Рис 6. И интервала сетки. Это обстоятельство отрицательно сказывается на результатах расчета. Действительно, в испарившейся порции вещества давление в соответствии с (7.5) резко возрастает и начинаотсл интенсивное расширение вещества. с результате чего температура в «нспарившемсл» массоном интервале резко падает и может даже принимать аначенил, поившие. чем температура, установившаяся к этому моменту в диэлектрике.
При этом оказываетсл, что расширяющаяся масса газа нрогревсется потоками телла не то.тько со стороны горячей плазмы, ио и со стороны диэлектрика, что физически не оправдано. Сказанное иллюстрирует рис. 0,19, на котором для метода 1 приведены профили температуры и теплового потока на три последовательных мо- 366 мента времени непосредственно перед испарением очередной порции вещества (для 1= 0,587 з<кс (кривая 1) ), сразу ' после «испарения» (длн 1 0,590 з<кс (2)) и через несколько шагов по времени после «испарения» (длл « = 0,615 мкс (3) ) (поло>кение границы раздела фаз в соответствующие моменты указано вертикальными линиями). После того как испарившееся вещество прогреется до температуры, превышающей Т», провсходит нагрев и испарение новых порций ве<цества.
Вследствие этого выход массы носит скачкообразный характер (рис. 6520, п<триховая ливия). 1;аким образом, модель, используемая в метода 1, «загрубляст» картину процессов в районе границы раздела фаз. Па»постное решение т<>й же задачи, полученное оо методу 11 оказалось свободным от подобных нодостатков (рвс. 6.21, для < =0,75 лекс (кривав 1), длн г = 0,76 з<кс (2), для т = 0,79 мкс (3) ). Видно, что температура ведет собн монотовпо, тепло посту<оает в диэлектрик со стороны нагретого газа. Набшодаомое в Рвс. 6.2< расчетах резкое уменьшение по абсолютной величаво теплового потока в массовых интервалах, где произошел фазовый переход, об<ьвсплстсл тем, что в данных расчетах использовалсв разрывный козффициент тсплопроводпости (см.
(7.18)), причем в газе прн низких температурах (порядка Т») он значительно меньше, чем в конденсированной фазе. Этого недостатка можно лзоежать, если воспользоваться дон козффицпента х формулой, аналогичной (7.17). П денной модели фалов//го перехода выход массы носит плавныи зрзкт/р (рнс. 6.20, силогнизя липин).
График той же зависимости в методе ! колоб/летсп около этой линии. В среднем жо вызод массы з опоив иодтодах достаточно олн;юк, 1,«ас« 1 25 2г 2Х 2ю гг 25 бк«сгк -/ /с,««г с« -ю / / / / 2г 2ю "ю ра а -г Рзс, 6.22 „;«а с// гд т,г/г 12 Другие иитегралыпио характеристики, такие, кзк полный ток в разряде, напряжение па батарее конденсаторов, жп ктромагнитиая энергии, поступпвп/ая в ускоритель, баланс энергии ио видам, омическнй нагрев и т, д., в обеих моделях оказгиваются близкими, Ю /г 2// б««се« ' г2/ Ю 2г 15 ,а, ««г с// ю 5 Р 2«" /г" 2/1 2г ю,мгг.о/ г Рис.
6.23 Не сильно отличаются и распределения параметров плазмы по длине ускорителя. Так па рис. 6.22 и 6.23 показаны профили плотности тока 1, скорости и, температуры Т и плотности р па два момента времени: рис. 6.22 соответствует начальной стадии процесса, рпс. 6.23 отвечш>т момгпту максимума разрядного тока (гптриховыг липин — метод 1, сплошные — метод 11). Видно, что с течопвем времени р<'>игиик в обоих вариантах вы.<одвт практически иа илии и тот ги< решим. С><сдует отметить, что в м< тоде 11 <)и>.<овь<й переход рассчитывается с учетом пик<пики разложгиия <и>кшктрикз. Темпе(гатура па грани>(е раз;(ела фаз в зтом слу ше определяется и процессе расчета и сости<шигт в деппом случа< 0,07 — 0,072 зп.,')то хорони> сог»асуг«и с зксигримеитальиыми результатами и с<ответствует вгличииг Т*, к<>торая задавалась в методе 1 и качесп>е темь>ратурь> ф ки>ного перехода (Тз = 0.07 эв), :)амгтим, что хотя для больии й наглядности илло>кение в параграфе велось примы>пи,>ьио к системе одиомгрпь<х уравнений магниткой гидродинамике, оиисаииаи м<тодика расчета фазового перехода <из труда иереиосится и иа другие за;шчи, в том число и миогомериые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
